3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（12个题型归纳）----2026年新高一数学人教A版暑假预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.2.1 函数的单调性与最大（小）值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数的定义域是 如果对于___任意_____的，当__ ______时，都有________，那么就称函数是增函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上___单调递增_____. 如果对于_任意_______的，，当________时，都有________，那么就称函数是减函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上_单调递减_______. 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．函数的最大值和最小值 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，都有______，则称的最大值为，而称为的__最大值点____； （2）如果对任意，都有______，则称的最小值为，而称为的__最小值点____． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：定义法证明函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.单调递增：对任意，若，则 2.单调递减：对任意，若，则 3.作差判定： 函数单调递增；函数单调递减 4.正值函数比值判定：递增；递减 方法技巧 1.严格五步解题法取值作差变形判号下结论 2.变形优先使用因式分解通分配方分子有理化化为乘积型判号 3.结合与定义域区间判断各因式正负 （2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性.经典例题1例题 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. （25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数，小试牛刀1 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. （25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且.小试牛刀2 (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)4 (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知函数，且．小试牛刀3 (1)求的值，并证明在区间上单调递增； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)；证明见解析 (2)或 【分析】（1）由，代入可求，再利用函数的单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性求解不等式即可． 【详解】（1）解：， ，解得， ， 证明：，且， 则 ， ∵， ∴， ∴，即， 故在上单调递增； （2）解： ，， 又 在上单调递增，且， ， 解得或． 【题型2：求已知函数的单调区间】 【练方法】 公式结论 1.一次函数 在上单调递增；在上单调递减 2.二次函数，对称轴 ：递减，递增 ：递增，递减 3.反比例函数 在、上分别单调递减 方法技巧 1.二次函数先定对称轴与开口方向再划分单调区间 2.所有函数先求定义域单调区间必须在定义域内 3.间断区间严禁用连接只能用逗号分隔 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________．小试牛刀1 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． （25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________．小试牛刀3 【答案】 【分析】第一问分区间去绝对值，转化为二次函数后，结合对称轴与开口方向确定单调递减区间；第二问分与讨论，利用函数单调性与判别式分析不等式成立条件，调整的取值要求以适配的限定. 【详解】（1）当时，. 时，，在上单调递增； 时，，其对称轴为，开口向下， 故函数在上单调递减，在上单调递增， （2）当时，即. 若，因，故，不等式化为. 令，其对称轴为，故在上单调递增， 需， 即，解得. 若，则当时（此时满足），，不满足在上恒成立，故不符合题意， 故的取值范围是. 故答案为：； 【题型3：由函数的单调性求参数的值】 【练方法】 公式结论 1.一次函数全区间单调：递增递减 2.二次函数在区间单调：区间整体位于对称轴同侧 3.分段函数整体单调：各段单调性一致且左段端点值满足衔接条件 方法技巧 1.二次含参题型以对称轴为核心列不等式约束参数 2.一次含参直接根据增减性限定斜率符号 3.解出参数后代回原题验证区间单调性成立 （2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. （24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________．小试牛刀1 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. （2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______．小试牛刀2 【答案】 【详解】易知函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 从而当函数在上单调递减时，，则，得， 当函数在上单调递增时，，则，得， 综上，a的取值范围为． （25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 【题型4：复合函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.复合函数遵循同增异减 内层增、外层增复合增 内层增、外层减复合减 内层减、外层增复合减 内层减、外层减复合增 2.定义域约束：且 方法技巧 1.分层拆解内层外层 2.取内外层有效区间交集再判断增减性 3.根式分式复合优先锁定定义域再判断单调性 （25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________经典例题1例题 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 （25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　）小试牛刀1 A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B （25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的定义域即可求解. 【详解】由题意可得解得． 故答案为： （25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 【题型5：分段函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.分段函数整体递增条件 每段单调递增且左端区间最大值右端区间最小值 2.分段函数整体递减条件 每段单调递减且左端区间最小值右端区间最大值 方法技巧 1.先逐段判断单调性再验证分段端点衔接不等式 2.含参题型联立斜率符号不等式与端点衔接不等式 3.必须双向检验避免单段单调整体不单调 （25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. （2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. （2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 【题型6：由函数的单调性求最值/值域】 【练方法】 公式结论 1.单调递增： 2.单调递减： 3.开区间单调函数无最值值域为开区间 方法技巧 1.闭区间单调函数最值一定在端点取得 2.二次函数区间最值对比端点函数值与顶点函数值 3.无穷区间单调函数仅存在单侧最值 （25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________．经典例题1例题 【答案】 4 3 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. （2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______．小试牛刀1 （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． （2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. （25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记．小试牛刀3 (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）作出函数的图象，即可根据图象求解， （2）只需根据在上的值域为的子集即可，求解的范围即可. 【详解】（1），， ，， 即， 作图可知， 函数的最大值为，值域为； （2）由题意，只需在上的值域为的子集即可， 因为，所以， 对称轴为，由得， ①当，即时，， 所以，解得，故； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时最小值为，最大值为， 所以，解得，所以； 综上，所求的范围为. 【题型7：由函数的最值求参数】 【练方法】 公式结论 1.一次函数区间最值必在端点处取得 2.二次函数区间最值由对称轴与区间位置关系决定 3.已知最值点代入解析式建立参数方程求解 方法技巧 1.二次含参分三类讨论对称轴在区间左区间内区间右 2.求出参数后验证最值对应自变量在区间内 3.多解情况逐一取舍保留符合区间条件的解 （25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. （25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可. 【详解】因为，且， 当时，则在单调递增， 可得，则； 当时，则在单调递增，在单调递减， 可得，则； 当时，因为， （i）当时，可得，则； （ii）当时，可得，则； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，，为开口向上的二次函数，对称轴为. 要使是的最小值，只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： （25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】应用对勾函数的单调性得出函数的值域，再应用绝对值不等式得出，最后应用对勾函数的最小值计算求解. 【详解】若，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即得，则函数， 当时，当或时， 则函数值域为； ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 故答案为：，； 【题型8：由函数的单调性比较大小】 【练方法】 公式结论 1.递增函数： 2.递减函数： 方法技巧 1.自变量不在同一单调区间利用奇偶性对称性转化到同一区间 2.先比自变量大小再根据单调性判定函数值大小 3.严格保证自变量在定义域内 （2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. （24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数为R上的单调递增函数，当n为正整数时，也为正整数，且，则的值为（    ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．8 D．15 【答案】C 【分析】先由，进而可得，再结合函数的性质即可得解. 【详解】因为，当，有， 若，则，与矛盾，故， 又因为当为正整数时，也为正整数，故， 因为函数为上的单调递增函数，所以， 又，所以， 所以， 又因为，所以，， 又因为，所以， 又因为函数为上的单调递增函数，当为正整数时，也为正整数， ，，且， 所以，，，. 故选：C. （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 【题型9：由函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 公式结论 1.在上递增： 2.在上递减： 方法技巧 1.双重约束所有自变量满足定义域满足单调性不等关系 2.多个不等式取交集作为最终解集 3.递减函数一定要反向变号 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意， ，都有，则不等式的解集为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的， ，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，且判断函数的单调性；结合的定义域和的单调性求解的取值范围. 【详解】因为，所以由，可得， 即． 令，可得，则可知在上单调递减． 由得：， 因为的定义域为，所以，, 故，即. 由得，，因此，所以即， 该式对所有恒成立，因此，即， 又，得的取值范围为. （2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则 ， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. （25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有 ， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即 ，所以，解得， 即不等式的解集是． 【题型10：分段函数的值域/最值求参数】 【练方法】 公式结论 1.分段函数整体值域=各分段值域的并集 2.整体最值取自各段端点最值与极值的最大值或最小值 方法技巧 1.逐段求解值域再整体合并 2.根据已知最值锁定最值所在分段列方程求参数 3.结果代回验算保证值域与最值条件成立 （25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______.经典例题1例题 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. （2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．小试牛刀1 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． （2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. （25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 【题型11：函数不等式的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.恒成立 2.恒成立 3.恒成立 4.恒成立 方法技巧 1.恒成立核心思路转化为最值问题 2.优先分离参数求另一侧函数最值 3.二次函数恒成立结合开口判别式区间最值综合判断 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. （25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________小试牛刀1 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. （25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________．小试牛刀2 【答案】 【分析】设，得到，令，得到，求得，得到函数，且在上单调递增，求得，结合恒成立，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数， 设，则且， 令，可得，所以，即， 可得为该方程唯一解，所以，且在上单调递增， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. （25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为．小试牛刀3 (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，2，3为方程的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）可知，且满足，恒成立，等价于，根据二次函数的性质，即可求出在上的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 【题型12：函数不等式的有解问题】 【练方法】 公式结论 1.有解 2.有解 3.有解 4.有解 方法技巧 1.口诀恒成立看对面最值有解看同侧最值 2.有解等价于参数与函数值域存在交集 3.严格区分开闭区间准确判断等号取舍 （25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______．小试牛刀1 【答案】 【分析】将不等式变形分离参数，构造函数并分析其单调性，求出函数在区间上的最小值，根据存在性条件确定的取值范围. 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： （25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增小试牛刀2 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 (2) 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； （2）由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. （2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ，小试牛刀3 (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 2．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，所以转化为，即可得到. 【详解】由题意知 ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 又，使得成立，所以，解得，即的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果. 【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，即，则， 若对任意的，都有， 则只要即可，即， 解得，又因为，则. 故选：D 4．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，当时，单调递增，又因为是单调函数，所以在上单调递增，据此列出关于的不等式组求解即可. 【详解】当时，是单调递增函数， 因为函数是单调函数， 则函数在上单调递增函数， 则,解得：, 所以实数的取值范围是. 故选：B 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可. 【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 函数的最大值，所以，舍去； 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析. 二、多选题 8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题 9．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解. 【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时，函数无最小值； 故需满足，得， 若函数的最小值为， 对于，，其最小值为，当且仅当对称轴， 对于，恒成立， 又知，故时，， 所以需，解得， 由和可得， 综上可知，. 故答案为： 11．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】能成立问题转化为，结合对勾函数图像性质讨论与，列不等式求解即可. 【详解】由题意，只需， 由对勾函数图像性质可得在单调递增，在单调递减， ，， 当时，，， 不符合题意； 当时，，， 则， 解得， 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】因为, 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 14．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数． (1)解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出方程的根，分两个根的大小讨论，可得不等式的解集； （2）分对称轴与区间的位置可得函数的最小值的解析式； （3）将不等式整理可得，换元后由对勾函数的单调性可得的范围． 【详解】（1）函数， 因为方程，即，解得或， 当，即，不等式即为，则不等式的解集为； 当，即，不等式的解为或； 当，即，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； （2）函数，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增，所以； 当，即时，函数单调递减， 所以 ； 当时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：； （3）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增， 又因为， ， 所以， 所以恒成立，所以． 所以实数的取值范围为． 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上的单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将函数值代入，即可求得a，b的值，即可得解析式. （2）利用定义法，取值、作差、整理、定号、得结论，按照步骤整理分析，即可得证. （3）根据函数的解析式，结合定义域，分析可得时，，当时，，利用定义法，证明在上的单调性，分别讨论都在内、都在内和一个在内，一个在内，三种情况，根据函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意，解得， 所以. （2）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （3）由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 16．（24-25高一上·四川自贡·期中）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（提示：令） (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为，值域为. (2) 【分析】（1）结合题目所给性质，求函数的单调性和值域； （2）求出函数的值域，根据值域的包含关系求解. 【详解】（1）令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为， 且，，， 所以的值域为. （2）因为在上单调递减， 所以， 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得. 17．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法证明即可； （2）根据条件得出，再利用参变分离求函数最值即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 18．（25-26高一上·江西·期中）已知二次函数图象经过点，并且满足 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值为； (3)在（2）的条件下，若，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式； （3）根据题意得出恒成立，可得出，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，求出，可得出，结合题意即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，设， 则， 所以，解得，即， 又因为，解得，故. （2）因为，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上为增函数， 此时； 当时，即当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 此时； 当时，即当时，函数在上为减函数， 此时. 综上所述，. （3），对，不等式恒成立，即， 即，令， 当时，， 若时，即当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为，，， 此时， 当时，，此时函数在上为减函数，此时， 综上所述，， 因为，使得，故， 因此实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.2.1 函数的单调性与最大（小）值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数的定义域是 如果对于___任意_____的，当__ ______时，都有________，那么就称函数是增函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上___单调递增_____. 如果对于_任意_______的，，当________时，都有________，那么就称函数是减函数.特别地，当是定义域上的一个区间时，也称函数在区间上_单调递减_______. 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．函数的最大值和最小值 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，都有______，则称的最大值为，而称为的__最大值点____； （2）如果对任意，都有______，则称的最小值为，而称为的__最小值点____． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：定义法证明函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.单调递增：对任意，若，则 2.单调递减：对任意，若，则 3.作差判定： 函数单调递增；函数单调递减 4.正值函数比值判定：递增；递减 方法技巧 1.严格五步解题法取值作差变形判号下结论 2.变形优先使用因式分解通分配方分子有理化化为乘积型判号 3.结合与定义域区间判断各因式正负 （2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性.经典例题1例题 （25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数，小试牛刀1 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． （25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且.小试牛刀2 (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. （25-26高一上·贵州铜仁·期末）已知函数，且．小试牛刀3 (1)求的值，并证明在区间上单调递增； (2)若，且，求实数的取值范围． 【题型2：求已知函数的单调区间】 【练方法】 公式结论 1.一次函数 在上单调递增；在上单调递减 2.二次函数，对称轴 ：递减，递增 ：递增，递减 3.反比例函数 在、上分别单调递减 方法技巧 1.二次函数先定对称轴与开口方向再划分单调区间 2.所有函数先求定义域单调区间必须在定义域内 3.间断区间严禁用连接只能用逗号分隔 （2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________．小试牛刀1 （25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，当时，的单调递减区间是________；当时，，则实数a的取值范围是________．小试牛刀3 【题型3：由函数的单调性求参数的值】 【练方法】 公式结论 1.一次函数全区间单调：递增递减 2.二次函数在区间单调：区间整体位于对称轴同侧 3.分段函数整体单调：各段单调性一致且左段端点值满足衔接条件 方法技巧 1.二次含参题型以对称轴为核心列不等式约束参数 2.一次含参直接根据增减性限定斜率符号 3.解出参数后代回原题验证区间单调性成立 （2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________．小试牛刀1 （2026高三·全国·专题练习）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数在上单调，则a的取值范围为______．小试牛刀2 （25-26高一下·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：复合函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.复合函数遵循同增异减 内层增、外层增复合增 内层增、外层减复合减 内层减、外层增复合减 内层减、外层减复合增 2.定义域约束：且 方法技巧 1.分层拆解内层外层 2.取内外层有效区间交集再判断增减性 3.根式分式复合优先锁定定义域再判断单调性 （25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________经典例题1例题 （25-26高一上·重庆·阶段检测）若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　）小试牛刀1 A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 （25-26高三上·贵州·阶段检测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____．小试牛刀2 （25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：分段函数的单调性】 【练方法】 公式结论 1.分段函数整体递增条件 每段单调递增且左端区间最大值右端区间最小值 2.分段函数整体递减条件 每段单调递减且左端区间最小值右端区间最大值 方法技巧 1.先逐段判断单调性再验证分段端点衔接不等式 2.含参题型联立斜率符号不等式与端点衔接不等式 3.必须双向检验避免单段单调整体不单调 （25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．5 （2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______．小试牛刀3 【题型6：由函数的单调性求最值/值域】 【练方法】 公式结论 1.单调递增： 2.单调递减： 3.开区间单调函数无最值值域为开区间 方法技巧 1.闭区间单调函数最值一定在端点取得 2.二次函数区间最值对比端点函数值与顶点函数值 3.无穷区间单调函数仅存在单侧最值 （25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________．经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______．小试牛刀1 （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． （2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，，其中，记．小试牛刀3 (1)若，求的值域； (2)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【题型7：由函数的最值求参数】 【练方法】 公式结论 1.一次函数区间最值必在端点处取得 2.二次函数区间最值由对称轴与区间位置关系决定 3.已知最值点代入解析式建立参数方程求解 方法技巧 1.二次含参分三类讨论对称轴在区间左区间内区间右 2.求出参数后验证最值对应自变量在区间内 3.多解情况逐一取舍保留符合区间条件的解 （25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________.经典例题1例题 （25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围是___________.小试牛刀2 （25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________.小试牛刀3 【题型8：由函数的单调性比较大小】 【练方法】 公式结论 1.递增函数： 2.递减函数： 方法技巧 1.自变量不在同一单调区间利用奇偶性对称性转化到同一区间 2.先比自变量大小再根据单调性判定函数值大小 3.严格保证自变量在定义域内 （2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数为R上的单调递增函数，当n为正整数时，也为正整数，且，则的值为（    ）小试牛刀2 A．5 B．6 C．8 D．15 （25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：由函数的单调性解抽象不等式】 【练方法】 公式结论 1.在上递增： 2.在上递减： 方法技巧 1.双重约束所有自变量满足定义域满足单调性不等关系 2.多个不等式取交集作为最终解集 3.递减函数一定要反向变号 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意， ，都有，则不等式的解集为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且对于恒成立，则的取值范围为（ ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：分段函数的值域/最值求参数】 【练方法】 公式结论 1.分段函数整体值域=各分段值域的并集 2.整体最值取自各段端点最值与极值的最大值或最小值 方法技巧 1.逐段求解值域再整体合并 2.根据已知最值锁定最值所在分段列方程求参数 3.结果代回验算保证值域与最值条件成立 （25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______.经典例题1例题 （2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．小试牛刀1 （2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：函数不等式的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.恒成立 2.恒成立 3.恒成立 4.恒成立 方法技巧 1.恒成立核心思路转化为最值问题 2.优先分离参数求另一侧函数最值 3.二次函数恒成立结合开口判别式区间最值综合判断 （25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______.经典例题1例题 （25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________小试牛刀1 （25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数是定义在上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为____________．小试牛刀2 （25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为．小试牛刀3 (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【题型12：函数不等式的有解问题】 【练方法】 公式结论 1.有解 2.有解 3.有解 4.有解 方法技巧 1.口诀恒成立看对面最值有解看同侧最值 2.有解等价于参数与函数值域存在交集 3.严格区分开闭区间准确判断等号取舍 （25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______．小试牛刀1 （25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增小试牛刀2 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 （2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数， ，小试牛刀3 (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·四川遂宁·期中）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高一上·山西大同·期中）若，，记函数，若，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东广州·阶段检测）已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 三、填空题 9．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 10．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为______． 11．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知，函数，若，，使，则的取值范围是__________. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期中）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 14．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数． (1)解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若，，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·四川自贡·期中）已知函数有如下性质；如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（提示：令） (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 17．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江西·期中）已知二次函数图象经过点，并且满足 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值为； (3)在（2）的条件下，若，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $