第1章 特殊平行四边形（课前导学）-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形 第一章 特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 [答案P47] 知识要点 对点训练 知识点①菱形的定义及对称性 1.如图，在菱形OABC中，点B在 (1)有一组四 相等的2 叫作 x轴上，点A的坐标为(2,3)，则 菱形。 点C的坐标为 (2)轴对称性：对称轴为3 1题图 知识点②矩形的定义及对称性 2.如图，E,F,G,H分别为矩 (1)矩形的定义：有一个角是④ 的5 形四条边的中点，则矩形 叫作矩形 的两条对称轴分别为直线 (2)轴对称性：对称轴为6 的连线。 2题图 知识点③正方形的定义及对称性 3.如图，正方形ABCD的对称轴分为 (1)正方形的定义： 有一组邻边☑ ,并且有一个角是 8 的⑨ 叫作正方形 (2)轴对称性： 正方形是四 图形，有四 条 对称轴 3题图 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 [答案P47] 知识要点 对点训练， 知识点①菱形的边、角性质 1.菱形的边长为5，则它的周长是 (1)菱形的四条边① 2.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC (2)如图，已知四边形ABCD是菱形，求证：AB= 和CD上，且∠AEB=∠AFD.求证：BE=DF BC CD =AD. 证明：，四边形ABCD是 菱形，∴.AB=BC, 又：AB=2 E BC=3 2题图 ∴.AB=BC=CD=AD, (3)菱形的对角相等。 全程导练·九年级数学·北师版·上册 知识点②菱形的对角线的性质 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于 (1)菱形的对角线④ ;每一条对角线 点0. 5 (1)若∠BAD=100°，则∠BAC= (2)如图，在菱形ABCD ∠ABD= 中，对角线AC,BD相 (2)若AC=6,BD=8,求菱形ABCD的边长. 交于点O.求证： D ①AC⊥BD;②∠1= ∠2=∠3=∠4，∠5 =∠6=∠7=∠8. 证明：①在菱形ABCD中，AB=⑥ 3题图 OB=⑦ ,A0=A0, .∴.△AB0≌△AD0, ∴.∠AOB=∠AOD=8 ,AC⊥BD, ②由①知△AB0兰△AD0, .∠1=⑨ ,.∠1=∠2=∠3=∠4， 同理可证得△ABO≌△CBO ∴.∠5=0 ,.∠5=∠6=∠7=∠8. 知识点③菱形的面积 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点 (1)S菱形=底×高； 0,其中AD=5,△ACD的周长为18，则菱形 (2)装=分×ACxBD. ABCD的面积为 (菱形的面积等于两条对 角线乘积的一半) 4题图 第2课时 菱形的判定 [答案P47] 知识要点 对点训练 知识点①根据定义进行菱形的判定 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD且 (1)定义法：有一组邻边工 的平行四边 ∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形. 形是菱形 D (2)几何语言： .如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, 2 ∴.四边形ABCD是菱形 B D 1题图 AB=AD 第一章 特殊平行四边形 知识点②根据边进行菱形的判定 2.如图，两个等边三角形拼在一起.求证：四边形 (1)四边2 的四边形是菱形 ABCD是菱形. (2)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD= DA.求证：四边形ABCD是菱形. 2题图 知识点③根据对角线进行菱形的判定 3.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点 (1)对角线3 的平行四边形是菱形 0,且AB=5,OA=4,OB=3.求证：□ABCD是 (2)如图，在口ABCD中，AC⊥BD于点O.求证： 菱形 四边形ABCD是菱形. 0 D 3题图 知识点④菱形的性质与判定的综合应用 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC (1)性质： AC平分∠BAD. ①四条边都4 (1)求证：四边形ABCD是菱形； ②两条对角线互相⑤ ,且每一条对 (2)已知菱形ABCD的对角线AC=24,E,F分 角线平分一组⑥ 别是边CD,BC的中点，连接EF,若EF= (2)判定： 5,求菱形的周长 ①平行四边形+一组邻边相等（定义法）； ②平行四边形+对角线互相垂直； ③四边相等。 B 4题图 全程导练·九年级数学·北师版·上册 3 矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 [答案P47] 知识要点 对点训练 知识点①矩形的边、角的性质 1.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边 (1)①边：矩形的对边① BC上，且BE=CF.求证：AF=DE. ②符号语言： ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC F 1题图 B C (2)①角：矩形的四个角都是2 ②符号语言： .四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 知识点②矩形的对角线的性质 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于 (1)矩形的对角线3 点O,若OA=2,则BD的长为 (2)符号语言： .四边形ABCD是矩形，AC=BD 2题图 知识点③直角三角形斜边上的中线的性质 3.