2.4.2 一元二次方程的应用(二)-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

全程导练·九年级数学·北师版·上册 tcm,BQ=t cm,.BP =AB -AP =(4-)cm. “△PB0的面积为只cm2,1之(4-)=早，解得1 =3,2=5(不符合题意，舍去)，故点P运动的时间是3s. 6.解：(1)2或4 (2)易得PD2=2+122,PQ2=(6-t)2+(2t)2, QD2=(12-2t)2+62. △PQD是以PD为斜边的直角三角形 .PD2 PQ2+QD2, 即2+122=(6-t)2+(2)2+(12-2)2+62, 整理，得22-15+18=0，解得=6,6=号， 即当：为号或6时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形， 【能力提升综合练】 7.A 8.C[解析]如答图，过点P作PE⊥CD于点E,A D 则PE=BC=6cm.当运动时间为ts时，AP= ---E 3tcm,DQ=(16-2t)cm,EQ=1(16-2t)-3tl =116-5t1cm.…PQ2=PE2+EQ2,.102= 62+(16-5t)2,整理，得(16-5t)2=82,解得 Q 4=号6=学：0≤1s1643,即0≤ 16 3，B 8题答图 1的位为号或学故选C 9.1 10.解：(1)设两艘轮船出发th后，它们之间的直线距离为 50 n mile,则轮船甲与码头A的距离为40 t n mile,轮船乙 与码头A的距离为(80-50t)n mile. 根据题意，得(80-50t)2+(40t)2=502, .39 解得1=1,2=41 “两复轮船出发1h或碧h后，它们之间的直线距离为 50 n mile. (2)设轮船甲出发xh后向轮船乙发出需要补充物资的指 令，则CD=50 x n mile,AC=AD-CD=(80-50x)n mile, AB =40x n mile,BC=50x(9-7-x)n mile, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(40x)2+(80-50x)2=[50×(9-7-x)]2, 整理，得4x2+5x-9=0, 解得=1，=-号（不符合题意，合去）， 7+1=8, ∴，轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令 【素养探究创新练】 11.解：：矩形DGMW和矩形CNMH全等， .∴.MN=CH=DG=60cm. 若AB=xcm,则AE=BF=EF=CD=GH=xcm, EG=700-6AB-3DG_700-6x-3×60 2 2 =(260-3x)cm (1)35 (2)(320-2x) (3)依题意，得x(320-2x)=12750, ·12· 整理，得x2-160x+6375=0, 解得1=75,2=85. EG的高度不小于26cm, 即260-3x≥26，.x≤78， ∴.x2=85(不符合题意，舍去) 答：x的值为75. 第2课时一元二次方程的应用（二） 【知识要点分类练】 1.B2.A 3.80[解析]设每件应降价x元，则每件的销售利润为(200- )元，每月可售出120+六×30=(120+1.5x)件，根据题 意，得(200-x)(120+1.5x)=28800,整理，得x2-120x+ 3200=0,解得x1=40,2=80.又要尽快减少库存，.x= 80,.每件应降价80元. 4.解：(1)当售价为300元时，月利润为(300-200)×100= 10000(元). 设售价应定为x元，则每件的利润为(x-200)元， 月销售量为100+20(300-2=(700-2x)件. 10 依题意，得(x-200)(700-2x)=10000, 解得名1=250，x2=300(不符合题意，舍去). 答：售价应定为250元. (2)线上购买所需费用为250×38=9500（元）. 线下购买，买五送一， ∴.线下超市购买只需付32件的费用， ∴.线下购买所需费用为300×32=9600（元）. .9500<9600, ∴，选择在线上购买更优惠。 5.B 6.解：(1)设月平均增长率为x.由题意，得500(1+x)2=720, 解得x=0.2=20%或x=-2.2<0(不符合题意，舍去)， ∴.月平均增长率为20%， (2)设售价应降低a元， 由题意，得(100-a-60)(20+2a)=1200, 整理，得a2-30a+200=0,解得a=10或a=20. 要尽量减少库存，∴.a=20,.售价应降低20元. 【能力提升综合练】 7.C8.A 9.4或32[解析]当0≤x≤20，设一次函数的表达式为y= kx+b(k≠0)，将(0,100)，(20,160)代入y=kx+b,得 160=20k+6,解得=3， r100=b, 6=100,心y关于x的函教表达式为)y =3x+100;当20<x≤40时，y=160,.y与x之间的函数 3x+100(0≤x≤20)，当0≤x≤20时，(3x+ 表达式为y={160(20<x≤40). 100-70)(1000-15x)-300x=37500,化简，得3x2- 150x+500=0,解得175+51（不特合题意，合去）， 3 3=75-5165≈4：当20<x≤40时，(160-70)(100- 3 15x）)-30r=3750,解得x=0=32,当挑发商在进货 后第4或32天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的 利润 10.解：设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x) 元，每晚租出的总床位为(100-10x)张 根据题意，得(10+2x)(100-10x)=1120. 整理，得x2-5x+6=0,x1=2,x2=3. 当x=2时，2x=4;当x=3时，2x=6. 答：每床每晚应提高4元或6元 【素养探究创新练】 11.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨.。 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300, ∴.2x-100=2×300-100=500, 故4月份再生纸的产量为500吨： (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)=6000, 整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 故m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为α吨，则6月份再生纸产量比上月 增长y,依题意，得 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, ∴.1200(1+y)2=1500 即6月份每吨再生纸的利润是1500元. 专题6一元二次方程的其他应用 1.C[解析]由已知护士x人，每两人一班，轮流值班，可得 共有x,山种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个 2 班次，由题意，得x1】3=70,解得名=-20（不符 合题意，舍去)，2=21.故选C. 2.A3.34或-34 4.解：设个位数字为x,则十位数字为x2-2 由题意，得10(x2-2)+x-(10x+x2-2)=36, 解得名1=3，x2=-2(不符合题意，舍去)， 十位数字为32-2=7，个位数字为3. 答：原来的两位数为73. 5.512 6.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81 整理，得(1+x)2=81,∴1+x=9或1+x=-9, 解得1=8，x2=-10(不符合题意，舍去)， .(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染 后，被感染的电脑会超过700台. 7.C8.109.15 10.6[解析]设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1)斗.晚餐 饮酒(x+2)斗.根据题意，得x(x+1)+（x+1)(x+2)+ x(x+2)=146,解得x1=6,x2=-8(不符合题意，舍去). 11.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益 菌，由题意，得60(1+x)2=24000, 解得x1=19,x2=-21. .x>0,.x=19. 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌， (2)由题意，得60×(1+19)3=480000（个）. 答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 参考答案及解析 教材素材拓展一元二次方程几何解法 解：(1)C (2)一方面，大正方形的面积可表示为(x+x+2)2, 另一方面，也可表示为4x(x+2)+(x+2-x)2, .(x+x+2)2=4x(x+2)+(x+2-x)2. x(x+2)=35,,(2x+2)2=4×35+4=144. x>0,2x+2=12,.x=5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解， 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出 与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无 法求出负数根. (4)② 第二章易错强化训练 1.B2.C3.-2 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. .a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2 -5+29 .x1= 2,2= 5-29 2 2 5.解：(1)x1=1,为=子(2)=3，=2 7 6.解：(1)三配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2-6x=5. 两边都除以2，得2-3x=2 5 配方，得-3+子=名+是， -只 3 2 =3+厘=3-四 2= 2 7.证明：①当m-1=0, 即m=1时，方程为-x+1=0,解得x=1, ∴此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0，.此时方程有两个实数根 综上，不论m为何值，方程总有实数根 8.B 第二章章未复习 【知识体系构建】 02②>③=④<⑤±⑥-6⑦9 【常考题型训练】 1.C2.A3.54.C 5.解：(1)x=2-万，=2+万。(2)=-7,4=-2 6.A 7,k≤-1[解析]当k=1时，方程的解是x=- 8,不符合 ·13.又全程导练·九年级数学·北师版·上册 第2课时 一元二 知识要点分类练单” 知识点1利用一元二次方程解决销售问题 1.某体育球类专卖店将进货价为100元/个的某品 牌篮球按零售价135元/个售出时，每天能卖出 100个.若这种篮球的零售价在一定范围内每降 价1元，其日销售量就增加4个，要使顾客尽量得 到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球 需降价 A.4元 B.6元 C.4元或6元 D.5元 2.某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局 规定，每件商品的利润率不得超过30%.若每件 商品售价定为x元，则可卖出(170-5x)件，商店 预期要盈利280元，则每件商品的售价应定为 A.20元 B.20.8元 C.20元或30元 D.30元 3.香云纱作为广东省佛山市特产，被纺织界誉为 “软黄金”，在某网店，香云纱连衣裙平均每月可 以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库 存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降 价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利 2.88万元，那么每件应降价 元 4.某电商平台对某贫困地区一种特色农产品进行 网上销售，按原价每件300元出售，一个月可售出 100件，通过市场调查发现，售价每件每降低 10元，月销售量增加20件. (1)已知该农产品的成本是每件200元，在保持 月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价 应定为多少元？ (2)小红发现在附近线下超市也有该农产品销 售，并且标价为每件300元，买五送一，在(1) 的条件下，小红想要用最优惠的价格购买 38件该农产品，应选择线上购买还是线下超 市购买？ 见此图标贸微信扫码进人初中智慧学园自 次方程的应用（二） [答案P12] 知识点2利用一元二次方程解决变化率问题 5.俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺 减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁 观.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时 复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天 “遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺 减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： √2≈1.4) A.50%B.30%C.25%D.20% 6新情境某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人， 特推出“神舟二十二号”模型.1月份的销售量是 500件，3月份的销售量是720件. (1)若该网店1月份到3月份销售量的月平均增 长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟二十二号”模型 的进价为每件60元，若售价为每件100元，每 天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售 出2件.为了推广宣传，商家决定降价促销， 同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获 利1200元，则售价应降低多少元？ 能力提升综合练学： 7.甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10 万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10 万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率 是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，则乙店这 两个月销售额的月平均增长率是 () A.40%B.50%C.60%D.70% 8.某商店代销一种商品，当每件商品售价为200元 时，月销售量为20件，该商店为提高经营利润，准 备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当 每件商品每降价10元时，月销售量就会增加5件， 综合考虑各种因素，每售出一件商品共需支付厂家 及其他费用80元，为了尽快减少库存，每月的销售 量应不低于40件，若该商店欲获得月利润3000 元，则每件商品的售价应定为 () A.140元B.150元C.160元D.180元 9.某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产 品1000千克，该产品每天的保存费用为300元， 而且平均每天将损耗15千克.根据市场预测，该 产品的销售价格y(元/千克)与时间x(天)之间函 数关系的图象如图中的折线段ABC所示.当批发 商在进货后第 天将这批产品一次性卖 出，将获得37500元的利润 y↑ 160 100 0 20 40花 9题图 10.某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空 床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10 张床位租出；若每床每晚再提高2元，则再减少 10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变 化下去，为了获得1120元的收入，每床每晚应 提高多少元？ 第二章一元二次方程又 素养探究创新练心： 11.[核心素养]某造纸厂为节约木材，实现企业绿 色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目 的生产规模不断扩大.该厂3月份和4月份共生 产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月 份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月 份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨 再生纸的利润比上月增加受%，则5月份再 生纸项目月利润达到66万元.求m的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至 6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月 份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6 月份每吨再生纸项目的月利润比上月增加 了25%.求6月份每吨再生纸的利润. 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 41