1.4.2 正方形的判定-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

全程导练·九年级数学·北师版·上册 第2课时 正方形的判定 [答案P4] 知识要点分类练单” 餐知识点2中点四边形 5.顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是 知识点1正方形的判定 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 A.矩形 B.菱形 点O,添加下列条件，能判定菱形ABCD是正方形 C.正方形 D.平行四边形 的是 ( 6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足为 A.AB=AC B.OA=OC O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若 C.BC⊥CD D.AC⊥BD AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积 为 添加条件 四边形 正方形 1题图 2题图 2.(玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的 三个条件便得到正方形（如图）： 6题图 a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等； 等知识点3正方形的性质与判定的综合应用 c.一组邻边相等； d.一个角是直角. 7.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的 顺次添加的条件：①a→c→d;②b→d→c;③a→ 菱形学具，他先把活动学具调整成如图①所示的 b沁，则正确的是 ( 菱形，并测得∠B=60°，AB=20cm,接着把活动 A.仅①B.仅③ C.①② D.②③ 学具调整成如图②所示的正方形，则图②中对角 3.（山东临折期末)如图，在矩形ABCD中，M,N分 线AC的长为 cm. 别是边AD,BC的中点，E,F分别是线段BM,CM 的中点.当BC=2AB时，四 边形MENF是 A.平行四边形 7题图① 7题图② B.矩形 D 8.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 C.菱形 3题图 O,过点C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE,DE D.正方形 相交于点E.求证：四边形OCED是正方形. 4.如图，已知菱形ABCD,E,F是对角线BD所在直 D 线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE,连接CE, AF,CF,得到四边形AECF.求证：四边形AECF是 正方形. 8题图 4题图 12 见此图标贸微信扫码进人初中智慧学园目全程导练·九年级数学·北师版·上册 (2)解：AF+BF=EF 证明：由(1)，得BA=AD,∠AED=90°，∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE. :BF∥DE,.∠AFB=180°-∠E=90°，.∠E=∠AFB, ∴.△ADE≌△BAF,∴.AE=BF,.AF+BF=AF+AE=EF (3)解：过点B作BF∥DE交AG于点F. 由(1)，得BF=AE=4, 1 1 ·SAABE=2AE,BF=2 ×4×4=8. 第2课时正方形的判定 【知识要点分类练】 1.C2.C3.D 4.证明：如答图，连接AC,交BD于点O 四边形ABCD是菱形， .A0=C0,B0=D0,AC⊥BD. ·BE=DF .BE +OB=DF +DO,..EO=FO, ,.四边形AECF是平行四边形. 0 .AC⊥BD, ∴.平行四边形AECF是菱形 在△AOE和△COE中， 4题答图 .OA=OC,∠AOE=∠C0E=90°， 0E=0E, ∴.△AOE≌△COE(SAS),∴.∠AEF=∠CEF 又：∠AED=45°，.∠AEC=90°， .菱形AECF是正方形 5.A6.127.202 8.证明：CE∥BD,DE∥AC, .四边形OCED是平行四边形. .·正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O .∴.OD=OC,∠DOC=90°，∴.平行四边形OCED是正方形. 【能力提升综合练】 9.C10.B 11.证明：(1)四边形ABCD是正方形 ∴.∠DAB=90°，AC平分∠DAB. :PM⊥AD,PN⊥AB,∴∠PMA=∠PNM=90°， ∴.四边形MAWP是矩形 AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,∴PM=PN, ∴.四边形MANP是正方形 (2)四边形MAWP是正方形 .PM=PN,∠MPN=90°. .·∠EPB=9O°，∴.∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°， ∴.∠MPE=∠NPB. r∠PME=∠PNB=90°， 在△EPM和△BPN中， PM=PN. L∠MPE=∠NPB, .∴.△EPM≌△BPN(ASA),.EM=BN. 12.解：(1)四边形BPC0为平行四边形. 理由：：四边形ABCD为平行四边形， x0c=0A=74c,0B=0D=70 由作图，得OB=CP,BP=OC, .四边形BPCO为平行四边形 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 理由：：AC⊥BD,∴∠BOC=90°，∴.口BPC0为矩形 AG-BD,OB-BD,OC-AC. ∴.OB=OC,∴矩形BPC0为正方形. 4… 【素养探究创新练】 13.(1)证明：如答图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于 点N,则四边形EMCN是矩形，∴.∠MEN=90. E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN. ·.:四边形DEFG是矩形 .∴.∠DEF=90° .∠DEN=∠MEF=90°-∠FEN. 在△DEN和△FEM中， A D r∠DNE=∠FME=90° EN=EM. L∠DEN=∠FEM, .∴.△DEN≌△FEM(ASA), .EF=DE. .·四边形DEFG是矩形， M F ∴矩形DEFG是正方形. 13题答图 (2)解：CE⊥CG.理由如下： :四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， ∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°， ∴.∠CDG=∠ADE. rAD=CD. 在△ADE和△CDG中，{∠ADE=∠CDG, DE =DG, ..△ADE≌△CDG(SAS),.∠CAD=∠DCG .·∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°， .∠ACG=∠ACD+∠DCG=∠ACD+∠CAD=90°， .CE⊥CG. (3)解：2 专题1与正方形有关的常考膜型 1.C 2.证明：四边形ABCD是正方形， ,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90° ∠AOB=180°-∠A0F=90°，∴.∠BAE+∠OBA=90° 又.：∠ABE=∠CBF+∠OBA=90°，.∠BAE=∠CBF ∴.△ABE≌△BCF,∴.BE=CF 3.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠A=90°. :△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90. FM⊥AD,.∠M=90°， ∴，∠FEM+∠MFE=90°，.∠AEB=∠MFE. r∠A=∠M=90°， 在△ABE和△MEF中， ∠AEB=∠MFE, BE EF. ∴.△ABE≌△MEF(AAS). (2)解：①DF=2AE 理由如下：由(1)，得△ABE≌△MEF .AE =MF,AB ME. 四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=ME ∴.AD-ED=ME-ED,即AE=DM,.DM=MF. ∠M=90°，.DF2=DM2+MF2=2MF2, .DF=√2MF(负值已舍去)，.DF=√2AE. ②①中的结论依然成立 理由如下：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠A=90° △BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴.BE=EF,∠AEB+∠FEM=90°. .FM⊥AD,.∠M=90°，