第09讲 函数的概念及其表示（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第09讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对函数概念的理解 题型2 求函数的定义域（具象函数定义域与抽象函数定义域） 题型3 判断两个函数是否相等（同一函数） 题型4 简单函数的求函数值与求参数值 题型5 函数解析式的三种求法 题型6 分段函数的求函数值与求参数值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 定义域 函数值 解析式 分段函数 1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； 3. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值； 4. 掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 5. 了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习重点：理解函数的概念，能求简单函数的定义域，掌握常见的求函数解析式的方法. 学习难点：函数符号的理解，分段函数的理解与应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 3、函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“x”施加的某种运算或法则．如：，f就是对自变量x求平方． （3）值域：对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“y是x的函数”，指的是y为x在对应关系f下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 即时即练 下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数的定义，对定义域内任意的一个都存在唯一的与之对应， 若为函数关系，其对应方式为一对一或多对一， 而，，是一对多，不适合函数的要求， 是一对一，适合函数的要求， 【方法总结】 根据图象判断对应关系是否为函数的步骤： 第 1 步：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域内平移l. 第 2 步：若直线l与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个及两个以上的交点，则不是函数. 知识点02 求函数定义域 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零， 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 即时即练 函数的定义域是____________（用区间表示）． 【答案】 【详解】由题，可得，解得， 所以函数的定义域为 . 【方法总结】 分析函数解析式可得，该函数解析式中：包含了分母和偶次方根式， 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零. 然后取交集，即可得出结果. 知识点03 函数的表示法 1、函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 即时即练 已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【答案】C 【详解】由表可知：，则. 【方法总结】 列表法表示函数求函数值的方法：根据表格找到自变量与函数值的对应关系，根据函数的定义即可得解. 知识点04 分段函数 1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 即时即练 已知函数，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】D 【详解】，， 故. 【方法总结】 求分段函数的函数值： 第 1 步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段； 第 2 步：代入该段对应的解析式求值. 题型1 对函数概念的理解 【例1】设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误; 对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误; 对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确; 对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误, 【方法总结】 判断对应关系是不是从集合 A 到集合 B 的函数，主要看以下三个方面： ① 必须是非空数集； ② 中任何一个元素在 中必须有元素与其对应； ③ 中任何一个元素在 中的对应关系是唯一的（“一对一” 或 “多对一”）. 【变式1-1】托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的概念判断即可． 【详解】对于A，，当时，，但不在集合中，因此这不是一个函数，故A错误； 对于B，，当时，，但6不在集合中，因此这不是一个函数，故B错误； 对于C，，当时，，在集合中； 当时，，在集合中；当时，，在集合中， 符合函数的概念，故C正确； 对于D，，当时，，但不在集合中，因此这不是一个函数，故D错误. 题型2 求函数的定义域 角度1：求具象函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)且； 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得，从而函数的定义域为． （2）因为当，即时，有意义， 所以函数的定义域是，即． （3）要使函数有意义，则且，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则且，即且， 所以函数的定义域是且， 【方法总结】 求具象函数定义域的方法： 第 1 步：观察具象函数解析式的式子结构，判断有哪些可能使得解析式无意义的部分； 第 2 步：根据以下三项要求，建立不等式（组） (1) 分式考虑分母不为 0；(2) 偶次根式考被开方数需大于等于 0；(3) 零次幂的底数不为 0； 第 3步：下结论，将以上不等式（组）的解，写成集合或区间的形式. 强调：定义域最后结论必须用集合或区间表示. 【变式2-1】求函数的定义域． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得， 则函数的定义域是． 角度2：求抽象函数的定义域 【例3】（1）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 【方法总结】 求抽象函数定义域的方法： 复合函数和抽象函数定义域的求法 (1) 已知 的定义域为，求 的定义域： 第 1 步：列出不等式； 第 2 步：解上述不等式，求出的取值范围，即的定义域. (2) 已知的定义域为，求的定义域： 第 1 步：列出不等式； 第 2 步：对上述不等式变形，求出的取值范围，即的定义域. (3) 已知的定义域，求的定义域. 第 1 步：先由的定义域列出关于的不等式； 第 2 步：求出的取值范围，即的定义域，也是的取值范围； 第 3 步：根据的取值范围，求出的取值范围，即的定义域. 注意：整个求解过程遵循两个原则： ① 在同一个对应关系 f 下，括号中式子的范围相同； ②的定义域指的是其自变量的取值范围，而非的范围. 【变式3-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 题型3 判断两个函数是否相等（同一函数） 【例4】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 【方法总结】 判断函数相等（同一函数）的方法： 第 1 步：求两个函数的定义域，判断是否相同，若不同则不是相等函数； 第 2 步：在定义域相同的前提下，化简解析式，再判断解析式是否相同，若不同则不是相等函数. 第 3 步：下结论. 【变式4-1】下列各组函数表示同一函数的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A：定义域为，，故A错误； 对于B：与定义域相同都为，且函数解析式相同，故是同一函数，故B正确； 对于C：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故D错误. 题型4 简单函数的求值求参 【例5】（1）若函数，则的值是__________； 【答案】3 【详解】令，则， 令，则，即， 整理得，即，所以. （2）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】， 且， 令，解得， 则. 【方法总结】 1、已知解析式求函数值的步骤： 直接代入法 （1）将给定的自变量值，直接代入函数解析式中，按运算规则计算即可； （2）判断自变量是否在函数的定义域内，避免计算无意义的值（比如分母为 0、偶次根号下为负数）. 2、已知函数值求参数的步骤： （1）将已知的自变量和函数值代入解析式，列出关于参数的方程； （2）解方程求出参数； （3）回代检验：把参数代回原函数，验证此时的自变量是否在定义域内，舍去不符合的解. 【变式5-1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】 令，解得， 所以. 题型5 函数解析式的三种求法 角度1：已知函数类型求解析式：待定系数法 【例6】已知函数是一次函数，且，求的函数解析式. 【答案】或； 【详解】设，则， 则，解得或， 所以或. 【方法总结】 待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 【变式6-1】已知是一次函数且为增函数，若，则____________ 【答案】 【详解】设，，则： ， ∴，解得． 故． 角度2：已知求解析式：换元法 【例7】（1）已知，求的解析式为_________. 【答案】 【详解】令，则，代入可得 故答案为： （2）已知：，则f(x)=________. 【答案】x2+2 【详解】∵，∴f(x)=x2+2. 【方法总结】 换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析t的取值范围； （2）反解出x，即用含的t代数式表示x； （3）将中的x度替换为t的表示，可求得的解析式，从而求得． 【变式7-1】若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】由题意知，， 所以，则. 角度3：函数方程组法求解析式 【例8】（1）已知函数满足，则__________． 【答案】 【详解】， ， 解方程组得． （2）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 【方法总结】 方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 强调：不局限于以上两种情况可以构造方程组，只要换元后，没有怎加新的元，即可用此法. 【变式8-1】已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 题型6 分段函数的求值求参 【例9】（1）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． （2）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 【方法总结】 1、求分段函数的函数值： 第 1 步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段； 第 2 步：代入该段对应的解析式求值. 注意：若出现的形式，应从内到外依次求值. 2、已知分段函数的函数值求自变量 (或参数) 的值 第 1 步：先分类讨论，假设自变量 (或参数) 的值在分段函数定义域的各段上； 第 2 步：在每个分类下，根据函数值建立方程求解，切记要检验. 【变式 9-1】已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 【答案】C 【详解】若，则，解得或（舍）， 若，则，解得. 综上，a的值是或7. 一、单选题 1．下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 【答案】B 【详解】对于A，，一个可以对应两个，不满足函数定义，故A错误； 对于B，集合中每一个在集合中都有唯一对应的，符合函数的定义，故B正确； 对于C，中，，而 ，故集合中的元素2在集合中没有对应的值，故C错误； 对于D，，所以，集合，故集合中有的元素（比如0）在集合中没有对应的值，故D错误. 2．已知，则（    ） A．2 B．0 C．-1 D．-4 【答案】C 【详解】因为，所以. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，解得，所以的定义域为， 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，故，故函数的定义域为. 5．已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】设，则, 因为， 所以，解得， 所以，. 6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，的定义域为，不符合题意； 当时，依题意得在R上恒成立，则， 解得. 二、多选题 7．下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 8．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 9．已知，则（    ） A． B． C． D．当 【答案】AD 【分析】当时，，根据递推关系以及求出对应的函数值及函数. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，所以，，故B错误； 对于C，所以，故C错误； 对于D，当时，所以，故D正确. 三、填空题 10．已知函数，则______． 【答案】63 【详解】因为，所以． 11．已知函数，若，则实数的值为______． 【答案】3 【详解】当时，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍）， 所以实数的值为3， 12．已知 ，则的解析式为________． 【答案】， 【详解】解：令，则，且有． 把代入 得： . 所以所求函数的解析式为：， 四、解答题 13．分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域. （1）y= （2）y= 【答案】（1）图象见解析，定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞)；（2）图象见解析，定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6，6]. 【详解】（1）y=的图象如图： 定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞). （2）y=的图象如图： 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6，6]. 14．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对函数概念的理解 题型2 求函数的定义域（具象函数定义域与抽象函数定义域） 题型3 判断两个函数是否相等（同一函数） 题型4 简单函数的求函数值与求参数值 题型5 函数解析式的三种求法 题型6 分段函数的求函数值与求参数值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 定义域 函数值 解析式 分段函数 1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； 2. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； 3. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值； 4. 掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 5. 了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习重点：理解函数的概念，能求简单函数的定义域，掌握常见的求函数解析式的方法. 学习难点：函数符号的理解，分段函数的理解与应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1、函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2、函数的四个特性：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应． （1）非空性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）单值性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：函数是一个从定义域到值域的过程，即A→B． 3、函数的三要素 （1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围； （2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，可以看作是对“x”施加的某种运算或法则．如：，f就是对自变量x求平方． （3）值域：对应关系f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，表示“y是x的函数”，指的是y为x在对应关系f下的对应值． 4、函数相等：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 即时即练 下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 根据图象判断对应关系是否为函数的步骤： 第 1 步：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域内平移l. 第 2 步：若直线l与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个及两个以上的交点，则不是函数. 知识点02 求函数定义域 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零， 3、零次幂的底数不能为零，即中； 4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义； 5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 即时即练 函数的定义域是____________（用区间表示）． 【方法总结】 分析函数解析式可得，该函数解析式中：包含了分母和偶次方根式， 1、分式中分母不能为零； 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零. 然后取交集，即可得出结果. 知识点03 函数的表示法 1、函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 2、描点法作函数图象 （1）列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些值相对应的函数值，用表格的形式表示； （2）描点：从表中得到一些列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； （3）连线：用光滑的曲线把这些点按自变量的值由小到大的顺序连接起来． 即时即练 已知函数分别由下表给出：则的值是（    ） 1 2 3 1 3 1 3 2 1 A．1 B．2 C．3 D．1和2 【方法总结】 列表法表示函数求函数值的方法：根据表格找到自变量与函数值的对应关系，根据函数的定义即可得解. 知识点04 分段函数 1、定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3、分段函数图象的画法 （1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． （2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象． 即时即练 已知函数，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【方法总结】 求分段函数的函数值： 第 1 步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段； 第 2 步：代入该段对应的解析式求值. 题型1 对函数概念的理解 【例1】设,,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断对应关系是不是从集合 A 到集合 B 的函数，主要看以下三个方面： ① 必须是非空数集； ② 中任何一个元素在 中必须有元素与其对应； ③ 中任何一个元素在 中的对应关系是唯一的（“一对一” 或 “多对一”）. 【变式1-1】托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2 求函数的定义域 角度1：求具象函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【方法总结】 求具象函数定义域的方法： 第 1 步：观察具象函数解析式的式子结构，判断有哪些可能使得解析式无意义的部分； 第 2 步：根据以下三项要求，建立不等式（组） (1) 分式考虑分母不为 0；(2) 偶次根式考被开方数需大于等于 0；(3) 零次幂的底数不为 0； 第 3步：下结论，将以上不等式（组）的解，写成集合或区间的形式. 强调：定义域最后结论必须用集合或区间表示. 【变式2-1】求函数的定义域． 角度2：求抽象函数的定义域 【例3】（1）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【方法总结】 求抽象函数定义域的方法： 复合函数和抽象函数定义域的求法 (1) 已知 的定义域为，求 的定义域： 第 1 步：列出不等式； 第 2 步：解上述不等式，求出的取值范围，即的定义域. (2) 已知的定义域为，求的定义域： 第 1 步：列出不等式； 第 2 步：对上述不等式变形，求出的取值范围，即的定义域. (3) 已知的定义域，求的定义域. 第 1 步：先由的定义域列出关于的不等式； 第 2 步：求出的取值范围，即的定义域，也是的取值范围； 第 3 步：根据的取值范围，求出的取值范围，即的定义域. 注意：整个求解过程遵循两个原则： ① 在同一个对应关系 f 下，括号中式子的范围相同； ②的定义域指的是其自变量的取值范围，而非的范围. 【变式3-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型3 判断两个函数是否相等（同一函数） 【例4】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法总结】 判断函数相等（同一函数）的方法： 第 1 步：求两个函数的定义域，判断是否相同，若不同则不是相等函数； 第 2 步：在定义域相同的前提下，化简解析式，再判断解析式是否相同，若不同则不是相等函数. 第 3 步：下结论. 【变式4-1】下列各组函数表示同一函数的是（     ） A．， B． C． D． 题型4 简单函数的求值求参 【例5】（1）若函数，则的值是__________； （2）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法总结】 1、已知解析式求函数值的步骤： 直接代入法 （1）将给定的自变量值，直接代入函数解析式中，按运算规则计算即可； （2）判断自变量是否在函数的定义域内，避免计算无意义的值（比如分母为 0、偶次根号下为负数）. 2、已知函数值求参数的步骤： （1）将已知的自变量和函数值代入解析式，列出关于参数的方程； （2）解方程求出参数； （3）回代检验：把参数代回原函数，验证此时的自变量是否在定义域内，舍去不符合的解. 【变式5-1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 题型5 函数解析式的三种求法 角度1：已知函数类型求解析式：待定系数法 【例6】已知函数是一次函数，且，求的函数解析式. 【方法总结】 待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 【变式6-1】已知是一次函数且为增函数，若，则____________ 角度2：已知求解析式：换元法 【例7】（1）已知，求的解析式为_________. （2）已知：，则f(x)=________. 【方法总结】 换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析t的取值范围； （2）反解出x，即用含的t代数式表示x； （3）将中的x度替换为t的表示，可求得的解析式，从而求得． 【变式7-1】若，则（    ） A． B． C． D．11 角度3：函数方程组法求解析式 【例8】（1）已知函数满足，则__________． （2）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 强调：不局限于以上两种情况可以构造方程组，只要换元后，没有怎加新的元，即可用此法. 【变式8-1】已知且，求函数的解析式． 题型6 分段函数的求值求参 【例9】（1）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 （2）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、求分段函数的函数值： 第 1 步：确定要求值的自变量的取值属于哪一段； 第 2 步：代入该段对应的解析式求值. 注意：若出现的形式，应从内到外依次求值. 2、已知分段函数的函数值求自变量 (或参数) 的值 第 1 步：先分类讨论，假设自变量 (或参数) 的值在分段函数定义域的各段上； 第 2 步：在每个分类下，根据函数值建立方程求解，切记要检验. 【变式 9-1】已知函数若，则的值是（   ） A．或2 B．或2或7 C．或7 D．2或7 一、单选题 1．下列对应关系中是A到B的函数的是（   ） A．，， B．，，对应关系如图：    C．，，f： D．，，f： 2．已知，则（    ） A．2 B．0 C．-1 D．-4 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知一次函数满足，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 8．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知，则（    ） A． B． C． D．当 三、填空题 10．已知函数，则______． 11．已知函数，若，则实数的值为______． 12．已知 ，则的解析式为________． 四、解答题 13．分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域. （1）y= （2）y= 14．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $