第1章 特殊平行四边形 章末复习-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形 第一章 章末复习 [答案7] 知识体系构建： 菱形—有一组邻边① 的平行四边形叫作菱形 认识特殊 矩形—有一个角是② 的平行四边形叫作矩形 平行四边形 正方形一有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 四条边③ 性质 对角线互相垂直 四边相等的四边形是菱形 菱形 判定 特 对角线互相④ 的平行四边形是菱形 面积一 S支形=底×高=对角线长的乘积的一半 四个角都是⑤ 行 性质 对角线相等 边 矩形 判定 有三个角是直角的四边形是矩形 L对角线⑥ 的平行四边形是矩形 形 直角三角形斜边上的中线一直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑦ 性质「 四个角都是直角，四条边相等 对角线相等且互相⑧ 正方形 有一组邻边相等的⑨ 是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 判定 有一个角是直角的⑩ 是正方形 对角线相等的菱形是正方形 常考题型训练学： 考点T菱形的性质与判定 3.如图，在口ABCD中，E为对角线AC上的中点，连 1.（内江中考)按如下步骤作四边形ABCD:(1)画 接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延长BC至点F,使 ∠EAF;(2)以点A为圆心，1个单位长度为半径 CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. 画弧，分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和 (1)求证：口ABCD是菱形； 点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于 (2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. 点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°，则∠BDC 的度数是 ( A.64° B.669 C.68° D.70° E D 3题图 D B E C 1题图 2题图 2.(河南中考)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB =6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折 叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的 长为 ( A.2 B.6-32 C.22 D.62-6 见此图标贸微信打码进人初中智慧学园自 23 全程导练·九年级数学·北师版·上册 考点2矩形的性质与判定 考点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4.（兰州中考)如图，在矩形ABCD E 8.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是 中，E为BA延长线上一点，F为A D AE的中点，AB=8,AD=DE=10,则BF的长 CE的中点，以点B为圆心，BF长 为 为半径的圆弧过AD与CE的交点B G,连接BG.若AB=4,CE=10,则 4题图 AG= ( A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在 8题图 9题图 点A'处，A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠， 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， 点C落在△BDE内的点C'处，下列结论一定正确 ∠BAD=45°，连接AC,BD.M是AC的中点，连接 的是 () BM,DM.若△BMD的面积为32，则AC的长 A.∠1=45°-a B.∠1=a 为 C.∠2=90°- D.∠2=2 考点④正方形的性质与判定 A D 10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别为AO,D0上的一点，且EF∥AD, 连接AF,DE.若∠FAC=15°，则∠AED的度数为 ( )A 5题图 6题图 A.80° 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分别 B.90° 是边AD,CD上的动点，连接BE,EF,G为BE的 中点，H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值 C.105° 是 D.115° 10题图 7.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 11.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M,过 点M作ME⊥AC,MF⊥AD,垂足分别为E,F: 过点D作DE,∥AC,且DE=4C,连接CE. (1)求证：∠CAB=∠DAB; (1)求证：四边形OCED为矩形； (2)若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形 (2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积. D B 7题图 11题图 24 见此图标照微信打码进人初中智巷学国目.AB=40÷4=10(cm). 四边形ABCD为正方形， .△AEF为等腰直角三角形，.AF=EF, .四边形BFEG的周长为2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm (3)解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF=BF AF=EF,AB =10 cm, ∴.当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形 6.(1)证明：DE⊥BC,∴∠DFB=90. .·∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠DFB,∴.AC∥DE MN∥AB,即CE∥AD,∴.四边形ADEC是平行四边形， ∴.CE=AD (2)解：四边形BECD是菱形 理由如下：D为AB的中点，AD=BD. ,CE=AD,∴.BD=CE. ,BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形 .∠ACB=90°，D为AB的中点，.CD=BD, ∴.平行四边形BECD是菱形. (3)解：当LA=45时，四边形BECD是正方形. 理由如下：∠ACB=90°，∠A=45°， .∴.∠ABC=∠A=45°，..AC=BC. D为AB的中点，.CD⊥AB,.∠CDB=90 由(2)知，四边形BECD是菱形，菱形BECD是正方形， 即当∠A=45时，四边形BECD是正方形. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)a (2)如答图，正八边形LGFIHKJE即为所求作. A L ED G B HC 1题答图 2.(1)证明：连接AC,BD,如答图① ·四边形ABCD为矩形， .AC BD E,H分别是AB,DA的中点， .EH为△ABD的中位线， 2题答图① 同理可得PG=之BD,EP= 1 GH-AC. .EH=EF=FG=GH,.四边形EFGH为菱形 E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ,四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形. (2)解：四边形EFGH即为所求，如答图②. 头H D B 2题答图② 参考答案及解析 (3)解：a>√5 第一章易错强化训练 1.46或106°[解析].·四边形ABCD是矩形，.0A=0D, .∠AD0=∠OAD.∠ADB=38°，.LAD0=∠OAD= 38°，.∠A0B=∠AD0+∠0AD=76°.如答图①所示，当，点 F在AB上时，：∠BOF=30°，.∠AOF=∠AOB-∠BOF =76°-30°=46°；如答图②所示，当点F在BC上时， ∠B0F=30°，.∠A0F=LAOB+∠B0F=76°+30°= 106°.综上，∠A0F=46°或106°. D B 1题答图① 1题答图② 2.4√2或223.(2,6)或(-2，-2)4.A5.D6.B 7.证明：(1)E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点， BF∥AC,BF=4AC ~DF=BP,BF=之DE,AC=DE 又：AC∥DE,.四边形ACED是平行四边形 (2):四边形ACED是平行四边形， ∴.AD∥EC,DE∥AC,AD=EC. .BE=EC,∴.AD=BE,AD∥BE .四边形AEBD是平行四边形. AC⊥AB,AC∥DE,∴.AB⊥ED,∴.四边形AEBD是菱形 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠BCD,.∠AEF=∠CHG. BE =2AB,DH =2CD,..BE DH, .BE-AB DH DC,.'.AE=CH. .*∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180° ∴，∠EAF=∠GCH,∴.△EAF≌△HCG,∴.AF=CG. (2)解：BE∥DH,BE=DH, ·.四边形EBHD是平行四边形. EH⊥BD,.四边形EBHD是菱形， ED=EB=2AB,当AE2+DE2=AD2时， ∠BED=90°，四边形BEDH是正方形， 即AB2+(2AB)2=AD2,.AD=√5AB, ∴.当AD=√5AB时，四边形BEDH是正方形 9.解：他的证明过程不正确.正确证明过程如下： 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， .∴.CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°， ∴.∠BCD-∠ECD=LECG-∠ECD,.∠BCE=∠GCD. LB=∠CDG=90°，.△BCE≌△DCG. 第一章章未复习 【知识体系构建】 ①相等②直角③相等④垂直⑤直角⑥相等 ⑦一半⑧垂直平分⑨矩形0菱形 【常考题型训练】 1.D2.D 3.(1)证明：：E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC, .∴.BE垂直平分AC,∴.BA=BC. 四边形ABCD是平行四边形，∴.口ABCD是菱形. 7 全程导练·九年级数学·北师版·上册 (2)解：如答图，EB=EF,CE=CF=4, ..∠3=∠2=∠1 设∠3=∠2=∠1=， ∴.∠4=∠1+∠2=2am BE⊥AC, .∠3+∠4=90°， 4入 .a+2a=90°，.a=30°， .∴.∠1=∠2=∠3=30°， 3题答图 ∠4=60°. BE LAC,.'.BC=2CE=2 x4 =8. BC=BA,∴.△ABC为等边三角形， .∴.∠ABC=∠BAC=60°. .·四边形ABCD是菱形，∴.AB∥CD,CD=BC=8, ∴.∠FCG=∠ABC=60°，∠ECG=∠BAC=60°， .∴.∠FCG=∠ECG=60°. .CF=CE=4,∴.CG⊥EF :∠2=30，cG=2CF=2, .FG=√FC2-CG=25, SAm=CDXFG=x8x28 4.C5.D6.5 7.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ACBD,A0-0C-ACDOC9 DE-AC DE=OC. ·DE∥OC,∴.四边形OCED是平行四边形 又，∠D0C=90°，∴.平行四边形OCED是矩形. (2)解：：四边形ABCD是菱形，DB=6,AC=8, 菱形ABCD的面积=24C·BD=7×8×6=24. 8.259.1610.C 11.证明：(1)AB是CD的垂直平分线，∴.AC=AD,BC=BD. 又.'AB=AB,∴.△ACB≌△ADB,∴.∠CAB=∠DAB. (2).·ME⊥AC,MF⊥AD,∠CAD=90°， 即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°， .四边形AEMF是矩形. .·∠CAB=∠DAB,ME⊥AC,MF⊥AD .ME=MF,∴.四边形AEMF是正方形 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 【知识要点分类练】 1.D2.-23.C4.x2-2x-15=0-21-15 5.D 6.解：(1)x(x+2)=40×2.一般形式为x2+2x-80=0. (2)(6x-5)x=125.一般形式为6x2-5x-125=0. 【能力提升综合练】 7.C8.-1 9.解：(1)化为一般形式为5x2+x-4=0,其中二次项系数为 5,一次项系数为1，常数项为-4. (2)化为一般形式为2x2+6x+1=0,其中二次项系数为2， 一次项系数为6，常数项为1. ·8… 第2课时一元二次方程的解及其估算 【知识要点分类练】 1.2 2.(1)证明：由a+c=-b,得a+b+c=0, 故当x=1时，ax2+bx+c=a×12+b×1+c=a+b+c=0, ∴x=1必是该方程的一个根. (2)解：当x=-1时，代入方程，得a-b+c=0, ∴.当a,b,c之间的关系满足a-b+c=0时， 方程必有一个根是x=-1. 3.C 4.(1)-1334-0.010.363.33.4(2)33 【能力提升综合练】 5.D6.x=2025 7.解：(1)x2+3x-4=0 (2)方程x2-2x+c=0的“倒方程”为cx2-2x+1=0, 把x=-1代入，得c+2+1=0,.c=-3. (3)2026 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法解简单的一元二次方程 【知识要点分类练】 1.D2.C3.m>14.(1)10(2)4或23 5.解：(1)x1=3,x2=-1. (2=2=-子 3 8 10 (3)x1=-3=-9 6.A 7.x1=2026,x2=-2024 8.解：(1)A (2)二 (3)移项，得x2-2x=8,配方，得x2-2x+1=8+1, 即(x-1)2=9,两边开平方，得x-1=±3， 解得x1=-2,2=4. 9.解：(1)x1=3+4,x2=-√3+4. (2)x1=-1+5,x2=-1-5. 【能力提升综合练】 10.B11.C 12.6[解析]a2-4a-b=0,.a2-4a=b.2a2+b2- 8a+2b=2-c,.2(a2-4a)+b2+2b=2-c,.b2+4b= 2-c,(b+2)2=6-c.(b+2)2≥0，且当b=-2时等 号成立，.6-c≥0，.c≤6，∴.c的最大值为6. 13.x1=1,x2=4 14.解：设长和宽各增加xcm, 则增加后长方形的长为(8+x)cm,宽为(6+x)cm. 由题意，得(8+x)(6+x)=8×6+51, 整理，得x2+14x=51. 配方，得x2+14x+72=51+72, .(x+7)2=100, 解得x1=3,x2=-17(不合题意，舍去)， .8+x=8+3=11,6+x=6+3=9. 答：增加后长方形的长为11cm,宽为9cm. 【素养探究创新练】 15.解：(1)42-1-7（最后两空可互换）