(1)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的 (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 中线，若CD=2,则AB= ④ (2)请利用矩形的性质补全证明： D 如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,求 证：0B=24C 3题图 证明：在矩形ABCD中， (2)如上图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=⑤ ,∠ABC=90°， AC=6,BC=8,D是AB的中点，则CD 且OA=⑥ ☑ =0D, .OB-2AC 第一章特殊平行四边形 第2课时 矩形的判定 [答案P48] 知识要点 对点训练 知识点①根据定义进行矩形的判定 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AD∥BC, (1)有一个角是四 的平行四边形是 在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 矩形 ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 (2)几何语言： ·如图，四边形ABCD是平行四边形，∠A= 90°，.四边形ABCD是矩形 D ∠A=90° 1题图 知识点2根据角进行矩形的判定 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， (1)有② 个角是3 的四边形 CE∥AD,AE⊥AD.求证：四边形ADCE是 是矩形 矩形. (2)证明：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B= ∠C=90°，∴.∠D=④ 。-∠A-∠B -∠C=90°，∴.∠A+∠B=180°，∠A+∠D =180°，∴.BC∥⑤ ,AB∥⑥ D ,∴.四边形ABCD是平行四边形 2题图 :∠A=90°，四边形ABCD是矩形. D 知识点③根据对角线进行矩形的判定 3.如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是 (1)对角线7 的平行四边形是矩形 否和上、下底都垂直吗？为什么？ (2)证明：如图，：四边形ABCD是平行四边形， .AB=8 ,AB∥⑨ AC=BD,BC =CB. ∴.△ABC≌△DCB, 3题图 ∴.∠ABC=O .AB∥CD, ∴.∠ABC+∠DCB=180°， 1 ÷LABC=2×180°=回 ∴.□ABCD是矩形 全程导练·九年级数学·北师版·上册 知识点④矩形的性质与判定的综合应用 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点 (1)矩形的性质 O,过点A作AE⊥BC于点E,将△ABE沿BC ①矩形具有四 的一切性质； 方向平移，使点B落到点C处，点E落到点 ②矩形的四个角都是3 F处 ③矩形的对角线4 (1)求证：四边形AEFD是矩形； ④设矩形的长和宽分别为a,b,则S短形=ab. (2)若BF=8,DF=4,求AB的长. (2)矩形的判定 ①有一个角是固 的平行四边形是 矩形； ②对角线6 的平行四边形是矩形； 4题图 ③有三个角是☑ 的四边形是矩形 A D 0 4正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 [答案P48] 知识要点 对点训练之 知识点①正方形的边、角的性质 1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边 (1)正方形的四个角都是①工 ,四条边 BC,CD上，且∠BAE=∠DAF.求证：CE=CF, 2 D (2)几何语言： 如图，已知四边形ABCD是正方形，则 ∠A=∠B=3 =④ B 5 °，AB=BC=⑥ 1题图 ⑦ B 知识点②正方形的对角线的性质 2.(1)正方形的两条对角线把这个正方形分成 (1)①对角线相等且互相垂直平分； 个全等的等腰直角三角形 ②对角线平分一组对角得到45°角； ③边长与对角线的长度比为1：2. 6 第一章 特殊平行四边形 (2)几何语言： (2)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与 如图，四边形ABCD是正方形，则： BD相交于点O,图中有 个等腰 ①AC=BD,AC⊥BD, 三角形. 且OA=8 6 =OB=9 5 B C ②∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 =∠6=∠7=∠8=10 0 ③AB:AC=▣ B 2(2)题图 AO:AB=12 第2课时 正方形的判定 [答案P48] 知识要点 对点训练 知识点①正方形的判定 1.如图，等边三角形AEF的顶点E,F在矩形 (1)有一组邻边① 的矩形是正方形 ABCD的边BC,CD上，且∠CEF=45°.求证： 几何语言：：四边形ABCD是矩形，AB=BC 矩形ABCD是正方形 (或AB=AD),·四边形ABCD是正方形 十B AB=BC D (2)对角线2 的矩形是正方形. 1题图 几何语言：：四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴.四边形ABCD是正方形 B AC⊥BD D (3)有一个角是3 的菱形是正方形 2.如图，E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边 几何语言：，四边形ABCD是菱形，∠A=90°， 上的点，且AE=BF=CM=DN.求证：四边形 ∴，四边形ABCD是正方形 EFMN是正方形 u, (4)对角线④ 的菱形是正方形 几何语言：·四边形ABCD是菱形，AC=BD, B ∴.四边形ABCD是正方形 2题图 AC=BD D C D (5)判定一个四边形是正方形的核心思路总结： 如果一个四边形既是⑤ ,又是 6 ,那么这个四边形是正方形 全程导练·九年级数学·北师版·上册 知识点2中点四边形 3.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点 AD,BD,BC,AC的中点 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； 所得的四边形叫作中点四边形 (2)若AB=CD=4√5，求四边形EFGH的周长， (1)任意四边形的中点四边形是⑦ (2)任意平行四边形的中点四边形是8 (3)任意矩形的中点四边形是⑨ ,任意 菱形的中点四边形是⑩ 任意正方 形的中点四边形是回 3题图 知识点③正方形的性质与判定的综合应用 4.如图，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在 正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 正方形ABCD的边AB,CD,DA上，连接CF. 平行四边形 (1)求证：∠HEA=∠CGF; (2)当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形， 正 矩形 菱形 D 4题图 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 [答案P49] 知识要点 对点训练， 古建筑窗格中有一个正方形窗面，边长为 1.写出左栏试题的计算过程 40cm,要在其中制作内接正八边形的雕花装饰 (截去四个等腰直角三角形得到) (1)计算截去的等腰直角三角形的直角边长度 (结果保留根号)； (2)若制作雕花的金属条每厘米造价2元，求制 作正八边形雕花的金属条总造价（结果保留 根号). 8参 第一章特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 知识要点 工邻边②平行四边形 3两条对角线所在的直线 ④直角⑤平行四边形 ⑥对边中点⑦相等 ⑧直角⑨平行四边形四轴对称回4 对点训练 1.(2,-3)2.EF,GH 3.直线AC直线BD直线EG直线FH 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识要点 工相等②CD34D4互相垂直⑤平分一组对角 ⑥AD⑦0D⑧90⑨∠2O∠6 对点训练 1.20 2.证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,∠B=∠D ∠AEB=∠AFD. 在△ABE和△ADF中 ∠B=∠D, LAB =AD, .△ABE≌△ADF(AAS),.BE=DF 3.解：(1)5040 (2),四边形ABCD是菱形，且AC=6,BD=8, ∴.B0=0D=4,A0=OC=3,AC⊥BD. ∴.AB=√A02+0B2=5, ∴.菱形ABCD的边长为5. 4.24 第2课时菱形的判定 知识要点 工相等2相等 3互相垂直④相等⑤垂直平分 6对角 知识点2 (2)证明：AB=CD,BC=DA, .四边形ABCD是平行四边形. 又：AB=BC,∴.四边形ABCD是菱形. 知识点3 (2)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.AO=CO. 'AC⊥BD,∴.∠AOD=∠COD=90° 又.OD=OD,.△AOD≌△C0D, .AD=CD,.四边形ABCD是菱形 参考答案卫 答案 对点训练 1.证明：AB∥CD,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形 ∠1=∠2，.AD=AB, ∴.四边形ABCD是菱形. 2.证明：：△ABC和△ADC是等边三角形， .AB=BC=AC,AC=AD CD,..AB=BC=AD=CD, .四边形ABCD是菱形 3.证明：在△A0B中，AB=5,0A=4,0B=3, .∴.AB2=A02+0B2, ∴.△AOB是直角三角形，且AOB是直角， .AC⊥BD,.□ABCD是菱形. 4.(1)证明：AD∥BC,AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形 .AC平分∠BAD,AD∥BC, ∴.∠DAC=∠BCA,∠DAC=∠BAC, ∴.∠BAC=∠BCA,∴.AB=BC, .四边形ABCD是菱形. (2)解：如答图，连接BD,交AC于点O. D C 0 4题答图 E,F分别是边CD,BC的中点， .EF是△BCD的中位线，.BD=2EF=10. 在菱形ABCD中， AC=24,BD=10,AC⊥BD, 0M=24C=12,0D=2B0=5,∠A0D=0 在Rt△A0D中，AD=√OA2+0D=√122+5=13， ∴.菱形的周长为4AD=4×13=52. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识要点 ①相等2直角3相等④一半⑤BD⑥OC 70B 对点训练 1.证明：，四边形ABCD为矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90°. .·BE=CF. .BE +EF=CF +EF,BF CE. 全程导练·九年级数学·北师版·上册 AB=DC, 在△ABF和△DCE中 ∠B=∠C, BF=CE, .△ABF≌△DCE(SAS), ∴.AF=DE 2.4 3.(1)4(2)5 第2课时矩形的判定 知识要点 工直角2三3直角④360⑤AD6DC⑦相等 8CD⑨CDO∠DCB☐90°2平行四边形 ☒直角4相等且互相平分固直角6相等☑直角 对点训练 1.∠A=90°（答案不唯一） 2.证明：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点， ∴.AD⊥BC,∴.∠ADC=∠ADB=90°. ,CE∥AD,∴.∠ECD=∠ADB=90°. ,AE⊥AD,∴.∠EAD=90°， .四边形ADCE是矩形. 3.解：能.先用绳子测量书架的对边是否相等，从而判定 其是否为平行四边形；若为平行四边形，再用绳子测 量书架的两条对角线的长是否相等即可说明是否 垂直. 4.（1)证明：由平移的性质，得AE∥DF,AE=DF, ∴.四边形AEFD是平行四边形 .AE⊥BC,∴.∠AEF=90°， ∴.