2.4.1 一元二次方程的应用(一)-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

b,.a+b=7,ab=5,y=5x+7,∴.该一次函数的图象经过 第一、第二、第三象限，不经过第四象限 7.-3[解析]α，B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， 4=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.，B是方程x2-2x+k =0的两个实数根，.a2-2a+k=0,a+B=2,.a2-2a= -ka2-a+B=5,a2-2a+a+B=5,-k+2=5, .k=-3. 8.解：根据题意，得4=(2k+1)2-4(k2-2)≥0， 解得≥-是 名+2=-(2k+1),x132=2-2, 而x好+x好=11，.(x1+x2)2-2x1x2=11, 即(2k+1)2-2(2-2)=11. 整理，得2+2k-3=0,解得k1=-3,2=1. 又：≥-号…4=1 9.(1)解：：方程(x-1)(x-2)=m2, 即x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, .名1+x2=3,x1x2=2-m2. 名1=-1，.x2=3-名1=4，.x1为2=-4， .m2=2-为12=6，∴.m=主6， .x2=4,m=±6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 4=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ,方程有两个不相等的实数根. 方程x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, 名1+为2=3，x1x2=2-m2, (x1-1)(x2-1)=1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1= -m2. …m2≥0，.-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 【能力提升综合练】 10.C[解析](x-1)(x+2)=p2,.x2+x-2-p2=0, .62-4ac=1+8+4p2=9+4p2>0,.方程有两个不相等 的实数根方程的两个根的积为-2-卫2<0，，该方程 有一个正根，一个负根故选C. 11.A[解析]由题易知n≠0，m≠1，.m≠上.将9n2+ n 2026m+5=0支形，得5（日+2025×日+9=0 又：5m2+2026m+9=0,m与1为方程5x2+2026x+ ，即=9 9=0的两个解，m·1=9, n=了.故选A 12.(-2,15) 13.解：x1,x2是方程(m-1)x2+2mx+2=0的两个根， 小名+名=-2m m1x1x2=m_1·m≤1 :+1+1+为=2， x对+x防 +x1+2=2, x1光2 X12 即西+)2-2x 十x1+x2=2, X1X2 20-2 2 2 立沿2 m-1 参考答案及解析 整理，得m2-3m+2=0, 解得m1=2,m2=1(舍去). a,b满足m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0, ,易知a,b为方程x2-4x+2=0的两根， ∴.a+b=4,ab=2, .a2+b2=(a+b)2-2ab=12=c2, ∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90°， .Suc 【素养探究创新练】 14.解：(1)1-1 (2)实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b, .实数a,b是关于x的方程x2-5x+1=0的两个不相等 的实数根，∴.a+b=5,ab=1, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×1=23. (3)当t=0时，2-7t+2=2≠0，.t≠0. 2-1+1=0. :2-7t+2=0,年-i ·1,s≠1 又22-75+1=0，，是关于x的方程2x2-7x+1= 0的两个不相等的实数根， 7 8+ 1-7.t+17 t=2… t =2t+1=2, 7 24+22+1)2×2.714 5t+36+1(t+1)+36=7 +3 -131 4一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程的应用（一） 【知识要点分柒练】 1.C2.D 3.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为(20- 4x)m,宽为(14-4x)m的矩形. 根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9， 整理，得2x2-17x+8=0, 1 解得为=2名=8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为7m 4.B[解析]如答图，设AC交A'B'于点H.由题意知∠CAD= 45°，∠D=90°，由平移可得∠AA'H=90°，.△A'HA是 等腰直角三角形.设AA'=xcm,则A'H=xcm,A'D=(2- x)cm.由平移可知阴影部分是平行四边形，.x(2-x)=1, 1=x2=1,即AA'=1cm故选B. A A' D H B' C C' 4题答图 5.3[解析]：∠B=90°，BC=3cm,AC=5cm,AB= √AC2-BC2=√52-32=4(cm).设运动时间为1s,则AP ·11· 全程导练·九年级数学·北师版·上册 tcm,BQ=t cm,.BP =AB -AP =(4-)cm. “△PB0的面积为只cm2,1之(4-)=早，解得1 =3,2=5(不符合题意，舍去)，故点P运动的时间是3s. 6.解：(1)2或4 (2)易得PD2=2+122,PQ2=(6-t)2+(2t)2, QD2=(12-2t)2+62. △PQD是以PD为斜边的直角三角形 .PD2 PQ2+QD2, 即2+122=(6-t)2+(2)2+(12-2)2+62, 整理，得22-15+18=0，解得=6,6=号， 即当：为号或6时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形， 【能力提升综合练】 7.A 8.C[解析]如答图，过点P作PE⊥CD于点E,A D 则PE=BC=6cm.当运动时间为ts时，AP= ---E 3tcm,DQ=(16-2t)cm,EQ=1(16-2t)-3tl =116-5t1cm.…PQ2=PE2+EQ2,.102= 62+(16-5t)2,整理，得(16-5t)2=82,解得 Q 4=号6=学：0≤1s1643,即0≤ 16 3，B 8题答图 1的位为号或学故选C 9.1 10.解：(1)设两艘轮船出发th后，它们之间的直线距离为 50 n mile,则轮船甲与码头A的距离为40 t n mile,轮船乙 与码头A的距离为(80-50t)n mile. 根据题意，得(80-50t)2+(40t)2=502, .39 解得1=1,2=41 “两复轮船出发1h或碧h后，它们之间的直线距离为 50 n mile. (2)设轮船甲出发xh后向轮船乙发出需要补充物资的指 令，则CD=50 x n mile,AC=AD-CD=(80-50x)n mile, AB =40x n mile,BC=50x(9-7-x)n mile, 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(40x)2+(80-50x)2=[50×(9-7-x)]2, 整理，得4x2+5x-9=0, 解得=1，=-号（不符合题意，合去）， 7+1=8, ∴，轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令 【素养探究创新练】 11.解：：矩形DGMW和矩形CNMH全等， .∴.MN=CH=DG=60cm. 若AB=xcm,则AE=BF=EF=CD=GH=xcm, EG=700-6AB-3DG_700-6x-3×60 2 2 =(260-3x)cm (1)35 (2)(320-2x) (3)依题意，得x(320-2x)=12750, ·12· 整理，得x2-160x+6375=0, 解得1=75,2=85. EG的高度不小于26cm, 即260-3x≥26，.x≤78， ∴.x2=85(不符合题意，舍去) 答：x的值为75. 第2课时一元二次方程的应用（二） 【知识要点分类练】 1.B2.A 3.80[解析]设每件应降价x元，则每件的销售利润为(200- )元，每月可售出120+六×30=(120+1.5x)件，根据题 意，得(200-x)(120+1.5x)=28800,整理，得x2-120x+ 3200=0,解得x1=40,2=80.又要尽快减少库存，.x= 80,.每件应降价80元. 4.解：(1)当售价为300元时，月利润为(300-200)×100= 10000(元). 设售价应定为x元，则每件的利润为(x-200)元， 月销售量为100+20(300-2=(700-2x)件. 10 依题意，得(x-200)(700-2x)=10000, 解得名1=250，x2=300(不符合题意，舍去). 答：售价应定为250元. (2)线上购买所需费用为250×38=9500（元）. 线下购买，买五送一， ∴.线下超市购买只需付32件的费用， ∴.线下购买所需费用为300×32=9600（元）. .9500<9600, ∴，选择在线上购买更优惠。 5.B 6.解：(1)设月平均增长率为x.由题意，得500(1+x)2=720, 解得x=0.2=20%或x=-2.2<0(不符合题意，舍去)， ∴.月平均增长率为20%， (2)设售价应降低a元， 由题意，得(100-a-60)(20+2a)=1200, 整理，得a2-30a+200=0,解得a=10或a=20. 要尽量减少库存，∴.a=20,.售价应降低20元. 【能力提升综合练】 7.C8.A 9.4或32[解析]当0≤x≤20，设一次函数的表达式为y= kx+b(k≠0)，将(0,100)，(20,160)代入y=kx+b,得 160=20k+6,解得=3， r100=b, 6=100,心y关于x的函教表达式为)y =3x+100;当20<x≤40时，y=160,.y与x之间的函数 3x+100(0≤x≤20)，当0≤x≤20时，(3x+ 表达式为y={160(20<x≤40). 100-70)(1000-15x)-300x=37500,化简，得3x2- 150x+500=0,解得175+51（不特合题意，合去）， 3 3=75-5165≈4：当20<x≤40时，(160-70)(100- 3 15x）)-30r=3750,解得x=0=32,当挑发商在进货 后第4或32天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的 利润又全程导练·九年级数学·北师版·上册 一元二 第1课时 一元二 知识要点分类练单” 知识点刀利用一元二次方程解决几何问题 L.(福类中考)为加强劳动教育， 增加学生实践机会，某校拟用 总长为5m的篱笆，在两边都 足够长的直角围墙的一角，围 出一块6m2的矩形菜地作为 1题图 实践基地，如图所示.设矩形的一边长为xm,根 据题意可列方程 () A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 2.有一矩形长为10m,宽为8m,现将矩形的长边缩 短、短边加长同样的长度，且变化后的新矩形的面 积为77m2.设原矩形的长边缩短了xm,则下列说 法正确的是 A.依题意，得原矩形的短边变化为(8-x)m B.依题意，得(10-x)(8-x)=77 C.x的值为1或3 D.变化后的新矩形的宽为7m 3.（威海中考)如图，某校有一块长20m、宽14m的 矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周 和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小 路把种植园分成面积均为24m的9个矩形地 块，请你求出小路的宽度， 20m 3题图 38 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 次方程的应用 次方程的应用（一） [答案P11] 《知识点2利用一元二次方程解决动态问题 4.（江苏无锡期中)如图，将边长为2cm的正方形 ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A'B'C,若两个三角形重叠部分 (阴影部分)的面积为1cm2,则它移动的距离A4' 等于 () 4题图 A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3cm,AC= 5cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始运动（运 动方向如图所示)，点P的速度为7cm/s,点Q的 速度为1cm/s,点Q运动到点C后停止，点P也 随之停止运动当△PB0的面积为cm时，点P 运动的时间是 5题图 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点 P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移 动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向 点C移动.如果P,Q分别从A,B同时出发，设移 动的时间为ts. (1)当t为 时，△PBQ的面积等于8cm; (2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角 三角形？ AP B 6题图 能力提升综合练学： 7.（新疆生产建设兵团中考)如图，小明在数学综合 实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长 的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地.设矩 形的宽为xm,根据题意可列方程 A.x(24-2x）=40 B.x(24-x)=40 C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40 B 7题图 8题图 8.如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,BC=6cm,点 P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移 动，到点B停止；同时，点Q从点C出发沿CD以 2cm/s的速度向点D移动，到点D停止.设运动 时间为ts,当PQ=10cm时，t= A号 c8安4 D.4 9.如图，这是一张长为20cm,宽为12cm的矩形纸 板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方 形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸 盒.若要制成一个底面积是180cm2的无盖长方 体纸盒，则x的值为 9题图 10.如图，小岛D在码头A正东方向80 n mile处.已 知当轮船甲从码头A出发以40 n mile/h的速度 向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D出发 以50 n mile/,h的速度向码头A行驶 (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离 为50 n mile? (2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物资，当 轮船甲到达小岛B后，发现运送物资不足， 此时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出 的补充物资指令后，沿CB方向前往小岛B 第二章一元二次方程又 进行物资补充.若两艘轮船在上午7时出 发，轮船乙在上午9时到达小岛B,试通过计 算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充 物资的指令 10题图 素养探究创新综中： 1.用总长700cm的木板制作矩形置物架ABCD(如 图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE,下 面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形 CNMH,中间部分为矩形EFHG.已知DG= 60cm,设正方形的边长AB=xcm. (1)当x=75时，EG的长为 cm; (2)置物架ABCD的高AD的长为 cm (用含x的代数式表示)； (3)为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm, 若矩形ABCD的面积为12750cm2,求x的值. R M 11题图 见此图标照微信打码进人初中智慧学国自 39