专题4 特殊平行四边形中的动点间题-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形安 专题4特殊平行四边形中的动点问题 [答案P6] 类型1点的移动问题 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°， 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9， AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,点P从点A出 0),点C的坐标为(0,3)，以OA,OC为边作矩形 发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同 OABC,动点E,F分别从点O,B同时出发，以1个 时出发，以3cm/s的速度向点B运动.规定其中 单位长度/秒的速度沿OA,BC向终点A,C移动. 一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 当移动时间为4秒时，AC·EF的值为 () 动.从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD,分别需 经过多少时间？为什么？ A P- 1题图 A.10 B.9/10 C.15 D.30 3题图 2.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点， ∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线 段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点 B,D运动，且始终保持OE=OE.点E关于AD,AB 的对称点分别为E1,E2;点F关于BC,CD的对称 点分别为F,F2:在整个运动过程中，四边形 EE2F,F2形状的变化依次是 2题图 A.菱形→平行四边形矩形+平行四边形→菱形 B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四 边形 C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 →平行四边形 D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→ 菱形 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 19 全程导练·九年级数学·北师版·上册 4.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=16cm,点6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线 P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时 MN∥AB,D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC, 点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止， 交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE. 点P,Q的速度都是1cm/s,连接PQ,AQ,CP.设 (1)求证：CE=AD; 点P,Q运动的时间为ts. (2)当D在AB的中点时，四边形BECD是什么特 (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ 殊四边形？说明你的理由； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ (3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么 (3)在(2)的条件下，求菱形AQCP的周长和面积 条件时，四边形BECD是正方形？请说明你 P D 的理由。 E N 4题图 6题图 类型2存在性问题 5.如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥ AB,EG⊥BC,垂足分别为F,G,若正方形ABCD的 周长是40cm. (1)求证：四边形BFEG是矩形； (2)求四边形BFEG的周长； (3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？ D 5题图 20 见此图标照微信扫码进人初中智慈学国自全程导练·九年级数学·北师版·上册 .∠BAM=∠CAN. 又.：∠ABM=∠ACN=60° .△BAM≌△CAN,∴.AM=AN .·∠MAN=60°，.△AMN是等边三角形 (2)解：△CMN的面积存在最大值.过点A作AH⊥BC于点 H,如答图，易得AH=√3 △BAM≌△CAN,∴.S△BMM=SACAN, Sm边形wcew=5c=子×2×5=5， .四边形AMCN的面积不发生变化， ∴.当△AMN的面积最小时，△MCN的面积最大. :△v是等边三角形易得SA4w-r。 根据垂线段最短可知， 当AM⊥BC时，AM的值最小，为√5， 即此时△AMW的面积最小，是 ×(3)2-3 4 △CMN的面积的最大值为535=瓦 4 4 3.A4.B5.15 6.解：连接BF,作点B关于CD对称点B,连接AB',BF,如 答图 AB =BC, ∠ABC=∠BCD BE =CF, .∴.△ABE≌△BCF ∴.AE=BF, .AE +AF=AF+BF. B 由对称性知BF=B'F, 6题答图 .AE +AF=AF B'F. 当A,F,B三点共线时距离最小为AB', AB'=√AB2+BBZ=√22+42=25. 故AE+AF的最小值为2√5. 7.解：如答图，过点D作DM∥AC, M 使得DM=EF=2, 02 连接FM,BM,BD, .·DM=EF,DM∥EF, .四边形DEFM是平行四边形， ∴.DE=FM, ∴.DE+BF=FM+FB. 7题答图 根据两点之间线段最短可知， 当F为BM与AC的交点时，DE+BF的值最小， 即为BM的长 四边形ABCD是边长为6的菱形， ∴.AB=6,BD⊥AC,AD=AB. ∠BAD=60°，.△ABD是等边三角形，.BD=AB=6. DM∥AC,.BD⊥DM,.BM=√22+62=210， .DE+BF的最小值为2√/10. 8.129.25-2 10.解：如答图，连接OD,0C,过点0在OP的下方作0Q⊥ …6… OP,且使OQ=OP,连接CQ,PQ. 则易得△ODP≌△OCQ, ∴.CQ=PD=4,.PQ≤CQ+PC=4+6=10, ∴.PQ最大=10.易知PQ=√20P,∴.OP最大=52. A D D E 0 B 10题答图 11题答图 11.解：如答图，取OB的中点E',连接PE',作射线FE交AC 于点P',则PE=PE,.IPF-PEI=IPF-PEI≤FE. 当P与P'重合，即P,E,F三点在同一直线上时， PF-PE'I有最大值，即为FE的长. 在菱形ABCD中，∠ABC=120°， LABD6,LDAB-60OB-OD-BD-4, ∴.△ABD为等边三角形，∴.AB=BD=AD=8. ,E为OB的中点，AF=3BF, BF-AB=2.E'B-2..E'B-BF. .·∠ABD=60°，∴.△BEF为等边三角形，∴.E'F=FB=2, 故1PF-PE1的最大值为2. 专题4特殊平行四边形中的动点问题 1.D2.A 3.解：根据题意，设PA=tcm,CQ=3tcm, 则PD=AD-PA=(24-t)cm. (1)AD∥BC,PD∥CQ, ∴.当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形， 即24-t=3t,解得t=6,即当t=6时，PQ∥CD. (2)若PQ=DC,分两种情况： ①PD=CQ,由(1)可知t=6; ②PD≠CQ,则四边形PDCQ是等腰梯形， 则有QC=PD+2(BC-AD), 可得方程31=24-1+4，解得=7. 综上所述，经过6秒，PQ∥CD;经过6秒或7秒，PQ=CD. 4.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD=16cm. 由题意，得BQ=DP=tcm,AP=CQ=(16-t)cm. 易得当BQ=AP时，四边形ABQP是矩形， ∴t=16-t,解得t=8,当t=8时，四边形ABQP是矩形. (2).AP=CQ,AP∥CQ,.四边形AQCP是平行四边形， ∴.当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形， √82+2=16-t,解得t=6, .当t=6时，四边形AQCP是菱形. (3)当t=6时，AP=16-6=10(cm), .菱形AQCP的周长为4×10=40(cm), 面积为10×8=80(cm2). 5.(1)证明：：四边形ABCD为正方形，.AB⊥BC, ∴.∠B=90°.又.EF⊥AB,EG⊥BC,∴.∠EFB=90°， ∠EGB=90°，∴.四边形BFEG是矩形. (2)解：正方形ABCD的周长是40cm, .AB=40÷4=10(cm). 四边形ABCD为正方形， .△AEF为等腰直角三角形，.AF=EF, .四边形BFEG的周长为2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm (3)解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF=BF AF=EF,AB =10 cm, ∴.当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形 6.(1)证明：DE⊥BC,∴∠DFB=90. .·∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE MN∥AB,即CE∥AD,∴.四边形ADEC是平行四边形， ∴.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形 理由如下：D为AB的中点，AD=BD. ,CE=AD,∴.BD=CE. ,BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形 .∠ACB=90°，D为AB的中点，.CD=BD, ∴.平行四边形BECD是菱形. (3)解：当LA=45时，四边形BECD是正方形. 理由如下：∠ACB=90°，∠A=45°， .∴.∠ABC=∠A=45°，..AC=BC. D为AB的中点，.CD⊥AB,.∠CDB=90 由(2)知，四边形BECD是菱形，菱形BECD是正方形， 即当∠A=45时，四边形BECD是正方形. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)a (2)如答图，正八边形LGFIHKJE即为所求作. A L ED G B HC 1题答图 2.(1)证明：连接AC,BD,如答图① ·四边形ABCD为矩形， .AC BD E,H分别是AB,DA的中点， .EH为△ABD的中位线， 2题答图① 同理可得PG=之BD,EP= 1 GH-AC. .EH=EF=FG=GH,.四边形EFGH为菱形 E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ,四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形. (2)解：四边形EFGH即为所求，如答图②. 头H D B 2题答图② 参考答案及解析 (3)解：a>√5 第一章易错强化训练 1.46或106°[解析].·四边形ABCD是矩形，.0A=0D, .∠AD0=∠OAD.∠ADB=38°，.LAD0=∠OAD= 38°，.∠A0B=∠AD0+∠0AD=76°.如答图①所示，当，点 F在AB上时，：∠BOF=30°，.∠AOF=∠AOB-∠BOF =76°-30°=46°；如答图②所示，当点F在BC上时， ∠B0F=30°，.∠A0F=LAOB+∠B0F=76°+30°= 106°.综上，∠A0F=46°或106°. D B 1题答图① 1题答图② 2.4√2或223.(2,6)或(-2，-2)4.A5.D6.B 7.证明：(1)E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点， BF∥AC,BF=4AC ~DF=BP,BF=之DE,AC=DE 又：AC∥DE,.四边形ACED是平行四边形 (2):四边形ACED是平行四边形， ∴.AD∥EC,DE∥AC,AD=EC. .BE=EC,∴.AD=BE,AD∥BE .四边形AEBD是平行四边形. AC⊥AB,AC∥DE,∴.AB⊥ED,∴.四边形AEBD是菱形 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,.∠AEF=∠CHG. BE =2AB,DH =2CD,..BE DH, .BE-AB DH DC,.'.AE=CH. .*∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180° ∴，∠EAF=∠GCH,∴.△EAF≌△HCG,∴.AF=CG. (2)解：BE∥DH,BE=DH, ·.四边形EBHD是平行四边形. EH⊥BD,.四边形EBHD是菱形， ED=EB=2AB,当AE2+DE2=AD2时， ∠BED=90°，四边形BEDH是正方形， 即AB2+(2AB)2=AD2,.AD=√5AB, ∴.当AD=√5AB时，四边形BEDH是正方形 9.解：他的证明过程不正确.正确证明过程如下： 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， .∴.CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°， ∴.∠BCD-∠ECD=LECG-∠ECD,.∠BCE=∠GCD. LB=∠CDG=90°，.△BCE≌△DCG. 第一章章未复习 【知识体系构建】 ①相等②直角③相等④垂直⑤直角⑥相等 ⑦一半⑧垂直平分⑨矩形0菱形 【常考题型训练】 1.D2.D 3.(1)证明：：E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC, .∴.BE垂直平分AC,∴.BA=BC. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形. 7