第10讲 函数的单调性与最值 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第10讲 函数的单调性与最值 1.理解增函数、减函数的定义，掌握定义法证明函数单调性的完整步骤。 2.能够结合函数图象判断单调区间，熟练求解一次、二次、反比例、分段函数的增减区间 3.掌握复合函数单调性判断规则，理清内外函数增减性组合规律。 4.学会利用单调性求解函数在指定区间的最大值与最小值，掌握闭区间最值的通用规律。 5.可以借助单调性比较函数值大小、解抽象函数不等式，实现单调性综合应用 一、增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 三、函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 四、求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 例1　(1)已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. (2)已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）代入点于解析式中，求得的值，则的解析式可知； （2）通过取值、作差、变形、判断符号，可证明在上的单调性； 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，， 所以，则， 即，所以在上单调递减； （3）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 【答案】(1)；证明见解析 (2)在上单调递减；证明见解析 【分析】（1）利用赋值法求得，再利用反比例函数的性质得到，结合赋值法即可证得结论； （2）利用赋值法与作差法，结合函数单调性的定义即可得证； 【详解】（1）令，则，所以， 当时，， 因为， 所以， 因为，所以， 故当时， （2）在上单调递减； 任取，且，则， 令，则， ， 由已知可知，当时，，所以， 即，所以在上单调递减； 跟踪训练1　(1)用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. （2）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. （3）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1) 证明:  由题可知对任意实数，，恒有， 令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）略 （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 考点二、求函数的单调区间 例2　(1)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B (2)已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 跟踪训练2　(1)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C (2)定义.设函数，则的单调递增区间为____________. 【答案】，（注：和0处，区间端点可开可闭） 【分析】首先将函数写成分段函数的形式，再判断函数的单调区间. 【详解】当，即，得， 所以，得或，所以， 显然，在区间，函数单调递增，在区间，函数单调递增， 在区间，函数单调递增，且在处函数连续， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：，（注：和0处，区间端点可开可闭） （3）求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 考点三、利用函数的单调区间求参数 例3(1)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . (2)函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 跟踪训练3 (1)函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D （2）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. （3）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【答案】 【分析】先将函数进行变形，根据题中两个条件分别求得参数范围，最后求交集即为答案. 【详解】将函数进行变形，其单调性由分式决定， 该分式严格递减当且仅当分子，即， 因为分母在恒成立，故函数值符号由分子决定， 由函数值不恒为负，即存在使得成立， 当时，，满足条件， 当时，需存在使，即，解得， 综上，不恒为负的条件为， 联立两个条件，的取值范围为. 考点四、与分段函数有关的单调性问题 例4 (1)已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． (2)如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 跟踪训练4 (1)已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. (2)已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. 【答案】 【分析】由函数单调性的定义推出在上单调递增，再由分段函数单调性建立关于的不等式，求解即可. 【详解】不妨设，由，可得：，即， 则函数在上单调递增， 则，解得，即， 故实数a的取值范围为． 故答案为： (3)函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故答案为：. 考点五、根据函数的单调性解不等式 例5 (1)定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. (2)已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 （3）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 跟踪训练5 (1)已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令，所以， 又因为，所以函数在上单调递增. 依题意得，，由，得， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. (2)已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. （3）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 考点六、利用函数的单调性求最值 例6 (1)已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A (2)已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 跟踪训练6 (1)函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B (2)已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 【答案】， 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． （3）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）求出函数的解析式，讨论的正负，根据单调性求最值； （2）求出函数的解析式，讨论判别式，对称轴，根据已知区间上的单调性确定参数. 【详解】（1）， 当，即时， 在上单调递增，无最小值，不符合题意； 当，即时， ， 当且仅当时，等号成立， 由题意得，解得. 综上所述，实数的值为2. （2）， 当，即时，， 若函数在单调递增， 则，解得， 当，即时， 若函数在单调递增， 则或， 解得， 综上，实数的取值范围为. 一、单选题 1.函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故选：D 3.已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 4．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 5．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再比较自变量的大小，最后根据函数单调性即可得出函数值的大小关系. 【详解】根据题意，定义域为的函数满足：对任意，有， 所以函数是定义域在上的增函数， 又，所以. 故选：A 6.已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 二、多选题 7．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得: , 该函数的定义域为，是由反比例函数向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 8．定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 10．已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】先根据单调性定义得出函数在上单调递增，再结合已知得出不等关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：． 四、解答题 11．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 12．已知. (1)画出的图象; (2)根据图象求的单调区间和求的值域； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2)增区间为、，减区间为、，值域为 (3) 【分析】（1）化简函数的解析式，可作出函数的图象； （2）根据图象可得出函数的增区间、减区间以及值域； （3）根据函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示： （2）由图可知，函数的增区间为、，减区间为、，值域为. （3）因为函数在区间上单调递增，所以或， 所以或，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 13．已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将不等式转化为，令，将不等式恒成立转化为，求的最小值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【详解】（1）设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得， 所以的解析式为. （2），即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （3）的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上. 14．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下: 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性与最值 1.理解增函数、减函数的定义，掌握定义法证明函数单调性的完整步骤。 2.能够结合函数图象判断单调区间，熟练求解一次、二次、反比例、分段函数的增减区间 3.掌握复合函数单调性判断规则，理清内外函数增减性组合规律。 4.学会利用单调性求解函数在指定区间的最大值与最小值，掌握闭区间最值的通用规律。 5.可以借助单调性比较函数值大小、解抽象函数不等式，实现单调性综合应用 一、增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 三、函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 四、求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 考点一、定义法判断或证明函数的单调性 例1　(1)已知函数，判断并证明函数在上的单调性. (2)已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； 跟踪训练1　(1)用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． （2）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． （3）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 考点二、求函数的单调区间 例2　(1)函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． (2)已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2　(1)函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． (2)定义.设函数，则的单调递增区间为____________. （3）求下列函数的单调区间． (1). (2). 考点三、利用函数的单调区间求参数 例3(1)若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． (2)函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 跟踪训练3 (1)函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． （3）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 考点四、与分段函数有关的单调性问题 例4 (1)已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． (2)如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 跟踪训练4 (1)已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． (2)已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为_______. (3)函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 考点五、根据函数的单调性解不等式 例5 (1)定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． (2)已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. （3）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 跟踪训练5 (1)已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． (2)已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． （3）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 考点六、利用函数的单调性求最值 例6 (1)已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． (2)已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 跟踪训练6 (1)函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， (2)已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． （3）已知函数. (1)记，若函数的最小值为-1，求实数的值； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围. 一、单选题 1.函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 5．定义域为的函数满足：对任意，有，则有（    ） A． B． C． D． 6.已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 8．定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 三、填空题 9．已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 10．已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 四、解答题 11．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 12．已知. (1)画出的图象; (2)根据图象求的单调区间和求的值域； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 13．已知二次函数的图象经过三点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值. 14．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $