2.1 第1课时 一元二次方程的概念&第2课时 一元二次方程的解和近似解-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章特殊平行四边形 13.若AE=BF,△DEF是等边三 1.1认识特殊平行四边形 角形.证明：连接BD 1.C2.A3.C4.菱5.22.5 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB 6.证明略 =BC=CD,∠C=∠A=60°，AD∥ 7.D8.B9.(-2,3) BC,∴.△BCD是等边三角形， 10.(1)△BEC是等腰三角形，证明 ∠ABC=180°-∠A=120°， 如下：，四边形ABCD是矩形， ∠DBE=2∠ABC=60,BD= .AD∥BC,.∠BCE=∠DEC, .EC平分∠BED,.∠BEC= CD,.∠DBE=∠C, ∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, ,AE=BF,∴.AB-AE=BC .'BC=BE, BF,即BE=CF, △BEC是等腰三角形； 在△DBE和△DCF中， (2),四边形ABCD是矩形， BD-CD .∠A=90°， ∠DBE=∠C, 又.∠ABE=45°， BE=CF ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 在Rt△ABE中，由勾股定理得： .DE=DF,∠EDB=∠FDC BE=√JAB+AE区=√2， ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDCH ∠BDF=∠BDC=60°， .BC=BE=√2. 11.(1)2 ∴.△DEF是等边三角形 (2)过点F作FM⊥AB于点M, 第2课时菱形的判定 1.C2.证明略 在Rt△BCF中，易求BF=23, 3.平行四边形菱形 在Rt△BFM中，易求MF=3, 4.③5.证明略. 则Ss=2X4X3=6. 6.(1)四边形ABCD为菱形.理由略； 12.(1)图略 (2)BD=6. (2)图略.EG的长为12或4√o.7.C8.C9.DF∥AB 1.2菱形的性质与判定 10.(1)略(2)18√5. 第1课时菱形的性质 11.(1)证明略； 1.A2.B3.C4.D5.C (2)先证四边形ABPF是平行 6.菱形ABCD的周长是AD+BC 四边形，再由AB=AF证平行 +CD+AB=4/10: 四边形ABPF是菱形， 7.2或48.D9.120°10.33 1.3矩形的性质与判定 11.(1)证明略；(2)2. 第1课时矩形的性质 12.(1)证明略；(2)∠ADC=150°. 1.C2.B3.B4.B5.C 49 6.(1)证明略：(2)27. 10.证明略. 7.58.C9.C 11.（1)证明略；(2)45°. 10.号 11.①③④ 12.(1)矩形（正方形） (2)略 12.（1)证明略； (3)在正方形ABCD中，.AF= (2)当EF⊥AC时，四边形 CG,AB=BC,∴.FB=BG, AECF是菱形.理由略. ∴.∠AEF=∠AFE=45,∠BFG= 13.证明略. ∠BGF=45°，∴.∠EFG=90°， 第2课时矩形的判定 :∠A=∠C=90°，DA=DC, 1.C2.90 AF=CG, 3.证明略.4.B ∴.△ADF≌△CDG(SAS), 5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∴.DF=DG, 6.(1)证明略；(2)AB=BC .AD∥CB,∴.∠EDG=∠DGC, 7.证明略.8.B9.A10.矩形 ,∠DGC=∠DEG, 11.2.4 ∴.∠GDE=∠GED, 12.(1)证明略； ∴.DG=EG,.DF=EG, (2)四边形GCF是矩形.理由略 ∴.四边形DEFG是垂等四边形 13.(1)证明略； 专题一 特殊四边形中的折叠问题 (2)AE的长为√73. 1.B2.A3B4. 15 1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 5.(2)①BE= BN,()证明略 1.正方形2.C3.A4.D 专题二特殊四边形中的最值问题 5.22.5°6.6 1.D2.B3.B4.D5.5 7.(1)证明略；(2)EF=5√2. 6.(1)证明略；(2)21. 8.C9.A10.8√511.12 专题三特殊四边形中的动点问题 12.证明略 1.(1)证明略； 13.(1)证明略； (2)①当AM=1时，四边形 (2)仍然成立.理由：首先过点E AMDN是矩形.理由略； 分别作BC,CD的垂线，垂足分 ②当AM=2时，四边形AMDN 别为H,I,然后利用ASA证得 是菱形.理由略. Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得：2.(1)证明略； 证. (2)当点O运动到AC中点处时， 第2课时正方形的判定 四边形AECF是矩形. 1.C2.D3.D 理由略； 4.邻边相等的矩形是正方形 (3)当点O运动到AC中点处时， 5.平行四边形菱形矩形正方形 且△ABC满足∠ACB是直角的 6.证明略， 直角三角形时，四边形AECF为 7.A8.D9.3 正方形 50 理由略。 5.(1)设长为xm,则x(x-2)= 专题四特殊四边形中的类比 120,整理得x2-2x-120=0; 探究问题 (2)设中间的偶数是x,则另外两 1.(1)理由略； 个是x一2，x十2，根据勾股定理， (2)①AC=BD②AC⊥BD 得(x-2)2+x2=(x+2)2,整理 2.(1)证明略； 得x2-8x=0. (2)EF=2√5；(3)成立. 6.-1 章末核心考点与素养提升 7.x2+(x+6.8)2=102 1.D2.121°3.B 8.17.x2+16.x-1=0 4.证明略.5.150 9.15x(30-2m)×2 =750 6.答案不唯一，如：AC=BD 7.B8.A9.B10.25 第2课时一元二次方程的 解和近似解 1.2212.2或3 1.C2.A3.12 13.(1)② 4.填表略；方程的两个解为x= (2)过点Q作QH LPO,连接 2.5,x2=3. OH,HS,则四边形PQHO是平5.-16.x2-3=0 行四边形， 7.x1=10,x2=-2 ∴.PQ∥OH,PQ=OH, 8.(1)311 在平行六边形OPQRST中，PO (2).m是方程2x2-7x+2=0 ∥RS,PO=RS,∴.QH IRS, 的根，.2m2一7m十2=0，方程两 .四边形QRSH为平行四边 形，∴.QR∥HS,QR=HS, 边同时除以2m,得m一号+从 在平行六边形OPQRST中，PQ 0,.m十 1=7 m 2 ∥ST,QR∥OT,∴.OH∥ST, HS∥OT,∴.四边形HSTO为 (m+) =m++2 平行四边形， ..HS-OT,OH-ST, m+动=(m+品)-2 ∴.QR=OT,PQ=ST, ()-29-2-4 .OP-PQ-QR=RS, (3)C ∴.PQ=QR=RS=ST=OT= 2.2 一元二次方程的解法 PO,.平行六边形OPQRST是 第1课时用配方法解二次项系数 菱六边形. 为1的一元二次方程 14.略. 1.D 2.C 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 3.(1)=2+√7，x2=2-√7： 第1课时一元二次方程 (2)x=1土5. 1.C2.C3.略 4.B5.D6.±12 4.x(22-2x)=60 7.3或一7 51第二章一元二次方程 2.1认识 第1课时 一元 01基础达标 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程中是一元二次方程的是 A.5x2-6y-2=0 B2+2-9=0 C.x2=0 D.3x+1=5x+7 2.若方程(m一1)x2十√Jmx=1是关于x的一元 二次方程，则m的取值范围是 A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任意实数 3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 一元二次 二次项 次项常数 一般形式 方程 系数 系数 项 2x2-x=4 √2y-5y2=0 4=x2 知识点二 由实际问题列出一元二次方程 4.某中学准备在学校里利用22米长的篱笆围成 一个矩形花园，为充分利用材料，花园一面靠 墙，要使得花园面积为60m,设垂直于墙的边 长为xm,则可列方程为 5.根据题意，列出方程并化为一般形式： (1)一个面积为120m的矩形苗圃，它的长比 宽多2m,求苗圃的长和宽各是多少米： 21 元二次方程 二次方程的概念 (2)已知直角三角形的三边长为连续偶数，求 它的三边长 02能力提升 6.关于x的方程(a一1)x2+1十x-3=0是一元二 次方程，则a= 7.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有 一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸， 它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？ 设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为 .(1丈=10尺，1尺=10寸) 8.已知如下一元二次方程： 第1个方程：3x2+2x一1=0， 第2个方程：5.x2+4x-1=0, 第3个方程：7x2+6x一1=0， 按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常 数项的排列规律，则第8个方程为 9.一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积 为750cm3,请写出关于x的方程 单位：cm 30 22 第2课时 一元二次方程的解和近似解 01 基础达标 03思维拓展 知识点 一元二次方程的解和近似解 8.[新考法·阅读理解·解题方法型]阅读与思考 1.下列各数中，是方程x2=2x十8的解是( 阅读下列材料，然后完成相应任务， A.1 B.2 C.4 D.-4 方程x2一4x-1=0两边同时除以x(.x≠0)， 2.已知x=2是一元二次方程x2十mx十2=0的 得x-4-=0,即x-=4 一个解，则m的值是 ( ) A.-3 B.3 C.0 D.0或3 因为(x-)=2+是-2， 3.已知m是方程x2一x一3=0的一个根，则m 所以2+是=(x-)》+2=18. 一m十9的值等于 4.填写下表，并估算方程2x2一x一15=0的解的 任务： 范围. (1)已知方程x2-3x-1=0(x≠0)，则x-1 3 -2 -1 0 3 x2+7 2x2-x-15 (2)若m是方程2x2一7x十2=0的根，求m2十 六的值 (3)【类比应用】已知关于x的一元二次方程 a.x2+bx+1=0有一个根是x=m,则方程x2 十bx十a=0有一个根是 () A.x=m B.x=一m 1 C.x= D.x=1-m 02能力提升 5.关于x的一元二次方程(a一1)x2+x十(a2 1)=0的一个根是0，则a的值是 6.【结论开放性题】写出一个以√3为根的一元二 次方程： 7.为了求一元二次方程x2一8x一20=0的根，求 出了一组x与x2一8x一20相对应的值，列表 如下： 1-2-3…91011 x2-8.x-20-11012…-11013 那么方程x2一8x一20=0的根是