四边形AEFD是矩形. (2)解：四边形ABCD是菱形， .AB=BC CD 设AB=BC=CD=x,则CF=8-x 由(1)，得∠DFC=∠AEB=90°， 在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF2+DF2=CD, 即(8-x)2+42=x2,解得x=5, .∴.AB=5. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识要点 四直角2相等3LC④∠D⑤906CD aA⑧oC⑨0D四45四52号 对点训练 1.证明：，四边形ABCD为正方形， .∴.AB=BC=DC=AD,∠B=∠D ∠B=∠D, 在△ABE和△ADF中 AB=AD. ,∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF(ASA), .BE=DF. ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF 2.(1)4(2)8 第2课时正方形的判定 知识要点 ①相等2互相垂直③直角④相等⑤菱形 ⑥矩形☑平行四边形⑧平行四边形⑨菱形 ⑩矩形四正方形 对点训练 1.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠D=∠C=90° :△AEF是等边三角形， .AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°. :∠CEF=45°，∠CFE=∠CEF=45°， .∠AEB=∠AFD=180°-45°-60°=75°， .△AEB≌△AFD, .AB=AD,∴.矩形ABCD是正方形 2.证明：四边形ABCD是正方形， .∴.AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90° AE BF CM=DN, .AN=BE CF DM, .'.△ANE≌△BEF≌△CFM≌△DMN, .'.EN=EF=MF=NM,∠ENA=∠DMN, .四边形EFMN是菱形. .∠ENA=∠DMN,∠DMW+∠DNM=90°， .∠ENA+∠DNM=90°，∴.∠ENM=90°， .'.四边形EFMW是正方形 3.（1)证明：：E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点， .EF是△ABD的中位线，GH是△ABC的中位线， EF∥AB且EF=2AB,ic/AB且HG=2AB, ∴.EF∥HG且EF=HG, .四边形EFGH是平行四边形. (2)解：由题意，得EF=24B,BH=CD .AB=CD=43, .EF=EH=2√3. 四边形EFGH为平行四边形， ∴.四边形EFGH为菱形， .四边形EFGH的周长=4EF=4×25=8√5. 4.证明：(1)如答图，连接GE. D H 4题答图 ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB∥CD,∴.∠AEG=∠CGE. ,四边形EFGH是菱形， ∴.GF∥HE,.∠HEG=∠FGE, ∴.∠AEG-∠HEG=∠CGE-∠FGE, ∴.∠HEA=∠CGF. (2):四边形ABCD是正方形， ∴.∠D=∠A=90. .四边形EFGH是菱形，∴.HG=HE. 在Rt△HAE和Rt△GDH中，AH三 ∴.Rt△HAE≌Rt△GDH(HL),∴.∠AHE=∠DGH. 又.∠DHG+∠DGH=90°， ∴.∠DHG+∠AHE=90°，.∠GHE=90°， ∴.菱形EFGH为正方形. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 对点训练 1.解：(1)设直角边为x,由40=2x+√2x, 解得x=,40。=20(2-2)=(40-202)cm 2+√2 (2)正八边形边长为 √2x=√2(40-202)=(40√2-40)cm, 总周长为8×(40√2-40)=(320√2-320)cm, 总造价为2×(3202-320)=(640√2-640)元. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识要点 □整式2ax2+bx+c=03a④次项⑤b 对点训练 1.(1)√(2)×(3)×(4)×(5) 2.(1)B(2)D 3.x2+(x-2)2=102x2-2x-48=0 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识要点 工这两个数之间 对点训练 1.(1)解：-1和3. (2)3 2.(1)23(2)D 参考答案又 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法解简单的一元二次方程 知识要点 四p②-p③p-h④-p-h⑤1⑥4 回2⑧时时 对点训练 1.解：(1)x1=3,x2=-3. (2)x1=2+√5，x2=2-5. 2.(2)99325(3)3±52-8 第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程 知识要点 □12(x+m)2=n 对点训练 1.B 21品 25 16 3.A 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识要点 ⑧骆歌- ⑥>☑=⑧< 对点训练 1.(1)2-3-2(-3)2-4×2×(-2)25 3法经32-分 2×24 (2)2-42(-4)2-4×2x204±0 2×2 1 2.解：这里a=1,b=-4,c=2. b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0, x=4±8_4±22 2 2 =2±万， 即x1=2+2,x2=2-√2 3.1-4112有两个不相等的实数根 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 对点训练 1.(1)x+1x-2-12 (2)x(x-4)xx-404 2.解：(1)x(x+3)=0,∴.x1=0,x2=-3. (2)这里a=2,b=-5,c=-3. 62-4ac=(-5)2-4×2×(-3)=49>0, 525#,即名36-2 1 2×2