3.3 函数的奇偶性初升高衔接讲义2026-2027学年高一上学期必修一

3.3 函数的奇偶性 一、学习目标 1. 掌握奇偶性定义与图像特征； 2. 掌握判断奇偶性标准步骤； 3. 会用奇偶性性质解题。 二、知识点精讲 1. 定义 奇函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图像关于原点中心对称； 例：f(x)=x,f(x)=x3 偶函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图像关于y轴对称。 例：f(x)=|x|;f(x)=x2 2. 判断前提 定义域必须关于原点对称，否则直接非奇非偶。 3. 核心结论 奇函数若x=0在定义域内，则 f(0)=0； 三、例题解析 例1.下列函数中在其定义域内为奇函数的是    ． A. B. C. D. 例2.已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，(    ) A. B. C. D. 例3.若函数是定义在上的偶函数，则(    ) A. B. C. D. 例4.设函数是定义在上的奇函数，且，则等于(    ) A. B. C. D. 例5.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值，那么函数在区间上(    ) A. 单调递增且最小值为 B. 单调递增且最大值为 C. 单调递减且最小值为 D. 单调递减且最大值为 例6.已知函数为奇函数． 求实数的值； 求证：在区间上是增函数； 若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 4、 课堂练习 1.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 是偶函数，递减区间是 B. 是偶函数，递增区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递减区间是 2.已知函数为奇函数且定义域为，当时，，则当时，等于(    ) A. B. C. D. 3.已知是偶函数，则(    ) A. B. C. D. 或 4.已知函数为偶函数，且当时，，则的值为    ． A. B. C. D. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，现已画出函数在轴及其左侧的图像，如图所示． 请补出完整函数的图像； 根据图像写出函数的递增区间； 根据图像写出使的的取值集合． 6.设是定义在上的奇函数，且对任意，，当时，都有． 若，试比较与的大小关系 若，求实数的取值范围． 五、易错点总结 1. 不先判断定义域对称直接代公式； 2. 混淆奇偶函数图像对称性。 六、课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数是定义在上的奇函数，且当时，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于 A. B. C. D. 3.已知是定义在上的奇函数，那么(    ) A. B. C. D. 4.是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则(    ) A. 是上的增函数 B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 7.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是           ． 四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知定义域为的函数是奇函数． 求的值； 判断函数在内的单调性，并证明你的结论； 若，使成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 函数的奇偶性 一、学习目标 1. 掌握奇偶性定义与图像特征； 2. 掌握判断奇偶性标准步骤； 3. 会用奇偶性性质解题。 二、知识点精讲 1. 定义 奇函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 图像关于原点中心对称； 例：f(x)=x,f(x)=x3 偶函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图像关于y轴对称。 例：f(x)=|x|;f(x)=x2 2. 判断前提 定义域必须关于原点对称，否则直接非奇非偶。 3. 核心结论 奇函数若x=0在定义域内，则 f(0)=0； 三、例题解析 例1.下列函数中在其定义域内为奇函数的是    ． A. B. C. D. 解：对于选项，，定义域为， 定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数 对于选项，，为奇函数 对于选项，，为偶函数 对于选项，，为指数函数，为非奇非偶函数，排除． 综上，故选B． 例2.已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，(    ) A. B. C. D. 解：令，则， 因为当时，， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 则当时，． 故选：． 例3.若函数是定义在上的偶函数，则(    ) A. B. C. D. 解：因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 则， 所以， 则． 故选：． 例4.设函数是定义在上的奇函数，且，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  例5.如果奇函数在区间上单调递增且有最大值，那么函数在区间上(    ) A. 单调递增且最小值为 B. 单调递增且最大值为 C. 