2.1 认识一元二次方程-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第二章 元二 1认识 第1课时 知识要点分类练单” ●知识点刀一元二次方程的概念 1.下列方程是一元二次方程的是 A2+-0 B.ax2+bx+c=0 C.2x2-5xy-y2=0D.(x-3)(x+2)=1 2.(湖南长沙期中)已知方程(m-2)xm1-bx-1=0 是关于x的一元二次方程，则m的值为 餐知识点2一元二次方程的一般形式 3.把一元二次方程x(x+1)=3x2-2化为一般形 式，正确的是 A.x2-2x-2=0 B.-2x2+x-2=0 C.2x2-x-2=0 D.2x2-3=0 4将一元二次方程子x(x-2)=5化为二次项系数 为“1”的一般形式是 ,其中，一次项 系数是 ,二次项系数是 ,常数项 浪 知识点3建立一元二次方程数学模型 5.如图，把一块长为50cm,宽为40cm的矩形硬纸 板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板 的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个 无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为400cm2,设 剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为 A.(50-2x)(40-x)=400 B.(50-x)(40-x)=400 C.(50-x)(40-2x)=400 D.(50-2x)(40-2x)=400 5题图 6.根据下列问题，列出关于x的方程（不必求解）， 并将其化为一般形式。 第二章一元二次方程又 次方程 元二次方程 元二次方程 [答案P8] (1)哥哥比弟弟大2岁，且两人的年龄之积正好 是爸爸年龄的2倍，已知爸爸40岁，求弟弟的 年龄x； （2)小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的 衬衫，已知每件衬衫的价格恰好比衬衫总件 数的6倍还少5元，求小明母亲共买回衬衫 的件数x. 能力提升综合练典： 7.[传统文化]《九章算术》有一题：“今有户高多于 广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几 何？”大意是已知矩形门的高比宽多6尺8寸(1 寸=0.1尺)，门的对角线长1丈(1丈=10尺)， 那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺， 则下列方程中符合题意的是 A.x2+(x-6.8)2=102B.(x-6.8)2+102=x2 C.x2+(x+6.8)2=102D.x2+102=(x+6.8)2 8.关于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+5-a=ax +1的一次项系数为4，则常数项的值为 9.把下列一元二次方程化为一般形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数以及常数项： (1)(2x-1)(3x+2)=x2+2; (2)(22-x)(22+x)=(3+x)2. 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 25 全程导练·九年级数学·北师版·上册 第2课时 一元二》 知识要点分类练单” 怎知识点1一元二次方程的解 1.（达州中考)已知关于x的方程x2+mx-3=0的 一个根是1，则m的值为 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0). (1)若a+c=-b,求证：x=1必是该方程的一 个根； (2)若方程必有一个根是x=-1,求此时a,b,c 之间的关系 知识点2用估算法求一元二次方程的近似解 3.根据下列表格的对应值： -1 1 1.1 1.2 x2+12x-15 -26 -2 -0.590.84 可判断方程x2+12x-15=0必有一个解x满足 () A.-1<x<1 B.1<x<1.1 C.1.1<x<1.2 D.-0.59<x<0.84 4.“一块矩形铁片，面积为1m2,长比宽多3m,求该 铁片的长.”小华在做这道题时，是这样考虑的： 设铁片的长为xm,则列出的方程为x(x-3)=1. 小华列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下 面是她的探索过程， 第一步： 2 3 x2-3x-1-3 -3 所以 <x< 26 见此图标服微信打码进人初中智慧学园自自 久方程的解及其估算 [答案P8】 第二步： 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1-0.69-0.36 所以 <x< (1)请你帮小华完成她未完成的部分； (2)通过以上探索，可知该矩形铁片的长的整数 部分为 ,十分位上的数为 能力提升综合练学” 5.根据关于x的一元二次方程x2+x+q=1,可列表 如下，则方程x2+px+g=1的正数根满足（ x00.5 11.11.21.3 x2+px+g-15-8.75-20.590.842.29 A.解的整数部分是0，十分位是5 B.解的整数部分是0，十分位是8 C.解的整数部分是1，十分位是1 D.解的整数部分是1，十分位是2 6.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠ 0)有一根为x=2026,则关于x的一元二次方 程a(x+1)2+b(x+1)+2=0必有一根 为 7.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+ bx+c=0的“倒方程”，其中a,b,c为常数，且a≠ 0,c≠0.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒方程” 是 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的 “倒方程”的一个解，求出c的值； (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的“倒 方程”的一个实数根，则m3+m2-6m+2026 的值为全程导练·九年级数学·北师版·上册 (2)解：如答图，EB=EF,CE=CF=4, ..∠3=∠2=∠1 设∠3=∠2=∠1=， ∴.∠4=∠1+∠2=2am BE⊥AC, .∠3+∠4=90°， 4入 .a+2a=90°，.a=30°， .∴.∠1=∠2=∠3=30°， 3题答图 ∠4=60°. BE LAC,.'.BC=2CE=2 x4 =8. BC=BA,∴.△ABC为等边三角形， .∴.∠ABC=∠BAC=60°. .·四边形ABCD是菱形，∴.AB∥CD,CD=BC=8, ∴.∠FCG=∠ABC=60°，∠ECG=∠BAC=60°， .∴.∠FCG=∠ECG=60°. .CF=CE=4,∴.CG⊥EF :∠2=30，cG=2CF=2, .FG=√FC2-CG=25, SAm=CDXFG=x8x28 4.C5.D6.5 7.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ACBD,A0-0C-ACDOC9 DE-AC DE=OC. ·DE∥OC,∴.四边形OCED是平行四边形 又，∠D0C=90°，∴.平行四边形OCED是矩形. (2)解：：四边形ABCD是菱形，DB=6,AC=8, 菱形ABCD的面积=24C·BD=7×8×6=24. 8.259.1610.C 11.证明：(1)AB是CD的垂直平分线，∴.AC=AD,BC=BD. 又.'AB=AB,∴.△ACB≌△ADB,∴.∠CAB=∠DAB. (2).·ME⊥AC,MF⊥AD,∠CAD=90°， 即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°， .四边形AEMF是矩形. .·∠CAB=∠DAB,ME⊥AC,MF⊥AD .ME=MF,∴.四边形AEMF是正方形 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 【知识要点分类练】 1.D2.-23.C4.x2-2x-15=0-21-15 5.D 6.解：(1)x(x+2)=40×2.一般形式为x2+2x-80=0. (2)(6x-5)x=125.一般形式为6x2-5x-125=0. 【能力提升综合练】 7.C8.-1 9.解：(1)化为一般形式为5x2+x-4=0,其中二次项系数为 5,一次项系数为1，常数项为-4. (2)化为一般形式为2x2+6x+1=0,其中二次项系数为2， 一次项系数为6，常数项为1. ·8… 第2课时一元二次方程的解及其估算 【知识要点分类练】 1.2 2.(1)证明：由a+c=-b,得a+b+c=0, 故当x=1时，ax2+bx+c=a×12+b×1+c=a+b+c=0, ∴x=1必是该方程的一个根. (2)解：当x=-1时，代入方程，得a-b+c=0, ∴.当a,b,c之间的关系满足a-b+c=0时， 方程必有一个根是x=-1. 3.C 4.(1)-1334-0.010.363.33.4(2)33 【能力提升综合练】 5.D6.x=2025 7.解：(1)x2+3x-4=0 (2)方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2-2x+1=0, 把x=-1代入，得c+2+1=0,.c=-3. (3)2026 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法解简单的一元二次方程 【知识要点分类练】 1.D2.C3.m>14.(1)10(2)4或23 5.解：(1)x1=3,x2=-1. (2=2=-子 3 8 10 (3)x1=-3=-9 6.A 7.x1=2026,x2=-2024 8.解：(1)A (2)二 (3)移项，得x2-2x=8,配方，得x2-2x+1=8+1, 即(x-1)2=9,两边开平方，得x-1=±3， 解得x1=-2,2=4. 9.解：(1)x1=3+4,x2=-√3+4. (2)x1=-1+5,x2=-1-5. 【能力提升综合练】 10.B11.C 12.6[解析]a2-4a-b=0,.a2-4a=b.2a2+b2- 8a+2b=2-c,.2(a2-4a)+b2+2b=2-c,.b2+4b= 2-c,(b+2)2=6-c.(b+2)2≥0，且当b=-2时等 号成立，.6-c≥0，.c≤6，∴.c的最大值为6. 13.x1=1,x2=4 14.解：设长和宽各增加xcm, 则增加后长方形的长为(8+x)cm,宽为(6+x)cm. 由题意，得(8+x)(6+x)=8×6+51, 整理，得x2+14x=51. 配方，得x2+14x+72=51+72, .(x+7)2=100, 解得x1=3,x2=-17(不合题意，舍去)， .8+x=8+3=11,6+x=6+3=9. 答：增加后长方形的长为11cm,宽为9cm. 【素养探究创新练】 15.解：(1)42-1-7（最后两空可互换）