第五周 第4天 函数奇偶性的应用 暑假自学讲义 - 2026年新高一上学期人教A版必修第一册.zip

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 4天 函数奇偶性的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.掌握用奇偶性求解析式的方法. (重点) 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 根据函数的奇偶性求函数的解析式 💡类型一：知一半求一半 如果已知函数f(x)的奇偶性和区间[a，b]上的解析式，求f(x)在对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，就应设x在哪个区间上，即设x∈[-b，-a]； (2)利用已知区间的解析式进行代入，求得f(-x)； (3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系，从而解出f(x)在区间[-b，-a]上的解析式. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 🎯例1-1 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式． 【解】　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x). 所以x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋1. 故f(x)＝ 🎯一题多变 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式． 【解】　当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x). 所以f(x)＝x2＋2x－1. 即x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1. 🎯跟踪练习1-1 已知函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝________． 【解】　设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1，所以f(x)＝g(x)＝－f(－x)＝－x2－1. 答案：－x2－1 💡类型二：解方程组求解析式 若已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式，则把x换为-x，构造方程组求解，即可得解析式. 🎯例1-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 【解】　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2.② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 🎯跟踪练习1-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 【解】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)， ∵f(x)+g(x)=. ① 用-x代替上式中的x，得f(-x)+g(-x)= ∴f(x)-g(x)= ② (①+②)÷2，得f(x)=(x≠±1)； (①-②)÷2，得g(x)=(x≠±1). 知识点2 函数的奇偶性与单调性的综合应用 📐角度1　比较大小 ❓ 问题1　已知函数f(x)在(-2，-1)上单调递减，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 💬提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上单调递减；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上单调递增. ❓ 问题2　已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？ 💬提示　若f(x)为奇函数，则f(x)在(1，2)上的最小值为-M，最大值为-m；若f(x)为偶函数，则f(x)在(1，2)上的最大值为M，最小值为m. 💡知识梳理 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 🎯例2-1 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 【解】∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，∴f(-1)<f(-0.5)<f(0). 答案　B 🎯一题多变　把例2中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 【解】　(1)由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增，则当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，∴f(-1)>f(-0.5)>f(0). (2)由(1)知当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减. 方法一　∵f(x)是偶函数，∴f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)，又f(2)<f(3)<f(π)； ∴f(-2)<f(-3)<f(π). 方法二　其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， ∵|-2|<|-3|<π，∴f(π)>f(-3)>f(-2). 比较大小的求解策略： (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 反思 归纳 📐角度2　解不等式 🎯例2-2 （1）设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________． 【解】　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上是减函数． 所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于 解得－2≤m＜. 所以，m的取值范围是：　 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-2已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)>f的实数x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解】因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2x－1)>f，所以不等式等价为f(|2x－1|)>f，即|2x－1|<，所以－<2x－1<，计算得出<x<，故x的取值范围是. 故选A. 自学小结 函数奇偶性的应用 1.知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是　(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1 【解】A中的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故排除；B中的函数为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故排除；C中的函数是奇函数，故排除；D中的函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增．故选D. 2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1 【解】当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1.由奇函数的性质可知，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x－1)＝x＋1. 故选A. 3．如果偶函数在区间[a，b]上具有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上(　　) A.有最大值 B．有最小值 C．没有最大值 D．没有最小值 【解】偶函数的图象在区间[a，b]与[－b，－a]上是对称的，如果偶函数在[a，b]上具有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上也具有最大值．故选A. 4．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，求f(x)在(0，＋∞)上最大值． 【解】方法一：当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值. 方法二：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋， 所以当x>0时，f(x)有最大值. 5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　. 【解】由题意可知|a|<3，解得-3<a<3. 答案　(-3，3) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第五周 第 4天 函数奇偶性的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 　1.掌握用奇偶性求解析式的方法. (重点) 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 根据函数的奇偶性求函数的解析式 💡类型一：知一半求一半 如果已知函数f(x)的奇偶性和区间[a，b]上的解析式，求f(x)在对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，就应设x在哪个区间上，即设x∈[-b，-a]； (2)利用已知区间的解析式进行代入，求得f(-x)； (3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系，从而解出f(x)在区间[-b，-a]上的解析式. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 🎯例1-1 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式． 🎯一题多变 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式． 🎯跟踪练习1-1 已知函数f(x)＝为奇函数，则g(x)＝________． 💡类型二：解方程组求解析式 若已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式，则把x换为-x，构造方程组求解，即可得解析式. 🎯例1-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 🎯跟踪练习1-2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=求函数f(x)，g(x)的解析式. 知识点2 函数的奇偶性与单调性的综合应用 📐角度1　比较大小 ❓ 问题1　已知函数f(x)在(-2，-1)上单调递减，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ ❓ 问题2　已知函数f(x)在(-2，-1)上的最大值为M，最小值为m，请根据奇函数与偶函数的图象特点回答：如果f(x)为奇函数，那么它在(1，2)上的最值情况如何？如果f(x)为偶函数，那么它在(1，2)上的最值情况又如何？ 💡知识梳理 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上______________，即在对称区间上单调性______________. 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上______________，即在对称区间上单调性______________. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为________. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为________. 🎯例2-1 已知f(x)是奇函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则f(-0.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是(　　) A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 🎯一题多变　把例2中的条件“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数”，其余条件不变. (1)比较f(-0.5)，f(-1)，f(0)三者之间的大小； (2)比较f(-2)，f(π)，f(-3)三者之间的大小. 比较大小的求解策略： (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 反思 归纳 📐角度2　解不等式 🎯例2-2 （1）设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是________． 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-2已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)>f的实数x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 自学小结 函数奇偶性的应用 1.知识清单： (1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是　(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝|x|－1 2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1 3．如果偶函数在区间[a，b]上具有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上(　　) A.有最大值 B．有最小值 C．没有最大值 D．没有最小值 4．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，求f(x)在(0，＋∞)上最大值． 5.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是　　　　. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $