第11讲 函数奇偶性 讲义-2026年初升高数学衔接

第11讲 函数奇偶性 基●础●知●识 一、函数奇偶性的定义与性质 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称，奇函数在对称的区间上单调性相同. 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称，偶函数在对称的区间上单调性相反. 偶函数的性质：，可避免讨论. 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 通常利用定义法判断分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数. 四、函数奇偶性的运算法则 1若为奇函数，为奇函数，在公共定义域内 （1）为奇函数； （2）与为偶函数； （3）与为奇函数. 同理若与在公共定义域内均为偶函数，则，均为偶函数. 若为奇函数，为偶函数，则在公共定义域内与均为奇函数，与为偶函数. 五、常见奇偶函数总结 奇函数 偶函数 正比例函数 常函数 反比例函数 或 且为奇数 且为偶数 题●型●破●译 题型01函数奇偶性定义与判断 【典例01】函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 【变式01】下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 【变式02】下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以是非奇非偶函数，A选项错误. B选项，的定义域为，， 所以不是偶函数，B选项错误. C选项，的定义域为，， 所以是奇函数，C选项错误. D选项，的定义域为，， 所以是偶函数，D选项正确. 故选：D 题型02由奇偶性求解析式 【典例01】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 【变式01】已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 【变式02】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 题型03函数奇偶性应用 【典例01】已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值. 【详解】令，则，因为是奇函数，所以. 因为，所以，所以， 所以. 【变式01】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数性质计算即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 【变式02】已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题意可知函数为定义在R上的减函数，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因且，都有， 则，即 则为定义在R上的减函数， 不等式可化为 因为是定义在R上的奇函数， 则， 根据单调性可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 题型04抽象函数奇偶性 【典例01】已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的应用 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A 【变式01】偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】抽象函数的奇偶性、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】首先根据条件判断函数的周期，再求函数值. 【详解】因为函数是偶函数，所以，， 又因为是奇函数，所以，即 将替换为，代入上式得，则，故函数的周期为， 已知，将代入，得，将代入，得， 因此，故A正确. 【变式02】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 对于A，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，与和均不相等， 所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 题型05由奇偶性求参数 【典例01】已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 【变式01】若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 【变式02】若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 题型06由函数奇偶性解不等式 【典例01】已知函数是定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先由奇函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 则当时，得或， 当时，得或， 由，得或，由，得， 由，得或， 得或， 得或， 由，得或或或， 故的解集为： 【变式01】设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】构造函数，并判断其奇偶性及单调性，讨论和两种情况，并结合的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】 因为为奇函数，且定义域为. 所以，且. 令，则的定义域为. 且，且. 所以函数为偶函数，且. 因为对任意的，且，都有不等式，即恒成立， 所以当，即时，，即. 所以函数在上单调递减. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于或. 因为，所以. 所以或， 所以或. 故选：D. 【变式02】已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式． 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增 ， 因为，所以由偶函数性质知 所以，解得：. 故选：C． 题型07奇偶函数对称性应用 【典例01】已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【知识点】函数周期性的应用、奇偶函数对称性的应用、求函数的单调区间、函数奇偶性的应用 【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解. 【详解】由题可得， 所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数， 所以函数图象关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称， 因为在上是减函数，则在上是增函数， 所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数. 故选：A 【变式01】已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 【变式02】已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的变换、函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 题●型●巩●固 1.以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 2.，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由偶函数的定义依次判断各选项即可. 【详解】，不是偶函数，故A错误； ，不是偶函数，故B错误； ，为偶函数，故C正确； ，不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数是奇函数求解解析式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，， 设时，则，可得. 故选：C 4.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 5.函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，解出这两个函数值，即可得出的值. 【详解】由函数和的定义域均为， 且为偶函数，所以，所以， 为奇函数，所以， 所以， 又对于，均有， 所以，① 此时， 即，② ①＋②得：，解得， ①－②得：，解得， 所以， 故选：B. 6.已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递减，， 所以当时，，当时，， 又函数是定义域为的偶函数， 当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得， 当时，所以，解得， 所以的解集为， 故选：B. 7.若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】根据题意，可得，又，令，得解. 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以， 又函数是偶函数，则，令， . 故选：B. 8.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】运用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可. 【详解】∵定义域为R，为偶函数， ∴，①即：的图象关于直线对称， ∵为奇函数， ∴，②即：的图象关于点对称， ∴在②中，以替换，得， ∴， ，③ ∴，④即：是周期为4的周期函数， 在②中，令，得，解得：， ∴， 在④中，令，得，由于的值无法确定，所以、、的值无法确定. 故选：A. 9.已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 10.已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数 【分析】取代入确定，即得，根据是偶函数及函数的对称轴即可求得的值. 【详解】将代入，可得，则， 于是，显然其对称轴， 而是偶函数即曲线关于对称，故得. 故选：C. 11.已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，根据题意分析的奇偶性和单调性，不等式即，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令， 因为是定义在R上的奇函数， 则， 所以是定义在R上的奇函数， 又因为对任意的，，均有成立， 不妨设，则， 可得，即， 可知在上单调递增，则在上单调递增， 且，则，可得， 不等式化为，即， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D． 12.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 13.函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 【答案】B 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，求得的图象关于对称，的图象关于对称，结合，分别求得和的值，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可得，所以， 所以函数的图象关于对称， 又由为奇函数，可得， 即，所以函数的图象关于对称， 由，均有，，所以， 因为的图象关于对称，可得， 又因为的图象关于对称，， 可得，所以， 因为，联立方程组，可得， 所以. 故选：B. 14.已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】奇偶函数对称性的应用 【分析】函数的图象关于直线对称的充要条件是，利用此充要条件逐一判断即可. 【详解】对于A 因为为偶函数 所以 即 即 即的图象关于直线对称 而的图象是由的图象向左平移个单位得到的 所以的图象关于直线对称 所以A正确 对于B 构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 故B错误 对于C 构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 所以C错误 对于D构造函数则 所以，显然其图象不关于对称 所以D错误 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数奇偶性 基●础●知●识 一、函数奇偶性的定义与性质 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称，奇函数在对称的区间上单调性相同. 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称，偶函数在对称的区间上单调性相反. 偶函数的性质：，可避免讨论. 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 通常利用定义法判断分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数. 四、函数奇偶性的运算法则 1若为奇函数，为奇函数，在公共定义域内 （1）为奇函数； （2）与为偶函数； （3）与为奇函数. 同理若与在公共定义域内均为偶函数，则，均为偶函数. 若为奇函数，为偶函数，则在公共定义域内与均为奇函数，与为偶函数. 五、常见奇偶函数总结 奇函数 偶函数 正比例函数 常函数 反比例函数 或 且为奇数 且为偶数 题●型●破●译 题型01函数奇偶性定义与判断 【典例01】函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式01】下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式02】下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02由奇偶性求解析式 【典例01】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型03函数奇偶性应用 【典例01】已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（    ） A．－5 B． C．－1 D．1 【变式01】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型04抽象函数奇偶性 【典例01】已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】偶函数的定义域为，若为奇函数，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式02】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 题型05由奇偶性求参数 【典例01】已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式01】若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【变式02】若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 题型06由函数奇偶性解不等式 【典例01】已知函数是定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式01】设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型07奇偶函数对称性应用 【典例01】已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【变式01】已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【变式02】已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题●型●巩●固 1.以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2.，下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 4.已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 5.函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（ ） A． B． C． D． 6.已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7.若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 8.已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 10.已知函数，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11.已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 12.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13.函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 14.已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $