专题2 特殊平行四边形中的折叠问题&专题3 特殊平行四边形中的最值问题-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

∴.∠FEM+∠MFE=90°，∴.∠AEB=∠MFE ∠A=∠M=90°. 在△ABE和△MEF中， ∠AEB=∠MFE, BE =EF. .△ABE≌△MEF(AAS),.AE=MF,AB=ME, ∴，AE=AD+ED=AB+ED=ME+ED=DM=MF '∠M=90°，.DF2=DM2+MF2=2MF2, .DF=√2MF(负值已舍去)，∴.DF=√2AE, .①中的结论依然成立. 4.①②③[解析]设BE,DG交于点O,:四边形ABCD和 EFGC都为正方形，∴.BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG= 90°，.∴.∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE,即 ∠BCE=∠DCG,∴.△BCE≌△DCG,∴.BE=DG,.∠1= ∠2.∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴.∠2+∠3=90° ∴∠BOG=90°，∴.BE⊥DG,故①②正确.连接BD,EG,如答 图所示，.D02+B02=BD2=BC2+CD2=2a2,E02+0G =EG2=CG2+CE2=262,BG2 DE2 B02 +0G2+D02 +E02=D02+B02+E02+0G2=2a2+2b2,故③正确. 4题答图 5题答图 5.证明：(1)如答图，设AC与BG交于点M,CE与BG交于点N. 四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .∴.AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， ∴.∠CAE=∠GAB,∴.△ACE≌△AGB, ∴.CE=GB,∴.∠ACE=∠AGB. .·∠AMG=∠CMN,.∴.∠MAG=∠CNM=90°，即CE⊥BG. (2)如答图，连接BE,CG. .CE LBG,..BN2 CN2 BC2 EN2 GN2 GE2, .BC2 GE2 BN2 +CN2 +EN2+GN2. .BN2 +EN2 BE2,CN2 +GN2=CG2, .BC2 +GE2 =BE2 +CG2. :四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .∴.∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE,AC=AG, ...BE2=AB2 +AE2=2AB2,CG2 =AC2+AG2 =2AC2 ..BE2 +CG2=2AB2 +2AC2,..BC2+GE2 =2AC2 +2AB2 6.(1)解：：四边形ABCD为正方形，，∠DAB=∠ABC=90° 当∠AEB=55时，∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°， .∴.∠DAH=90°-∠EAF-∠EAB=90°-45°-35°=10°. (2)解：135°-a (3)证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI,如答图所 示，可得E,B,I三点共线，由旋转可知∠DAF=∠BAl,AF=AL :∠DAF+∠EAB=90°-∠EAF=45°， .∠BAI+∠EAB=45°=∠IAE. 在△EAF和△EAI中， rAF =AI, E ∠EAF=∠EAI=45°， LAE=AE. ∴.△EAF≌△EAI(SAS), B .∠AEF=∠AEB. 7.C8.a+b 6题答图 参考答案及解析 专题2特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2B3 -cm? 4.(1)证明：.四边形ABCD为矩形，.AD∥BC, ∴.∠AFE=∠FEC.由折叠的性质，得∠AEF=∠FEC, .∠AFE=∠AEF,.AE=AF. (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC. 设BE=x,则AE=EC=8-x. 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB2+BE2=AE2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, .BE3SAAmEAB BEx4x3=6. 5.（1)证明：.四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 由折叠的性质，得LDAP=∠MF=之∠DAC, LBCE=LMcE=子∠BdA, ∴.∠HAF=∠MCE,∴.AF∥CE. (2)解：30理由如下： 四边形ABCD是矩形，∴.∠D=∠BAD=90°，AB∥CD. 由(1)得，AF∥CE,∴.四边形AECF是平行四边形. ∠BAC=30°，∴.∠DAC=60°，∠ACD=30°. 由折叠的性质，得∠DAF=∠HAF=30°， ∴.∠HAF=∠ACD,∴.AF=CF ,.平行四边形AECF是菱形. 6.(1)证明：：△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴.AF=AD,∠AFE=∠AFG=∠D=90. 又.·四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠B=∠D,.AB=AF,∠B=∠AFG=90° 在R△ABC和R△AFG中，AG=AC, AB=AF, ∴.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). (2)解：.在正方形ABCD中，AB=6,CD=3DE, .EF-DE-CD=2,CE=6-2-4. 设BG=FG=x,则CG=6-x,EG=x+2. 在Rt△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2, 解得x=3,∴.BG=3. (3)解：由(2)知EF=2,BG=3,由(1)知Rt△ABG≌ RtAAFG...FG=BG=3...EG=EF+FG=5 由(2)知CG=6-x=3,CE=4, Sa=G6.c8=2x3x4=6, 5Aax=号9aac=S 专题3特殊平行四边形中的最值问题 1.号 2.(1)证明：连接AC,如答图. ·四边形ABCD是菱形，∠ABC= 60°，.∠ABC=∠D=60°， AB=BC=CD=AD, B HM C .△ABC,△ACD都是等边三角形， 2题答图 ∴.AB=AC,∠BAC=∠ACD=60°=∠MAN, .5. 全程导练·九年级数学·北师版·上册 .∠BAM=∠CAN. 又.：∠ABM=∠ACN=60° .△BAM≌△CAN,∴.AM=AN .·∠MAN=60°，.△AMN是等边三角形 (2)解：△CMN的面积存在最大值.过点A作AH⊥BC于点 H,如答图，易得AH=√3 △BAM≌△CAN,∴.S△BMM=SACAN, Sm边形wcew=5c=子×2×5=5， .四边形AMCN的面积不发生变化， ∴.当△AMN的面积最小时，△MCN的面积最大. :△v是等边三角形易得SA4w-r。 根据垂线段最短可知， 当AM⊥BC时，AM的值最小，为√5， 即此时△AMW的面积最小，是 ×(3)2-3 4 △CMN的面积的最大值为535=瓦 4 4 3.A4.B5.15 6.解：连接BF,作点B关于CD对称点B,连接AB',BF,如 答图 AB =BC, ∠ABC=∠BCD BE =CF, .∴.△ABE≌△BCF ∴.AE=BF, .AE +AF=AF+BF. B 由对称性知BF=B'F, 6题答图 .AE +AF=AF B'F. 当A,F,B三点共线时距离最小为AB', AB'=√AB2+BBZ=√22+42=25. 故AE+AF的最小值为2√5. 7.解：如答图，过点D作DM∥AC, M 使得DM=EF=2, 02 连接FM,BM,BD, .·DM=EF,DM∥EF, .四边形DEFM是平行四边形， ∴.DE=FM, ∴.DE+BF=FM+FB. 7题答图 根据两点之间线段最短可知， 当F为BM与AC的交点时，DE+BF的值最小， 即为BM的长 四边形ABCD是边长为6的菱形， ∴.AB=6,BD⊥AC,AD=AB. ∠BAD=60°，.△ABD是等边三角形，.BD=AB=6. DM∥AC,.BD⊥DM,.BM=√22+62=210， .DE+BF的最小值为2√/10. 8.129.25-2 10.解：如答图，连接OD,0C,过点0在OP的下方作0Q⊥ …6… OP,且使OQ=OP,连接CQ,PQ. 则易得△ODP≌△OCQ, ∴.CQ=PD=4,.PQ≤CQ+PC=4+6=10, ∴.PQ最大=10.易知PQ=√20P,∴.OP最大=52. A D D E 0 B 10题答图 11题答图 11.解：如答图，取OB的中点E',连接PE',作射线FE交AC 于点P',则PE=PE,.IPF-PEI=IPF-PEI≤FE. 当P与P'重合，即P,E,F三点在同一直线上时， PF-PE'I有最大值，即为FE的长. 在菱形ABCD中，∠ABC=120°， LABD6,LDAB-60OB-OD-BD-4, ∴.△ABD为等边三角形，∴.AB=BD=AD=8. ,E为OB的中点，AF=3BF, BF-AB=2.E'B-2..E'B-BF. .·∠ABD=60°，∴.△BEF为等边三角形，∴.E'F=FB=2, 故1PF-PE1的最大值为2. 专题4特殊平行四边形中的动点问题 1.D2.A 3.解：根据题意，设PA=tcm,CQ=3tcm, 则PD=AD-PA=(24-t)cm. (1)AD∥BC,PD∥CQ, ∴.当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形， 即24-t=3t,解得t=6,即当t=6时，PQ∥CD. (2)若PQ=DC,分两种情况： ①PD=CQ,由(1)可知t=6; ②PD≠CQ,则四边形PDCQ是等腰梯形， 则有QC=PD+2(BC-AD), 可得方程31=24-1+4，解得=7. 综上所述，经过6秒，PQ∥CD;经过6秒或7秒，PQ=CD. 4.解：(1)四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD=16cm. 由题意，得BQ=DP=tcm,AP=CQ=(16-t)cm. 易得当BQ=AP时，四边形ABQP是矩形， ∴t=16-t,解得t=8,当t=8时，四边形ABQP是矩形. (2).AP=CQ,AP∥CQ,.四边形AQCP是平行四边形， ∴.当AQ=CQ时，四边形AQCP是菱形， √82+2=16-t,解得t=6, .当t=6时，四边形AQCP是菱形. (3)当t=6时，AP=16-6=10(cm), .菱形AQCP的周长为4×10=40(cm), 面积为10×8=80(cm2). 5.(1)证明：：四边形ABCD为正方形，.AB⊥BC, ∴.∠B=90°.又.EF⊥AB,EG⊥BC,∴.∠EFB=90°， ∠EGB=90°，∴.四边形BFEG是矩形. (2)解：正方形ABCD的周长是40cm,全程导练·九年级数学·北师版·上册 专题2 特殊平行四边形中的折叠问题 [答案P5] 方法指导：①折叠（轴对称）是一种全等变换，折叠 (2)若AB=4,BC=8,求△ABE的面积. 前后的部分是全等图形.②折痕既可看作垂直平 分线（对应点之间的连线被折痕垂直平分），又可 看作角平分线（对应线段所在的直线与折痕的夹 角相等).③解四边形折叠问题，要转化为三角形 4题图 问题，常需要寻找或构造直角三角形，利用勾股 定理求解 1.如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使 5.如图，一张矩形纸片ABCD,将点B翻折到对角线 CB,AD恰好落在对角线AC上，B',D'分别是B,D的 AC上的点M处，折痕CE交AB于点E.将点D翻 对应点，折痕分别为CF,AE.若AB=4,BC=3,则线 折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点 段B'D'的长是 F,折叠出四边形AECF, (1)求证：AF∥CE; (2)当∠BAC= 度时，四边形AECF是菱 形，请说明理由。 1题图 4.S B.2 C.3 D.1 2 2.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AD=2,√3.P 为对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交 5题图 AD于点E,交AB于点F,将△AEF沿EF折叠，点 A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若 △CBG是等腰三角形时，则AP的长为（) A3-5或号 B.3-√3或2 6.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在CD上， 且CD=3DE,将△ADE沿AE翻折得到△AFE,延 C.6-23或4 n6-25或号 长EF交BC于点G,连接AG,CF. (1)求证：△ABG≌△AFG; (2)求BG的长； (3)求△FGC的面积. 2题图 3题图 3.如图，正方形ABCD的边长为6cm,E为BC的中 点，将△CDE沿直线DE折叠，使点C落在点F 处，延长EF交AB于点G,连接BF,则△BEF的 6题图 面积为 4.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使点 A,C重合，AC与EF交于点H. (1)求证：AE=AF; 16 见此图标照微信扫码进人初中智慈学国自 第一章特殊平行四边形又 专题3特殊平行四边形中的最值问题 [答案P5] 类型1利用垂线段最短求最值 4.如图，在△ABC中，AB=AC=BC=2,AD,CE是 1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,P是对角 △ABC的两条中线，P是中线AD上的一个动点， 线AC上一个动点（点P与点A,C不重合），过点 则BP+EP的最小值为 () P分别作PE⊥AD于点E,PF∥BC交CD于点F, 连接EF,则EF的最小值为 D 4题图 A 1题图 A.2 B.√3 C.1 D.√5 2.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， 5.如图，在矩形ABCD中，BC=10,∠ABD=30°.若 M,N分别是边BC,CD上的两个动点，∠MAN= M,N分别为线段DB,AB上的两个动点，则AM+ 60°，连接MN. MN的最小值为 (1)证明：△AMW是等边三角形； (2)在M,N运动的过程中，△CMN的面积存在最 大值吗？若存在，请求出该最大值. 5题图 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E,F分别是 边BC,CD上的两个动点，且满足BE=CF,连接 M C 2题图 AE,AF,求AE+AF的最小值. B E 6题图 类型2利用两点之间线段最短求最值 3.（赤峰中考)如图，菱形ABCD的顶点A,B,C,D均 在坐标轴上，∠ABC=120°，点A(-3,0),E是CD 的中点，P是OC上的一动点，则PD+PE的最小 值是 () 3题图 A.3 B.5 C.22 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 17 全程导练·九年级数学·北师版·上册 7.如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，点E,11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线 F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF= AC,BD交于点O,BD=8,E为OD的中点，点F 2,求DE+BF的最小值， 为AB上一点，且AF=3BF,点P为AC上一动 点，连接PE,PF,求IPF-PEI的最大值 D 7题图 11题图 类型3利用三角形三边关系求最值 8.如图，∠MOW=90°，矩形ABCD的顶点C,D分别 在射线ON,OM上滑动，AB=9,BC=6,在滑动过 程中，点A到点0的最大距离为 A E 8题图 9题图 9.如图，E,F分别是正方形ABCD的边AD,DC上两 个动点，满足AE=DF,连接AF,BE交于点H,连 接DH,若正方形的边长为4，则线段DH长度的最 小值为 10.如图，O为正方形ABCD的对角线的交点，P为 正方形外的一点，PD=4,PC=6,连接OP,求0P 的最大值。 10题图 18 见此图标照微信扫码进人初中智芯学国自自