单调递减且最小值为 D. 单调递减且最大值为 解：奇函数在区间上单调递增且有最大值， 故在区间上单调递增，且有最小值， 故选A． 例6.已知函数为奇函数． 求实数的值； 求证：在区间上是增函数； 若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 解：因为为奇函数，， 所以， 所以， 整理可得，， 所以． 证明：由可得， 设，则， ， 所以， 所以在区间上是增函数； 由可得在上单调递增， 故，， 若对任意的，，都有， 所以， 解得或， 故的取值范围为．  【解析】本题考查了函数奇偶性，单调性，恒成立问题，属于基础题． 由为奇函数，结合奇函数的定义代入可求； 结合单调性定义，设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 结合中单调性即可求解函数最值，从而解不等式即可． 4、 课堂练习 1.已知函数，则下列结论正确的是(    ) A. 是偶函数，递减区间是 B. 是偶函数，递增区间是 C. 是奇函数，递减区间是 D. 是奇函数，递减区间是 解：的定义域为， 因为，即函数是奇函数． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 即函数的增区间为和，减区间为． 故选：． 2.已知函数为奇函数且定义域为，当时，，则当时，等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.已知是偶函数，则(    ) A. B. C. D. 或 解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为，故，则． 故选：． 4.已知函数为偶函数，且当时，，则的值为    ． A. B. C. D. 解：由题得，当时，，该函数为偶函数， ，故选B． 5.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，现已画出函数在轴及其左侧的图像，如图所示． 请补出完整函数的图像； 根据图像写出函数的递增区间； 根据图像写出使的的取值集合． 解：由题意作出完整函数图像如图： 据图可知，单调递增区间为，． 由图可知，使的的取值集合为． 6.设是定义在上的奇函数，且对任意，，当时，都有． 若，试比较与的大小关系 若，求实数的取值范围． 解：，，由题意得，． 又是定义在上的奇函数， ，，即． 由知为上的增函数， ，， 即， ，解得 实数的取值范围为． 五、易错点总结 1. 不先判断定义域对称直接代公式； 2. 混淆奇偶函数图像对称性。 六、课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数是定义在上的奇函数，且当时，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于 A. B. C. D. 3.已知是定义在上的奇函数，那么(    ) A. B. C. D. 4.是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 5.函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则(    ) A. 是上的增函数 B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 7.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是           ． 四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知定义域为的函数是奇函数． 求的值； 判断函数在内的单调性，并证明你的结论； 若，使成立，求实数的取值范围． 1.【答案】  【解析】解：由是定义在上的奇函数，根据奇函数性质可得因，故。 因，将代入得： 。 计算。 2.【答案】  【解析】当时，，， 因为是奇函数，所以． 3.【答案】  【解析】由题意得，解得． 又， 故， 所以，． 4.【答案】  【解析】解：由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对，成立，故正确； 对，成立，故正确； 对，令，则，不成立，故错误； 对，， 由，所以成立，故正确； 故选： 5.【答案】  【解析】解：函数，定义域为， 由，故为奇函数，图象关于原点对称，故排除，； 当时，，排除． 故选：． 6.【答案】  【解析】 本题考查抽象函数的单调性，抽象函数的奇偶性，属于基础题． 根据函数的奇偶性及单调性的概念，分别求解即可． 解：函数的定义域为，对，，都有成立， 令，可得，， 再令，可得，为奇函数， 当时，， 设，则，， ， 是上的减函数， 综合可得选项错误；选项正确． 故选：． 7.【答案】  【解析】 本题主要考查函数单调性、奇偶性的综合应用，属于基础题． 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 解：因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 由可得， 两边平方可得，， 整理可得，． 故答案为 8.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以恒成立， ， 整理得恒成立，所以； 由可知，函数在上递减， 证明如下： ，，， 所以，， ， 所以， 即函数是减函数； 由上面条件可以转化为， 又因为函数是减函数， 所以，所以， 因为， 因为，所以时，有最大值， 所以， 即的取值范围为．  【解析】本题主要考查函数单调性、奇偶性的综合应用，利用函数的单调性解不等式，指数函数的单调性与最值，属于基础题． 结合奇函数的性质即可求解； ，，，然后利用作差法比较与的大小即可判断； 结合函数的单调性及奇偶性即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $