专题1 与正方形有关的常考模型-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

全程导练·九年级数学·北师版·上册 (2)解：AF+BF=EF 证明：由(1)，得BA=AD,∠AED=90°，∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE. :BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°，.∠E=∠AFB, ∴.△ADE≌△BAF,∴.AE=BF,.AF+BF=AF+AE=EF (3)解：过点B作BF∥DE交AG于点F. 由(1)，得BF=AE=4, 1 1 ·SAABE=2AE,BF=2 ×4×4=8. 第2课时正方形的判定 【知识要点分类练】 1.C2.C3.D 4.证明：如答图，连接AC,交BD于点O 四边形ABCD是菱形， .A0=C0,B0=D0,AC⊥BD. ·BE=DF .BE +OB=DF +DO,..EO=FO, ,.四边形AECF是平行四边形. 0 .AC⊥BD, ∴.平行四边形AECF是菱形 在△AOE和△COE中， 4题答图 .OA=OC,∠AOE=∠C0E=90°， 0E=0E, ∴.△AOE≌△COE(SAS),∴.∠AEF=∠CEF 又：∠AED=45°，.∠AEC=90°， .菱形AECF是正方形 5.A6.127.202 8.证明：CE∥BD,DE∥AC, .四边形OCED是平行四边形. .·正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O .∴.OD=OC,∠DOC=90°，∴.平行四边形OCED是正方形. 【能力提升综合练】 9.C10.B 11.证明：(1)四边形ABCD是正方形 ∴.∠DAB=90°，AC平分∠DAB. :PM⊥AD,PN⊥AB,∴∠PMA=∠PNM=90°， ∴.四边形MAWP是矩形 AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,∴PM=PN, ∴.四边形MANP是正方形 (2)四边形MAWP是正方形 .PM=PN,∠MPN=90°. .·∠EPB=9O°，∴.∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°， ∴.∠MPE=∠NPB. r∠PME=∠PNB=90°， 在△EPM和△BPN中， PM=PN. L∠MPE=∠NPB, .∴.△EPM≌△BPN(ASA),.EM=BN. 12.解：(1)四边形BPC0为平行四边形. 理由：：四边形ABCD为平行四边形， x0c=0A=74c,0B=0D=70 由作图，得OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 理由：：AC⊥BD,∴∠BOC=90°，∴.口BPC0为矩形 AG-BD,OB-BD,OC-AC. ∴.OB=OC,∴矩形BPC0为正方形. 4… 【素养探究创新练】 13.(1)证明：如答图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于 点N,则四边形EMCN是矩形，∴.∠MEN=90. E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN. ·.:四边形DEFG是矩形 .∴.∠DEF=90° .∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. 在△DEN和△FEM中， A D r∠DNE=∠FME=90° EN=EM. L∠DEN=∠FEM, .∴.△DEN≌△FEM(ASA), .EF=DE. .·四边形DEFG是矩形， M F ∴矩形DEFG是正方形. 13题答图 (2)解：CE⊥CG.理由如下： :四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°， ∴.∠CDG=∠ADE. rAD=CD. 在△ADE和△CDG中，{∠ADE=∠CDG, DE =DG, ..△ADE≌△CDG(SAS),.∠CAD=∠DCG .·∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°， .∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°， .CE⊥CG. (3)解：2 专题1与正方形有关的常考膜型 1.C 2.证明：四边形ABCD是正方形， ,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∠AOB=180°-∠A0F=90°，∴.∠BAE+∠OBA=90° 又.：∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF ∴.△ABE≌△BCF,∴.BE=CF 3.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠A=90°. :△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90. FM⊥AD,.∠M=90°， ∴，∠FEM+∠MFE=90°，.∠AEB=∠MFE. r∠A=∠M=90°， 在△ABE和△MEF中， ∠AEB=∠MFE, BE EF. ∴.△ABE≌△MEF(AAS). (2)解：①DF=2AE 理由如下：由(1)，得△ABE≌△MEF .AE =MF,AB ME. 四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=ME ∴.AD-ED=ME-ED,即AE=DM,.DM=MF. ∠M=90°，.DF2=DM2+MF2=2MF2, .DF=√2MF(负值已舍去)，.DF=√2AE. ②①中的结论依然成立 理由如下：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠A=90° △BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90°. .FM⊥AD,.∠M=90°， ∴.∠FEM+∠MFE=90°，∴.∠AEB=∠MFE ∠A=∠M=90°. 在△ABE和△MEF中， ∠AEB=∠MFE, BE =EF. .△ABE≌△MEF(AAS),.AE=MF,AB=ME, ∴，AE=AD+ED=AB+ED=ME+ED=DM=MF '∠M=90°，.DF2=DM2+MF2=2MF2, .DF=√2MF(负值已舍去)，∴.DF=√2AE, .①中的结论依然成立. 4.①②③[解析]设BE,DG交于点O,:四边形ABCD和 EFGC都为正方形，∴.BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG= 90°，.∴.∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE,即 ∠BCE=∠DCG,∴.△BCE≌△DCG,∴.BE=DG,.∠1= ∠2.∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴.∠2+∠3=90° ∴∠BOG=90°，∴.BE⊥DG,故①②正确.连接BD,EG,如答 图所示，.D02+B02=BD2=BC2+CD2=2a2,E02+0G =EG2=CG2+CE2=262,BG2 DE2 B02 +0G2+D02 +E02=D02+B02+E02+0G2=2a2+2b2,故③正确. 4题答图 5题答图 5.证明：(1)如答图，设AC与BG交于点M,CE与BG交于点N. 四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .∴.AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， ∴.∠CAE=∠GAB,∴.△ACE≌△AGB, ∴.CE=GB,∴.∠ACE=∠AGB. .·∠AMG=∠CMN,.∴.∠MAG=∠CNM=90°，即CE⊥BG. (2)如答图，连接BE,CG. .CE LBG,..BN2 CN2 BC2 EN2 GN2 GE2, .BC2 GE2 BN2 +CN2 +EN2+GN2. .BN2 +EN2 BE2,CN2 +GN2=CG2, .BC2 +GE2 =BE2 +CG2. :四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .∴.∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE,AC=AG, ...BE2=AB2 +AE2=2AB2,CG2 =AC2+AG2 =2AC2 ..BE2 +CG2=2AB2 +2AC2,..BC2+GE2 =2AC2 +2AB2 6.(1)解：：四边形ABCD为正方形，，∠DAB=∠ABC=90° 当∠AEB=55时，∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°， .∴.∠DAH=90°-∠EAF-∠EAB=90°-45°-35°=10°. (2)解：135°-a (3)证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI,如答图所 示，可得E,B,I三点共线，由旋转可知∠DAF=∠BAl,AF=AL :∠DAF+∠EAB=90°-∠EAF=45°， .∠BAI+∠EAB=45°=∠IAE. 在△EAF和△EAI中， rAF =AI, E ∠EAF=∠EAI=45°， LAE=AE. ∴.△EAF≌△EAI(SAS), B .∠AEF=∠AEB. 7.C8.a+b 6题答图 参考答案及解析 专题2特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2B3 -cm? 4.(1)证明：.四边形ABCD为矩形，.AD∥BC, ∴.∠AFE=∠FEC.由折叠的性质，得∠AEF=∠FEC, .∠AFE=∠AEF,.AE=AF. (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC. 设BE=x,则AE=EC=8-x. 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB2+BE2=AE2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3, .BE3SAAmEAB BEx4x3=6. 5.（1)证明：.四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∴.∠DAC=∠BCA. 由折叠的性质，得LDAP=∠MF=之∠DAC, LBCE=LMcE=子∠BdA, ∴.∠HAF=∠MCE,∴.AF∥CE. (2)解：30理由如下： 四边形ABCD是矩形，∴.∠D=∠BAD=90°，AB∥CD. 由(1)得，AF∥CE,∴.四边形AECF是平行四边形. ∠BAC=30°，∴.∠DAC=60°，∠ACD=30°. 由折叠的性质，得∠DAF=∠HAF=30°， ∴.∠HAF=∠ACD,∴.AF=CF ,.平行四边形AECF是菱形. 6.(1)证明：：△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴.AF=AD,∠AFE=∠AFG=∠D=90. 又.·四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠B=∠D,.AB=AF,∠B=∠AFG=90° 在R△ABC和R△AFG中，AG=AC, AB=AF, ∴.Rt△ABG≌Rt△AFG(HL). (2)解：.在正方形ABCD中，AB=6,CD=3DE, .EF-DE-CD=2,CE=6-2-4. 设BG=FG=x,则CG=6-x,EG=x+2. 在Rt△ECG中，根据勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2, 解得x=3,∴.BG=3. (3)解：由(2)知EF=2,BG=3,由(1)知Rt△ABG≌ RtAAFG...FG=BG=3...EG=EF+FG=5 由(2)知CG=6-x=3,CE=4, Sa=G6.c8=2x3x4=6, 5Aax=号9aac=S 专题3特殊平行四边形中的最值问题 1.号 2.(1)证明：连接AC,如答图. ·四边形ABCD是菱形，∠ABC= 60°，.∠ABC=∠D=60°， AB=BC=CD=AD, B HM C .△ABC,△ACD都是等边三角形， 2题答图 ∴.AB=AC,∠BAC=∠ACD=60°=∠MAN, .5.全程导练·九年级数学·北师版·上册 专题1 与正方形有关的常考模型 [答案P4] 模型1“十字架”模型 模型2一线三垂直模型 【模型展示】 模型展示)】 分别连接正方形两组对边上的任意两点，得到两 条件 PD=PC,∠1=∠2=∠3=909 条件 条互相垂直的线段（如图①中的线段AF与BE,图 ②中的线段HF与EG) D 图形 b1 图形 ①△CPA≌△PDB: ①△CPA≌△PDB: B G 结论 图① 图② ②AB=AC+BD ②AB=AC-BD 结论 AF=BE HF=EG 3.如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点，连 1.(重庆中考)如图，在正方形ABCD中，AE平分 接BE,并按照如图所示的方式构建等腰直角三角 ∠BAC,交BC于点E,F是边AB上一点，连接 形BEF,其中∠BEF=90°，过点F作AD的垂线， DF.若BE=AF,则∠CDF的度数为 垂足为M,连接DF. (1)求证：△ABE≌△MEF; (2)①如图①，猜想DF与AE之间的数量关系，并 说明理由； ②如图②，当E是AD延长线上的一点时， 1题图 ①中的结论是否依然成立？请说明理由. A.45° B.60° C.67.5° D.77.5° 2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC, CD上，AE,BF相交于点O,∠AOF=90°.求证： BE CF. 3题图① 3题图② 2题图 14 见此图标贸微信扫码进人初中智慧学园目 第一章特殊平行四边形 模型3“手拉手”模型 6.如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边 BC,CD交于点E,F,AE,AF分别交BD于点G,H, 【模型展示】 且∠EAF=45°. 在△ABC中，AB=AC,在△ADE中，AD=AE, 条件 (1)当∠AEB=55时，求∠DAH的度数： ∠BAC=∠DAE=a,BD,CE交于点P (2)设∠AEB=a,则∠AFD= （用含a的 代数式表示)； (3)求证：∠AEB=∠AEF 图形 ①△CAE≌△BAD:②CE=BD: 结论 ③∠BPC=∠BAC=a 6题图 4.如图，正方形ABCD和正方形 CEFG边长分别为a和b,正方 形CEFG绕点C旋转，给出下列 结论：①BE=DG;②BE⊥DG; ③DE2+BG=2a2+2b2,其中正 4题图 模型5对角互补模型 确的结论是 ·(请填写序号)》 如图，在正方形ABCD中，点O为对角线交点， 5.如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为 已知∠E0F=90°，OE,OF分别交线段AB,BC于点 边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE, E,F,分别交正方形边长的延长线于点G,H,则有结 BG,GE.求证： 论：△AOE≌△BOF,△AOG兰≌△BOH,△OGH是等 (1)CE=BG,CE⊥BG; (2)BC2+GE2=2AC2+2AB2 腰直角三角形，且S四边形OEBr三 4S正方形ABCD 5题图 7.如图，正方形ABCD的边长为6，两 条对角线AC,BD相交于点O.M,N M 分别为AB,BC上的动点，且满足 B N BM=CN,连接OM,ON,MN,E为 7题图 MN的中点，连接OE.有以下结论：①BM+BN= 6;②△MON为等腰直角三角形；③AMP+CWN2= 模型4“半角”模型 40E2;④四边形BNOM周长的最小值为8.其中一 模型展示】 定成立的个数是 ( 在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上， A.1 B.2 C.3 D.4 条件 且∠EAF=459 8.用四块大正方形地砖和一块小正 方形地砖拼成如图所示的实线图 案，每块大正方形地砖面积为α，小 图形 正方形地砖面积为b,依次连接四 块大正方形地砖的中心，得到正方 8题图 ①△AEF≌△AEG;②△AGF为等腰直角三角形； 形ABCD,则正方形ABCD的面积为 结论 ③EF=BE+DF (用含a,b的代数式表示) 见此图标贸微信打码进人初中智慧学园自 6