25.2.3 因式分解法&微专题2 十字相乘法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

第二十五章一元二次方程 25.2.3 因式分解法 [答案P4] 《基础巩固练)一 知银点①用因式分解法解一元二次方程 (3)2y2+4y=y+2; ①（天津滨海新区期中）一元二次方程x(x-4)= 0的根是 A.x1=1,x2=4 B.x1=1,x2=-4 C.x1=0,x2=4 (4)(x2-1)2-6(x2-1)+9=0. D.x1=0,x2=-4 2一元二次方程x2-2x=3(x-2)的解是( A.x1=3,x2=-2B.x1=3,x2=2 C.x1=-3,x2=-2D.x1=-3,x2=2 3(吉林白山期末)一元二次方程x2=2x的两根分 知跟点②用合适的方法解一元二次方程 别为 7(责州贵阳期末)解一元二次方程(x-1)2=2(x- A.x1=x2=0 B.x1=x2=4 1)最适宜的方法是 () C.x1=2,x2=-2 D.x1=0,x2=2 A.直接开平方法 B.公式法 4(云南曲靖期中)方程x+2=x2-4的根是 C.因式分解法 D.配方法 8已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的 ⑤新考法以下是小夏同学解方程x(3-x)=2(x- 解法后的横线上 ①2(x-1)2=6;②(x-2)2+x2=4;③(x- 3)的过程： 2)(x-3)=3;④x2-2x-1=0;⑤x2-2x-99=0. 解：原方程可变形为x(3-x)=-2(3-x),(第 (1)直接开平方法： 一步) (2)配方法： 方程两边同时除以(3-x),得x=-2,(第二步) (3)公式法： .原方程的解是x=一2.（第三步）》 (4)因式分解法： (1)上述解方程的过程从第 步开始出 9用适当的方法解下列方程： 错，错误的原因是 (1)x2+10x-96=0; (2)请直接写出方程的解： 6用因式分解法解下列方程： (1)(2x-1)2-4=0; (2)(3x+1)2+(3x+1)=0; (2)3x(x-1)=2-2x; (3)2x2+3x=3. 。 ①同步练测·九年级数学（上册） 《能力提升练>一 [答案P4] ①（四川巴中期中）下列方程中，适合用因式分解 5(上海闵行区期中)已知方程(x+a)(x-4)=0 法的是 ( 和方程宁-子+6=0的根完全相同，则a+6 A.x2-42x+1=0B.2x2=x-3 C.(x-2)2=3x-6D.x2-10x-9=0 6用因式分解法解下列方程： 2(北京朝阳区期中)一元二次方程(x+2)(x-4) (1)x2-1=3(x-1); =x-4的解是 ( A.-2 B.-1 C.-1和4 D.-2和4 3已知实数x满足(x2-2x+1)2+2(x2-2x+1)- 3=0,那么x2-2x+1的值为 (2)3x(x-5)=10-2x; A.-1或3 B.-3或1 C.3 D.1 4方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 A.直接开平方，得3(x+1)=2(x-1) (3)x2-6x+9=(2x-5)2. B.化为一般形式13x2+5=0 C.分解因式，得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)- 2(x-1)]=0 D.直接得x+1=0或x-1=0 微专题2 十字相乘法 【例】将x2-2x-3分解因式时，可依据口诀“首尾 (2)x2-7x+6=0; 两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图： x1 -3x+x=-2x (3)x2+3x-10=0: 所以x2-2x-3=(x-3)(x+1). 我们把这种因式分解的方法叫作“十字相乘法”， 用式子表示为x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b). ①试用上述方法和原理解方程： (4)2x2-5x-3=0. (1)x2+6x+8=0; 20同步练测·九年级数学（上册） 7.(1)证明：a=1,b=-(k+2),c=k-1, .4=b2-4ac=[-(k+2)]2-4×1×(k-1)=k2+8>0, ,无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 (2)解：把x=5代入方程x2-(k+2)x+k-1=0, 得25-5k-10+k-1=0,解得k=2, 7 小方程为2-号+=0，解得1=分出=5 由题意知，方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， 当腰长为2时， “子+子<5不能组成三角形，不合题意 1 当腰长为5时，“2+5>5， ,能组成三角形， 这个等腰三角形的三边长分别为号，5,5. :子+5+5=受△A8C的周长为号 25.2.3因式分解法 【基础巩固练】 1.C2.B3.D4.x1=3,x2=-2 5.(1)二没有考虑(3-x)为0而错误地运用等式的性质2 进行变形 （2)x1=3,x2=-2 6.解：(1)原方程可化为(2x-1)2-22=0, 分解因式，得(2x-1+2)(2x-1-2)=0, 即(2x+1)(2x-3)=0, 所以2x+1=0或2x-3=0, 解得=子出=子 (2)移项，得3x(x-1)+2x-2=0. 整理，得3x(x-1)+2(x-1)=0. 分獬因式，得(x-1)(3x+2)=0, 所以x-1=0或3x+2=0, 解得1=1为=-子 (3)整理，得2y2+3y-2=0. 分解因式，得(y+2)(2y-1)=0, 所以y+2=0或2y-1=0, 1 解得1=-2,2=2 (4)原方程可化为[(x2-1)-3]2=0, 即(x2-4)2=0, .x2=4,解得x1=2,x2=-2. 7.C 8.(1)①(2)④⑤(3)③(4)② 9.解：(1)(x+5)2=121,.x+5=11或x+5=-11, .为1=6,2=-16. 。4. (2)(3x+1)(3x+1+1)=0,(3x+1)(3x+2)=0, 3x+1=0或3x+2=0=-写=-子 1 (3)2x2+3x-3=0. a=2,b=3,c=-3, .4=b2-4ac=32-4×2×(-3)=33>0, 六x=-3去，名=-34厘， 4 4 ,=3-33 4 【能力提升练】 1.c 2.C[解析]移项，得(x+2)(x-4)-（x-4)=0.分解因 式，得(x-4)(x+1)=0,.x-4=0或x+1=0,解得x1= 4,x2=-1. 3.D4.C5.-1 6.解：(1)x1=2,x2=1. 2 (2)x1=5,=-3 (3)x1=2,为=3 8 微专题2十字相乘法 1.解：(1)x1=-2,x2=-4. (2)x1=1,2=6. (3)x1=-5,2=2。 (4%=3=-分 专题1一元二次方程的解法 1.解：(1)4x2-25=0, ÷42=252=25 4 5 5 小=2=2 （2)(4s+1)2-5-0(4+102=5 由此可得4x+1=±3， 4 1 7 解得=立6=-12 (3)3(x+1)2=108,(x+1)2=36, .x+1=±6，x1=5,x2=-7. (4)(x-2)2=5,x-2=±5， 名1=2+5,2=2-5. 2.解：(1)x1=4+√15，x2=4-√1⑤. (2)x=-3+42 2,为=-3-42 2 (3)x2-2x=99,x2-2x+1=99+1, 即(x-1)2=100, .x-1=±10，.1=11，x2=-9. 42-2号2-2+1号+1，