第14讲 指数函数的图象及性质 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第14讲 指数函数的图象及性质 目录 一、指数函数的定义 1 二、指数函数的图象和性质 2 1.指数函数的图形及性质 2 2．图象位置关系 2 题型1指数函数的概念 3 题型2求指数函数的解析式或函数值 4 题型3指数函数的定义域(值域)问题 5 题型4指数函数的图象 6 题型5指数（型）函数的单调性 8 题型6比较两数的大小 9 题型7解简单的指数不等式 10 题型8 指数函数图象和性质的综合运用 12 01 学习新知 一、指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 二、指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 02 经典题型 题型1指数函数的概念 1. 下列函数中是指数函数的是(　　) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=(-2)x 2. 下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 3. 若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则(　　) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 题型2求指数函数的解析式或函数值 4. (课本例1)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 5. 已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　　，[f(2)]2的值为　　　　　　. 6. 已知指数函数，则的值为 . 7. 若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3指数函数的定义域(值域)问题 8. 求下列函数的定义域、值域： (1)y=32x+1；(2)y=23-x；(3)y=. 9. 已知是定义域为的奇函数， 且时，，则的值域是 . 10. 已知函数，则的值域为 ． 11. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 题型4指数函数的图象 12. 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 13. 函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 14. 函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   15. （多选）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16. 函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 17. 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 题型5指数（型）函数的单调性 18. 函数的单调递增区间是 19. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6比较两数的大小 21. 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.，0.； (3)1.70.3，0.93.1. 22. 设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 23. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 题型7解简单的指数不等式 24. 解不等式23x-1≤2. 25. 解不等式≤2”. 26. 已知>ax+6，求实数x的取值范围. 27. 已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称，又，求的取值范围． 题型8 指数函数图象和性质的综合运用 28. 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 29. 设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[0，1]上的值域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 指数函数的图象及性质 目录 一、指数函数的定义 1 二、指数函数的图象和性质 2 1.指数函数的图形及性质 2 2．图象位置关系 2 题型1指数函数的概念 3 题型2求指数函数的解析式或函数值 4 题型3指数函数的定义域(值域)问题 5 题型4指数函数的图象 6 题型5指数（型）函数的单调性 8 题型6比较两数的大小 9 题型7解简单的指数不等式 10 题型8 指数函数图象和性质的综合运用 12 01 学习新知 一、指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 二、指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 02 经典题型 题型1指数函数的概念 1. 下列函数中是指数函数的是(　　) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=(-2)x 答案　C 解析　A中，3x的系数是2，故A不是指数函数；B中，y=的指数是x+1，不是自变量x，故B不是指数函数；C中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；D中，底数-2<0，故D不是指数函数. 2. 下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是 ；是指数函数的是 . 【答案】 幂函数② 指数函数①⑤ 【详解】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数； 由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数； 由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数； 对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数. 故答案为：②；①⑤. 3. 若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则(　　) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 答案　C 解析　因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则解得a=1. 题型2求指数函数的解析式或函数值 4. (课本例1)已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 解　因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π， 解得a=，于是f(x)=. 所以，f(0)=π0=1，f(1)=，f(-3)=π-1=. 5. 已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　　，[f(2)]2的值为　　　　　　. 答案　 解析　设指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 把点代入可得解得a=. 所以f(x)=所以[f(2)]2=. 6. 已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以.故答案为：27. 7. 若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 题型3指数函数的定义域(值域)问题 8. 求下列函数的定义域、值域： (1)y=32x+1；(2)y=23-x；(3)y=. 解　(1)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴2x+1∈R，∴函数y=32x+1的值域为(0，+∞). (2)函数的定义域为R， ∵x∈R，∴3-x∈R，∴函数y=23-x的值域为(0，+∞). (3)由x-1≠0得x≠1， ∴函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，∴≠0≠1， ∴函数的值域为(0，1)∪(1，+∞). 9. 已知是定义域为的奇函数， 且时，，则的值域是 . 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 当时，，此时，， 当时，则，则，所以，， 则，则，此时，， 综上所述，函数的值域为.故答案为：. 10. 已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【详解】时，，又时，， 所以的值域是． 故答案为：． 11. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当, 当, 因为函数的值域为,所以. 故答案为：. 题型4指数函数的图象 12. 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 答案　B 解析　作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 13. 函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由题意知a>0且a≠1，且函数y=x+a为增函数. 当0<a<1时，y=ax为减函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y=ax为增函数，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有选项D符合. 14. 函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 15. （多选）函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】由于，所以， 函数在上单调递增， 的图象向下平移个单位，得到的图象， 所以函数的图象不经过第四象限， 经过第一、二、三象限. 故选：ABC 16. 函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 答案　D 解析　方法一　令x-2=0， 得x=2，则f(2)=2， 故函数f(x)的图象恒过定点(2，2). 方法二　因为y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)， 又f(x)=ax-2+1的图象是由y=ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，故f(x)的图象恒过定点(2，2). 17. 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 答案　C 解析　∵函数g(x)=3x+1+t的图象过定点(0，3+t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0，解得t≤-3. 题型5指数（型）函数的单调性 18. 函数的单调递增区间是 【答案】 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 19. 设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 20. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 题型6比较两数的大小 21. 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.，0.； (3)1.70.3，0.93.1. 解　(1)1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值. 因为底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x是增函数. 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y=0.8x是减函数. 因为->-，所以0.<0.. (3)由指数函数的性质知 1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1， 所以1.70.3>0.93.1. 22. 设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而， 所以.故选：A 23. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 答案　C 解析　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1， 故1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6. 即b<a<c. 题型7解简单的指数不等式 24. 解不等式23x-1≤2. 解　不等式23x-1≤2可化为23x-1≤21， 则3x-1≤1，解得x≤ 故原不等式的解集是. 25. 解不等式≤2”. 解　∵2= ∴原不等式可以转化为. ∵y=是减函数， ∴3x-1≥-1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}. 26. 已知>ax+6，求实数x的取值范围. 解　分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)=ax是减函数， ∴x2-3x+1<x+6，∴x2-4x-5<0，解得-1<x<5； ②当a>1时，函数f(x)=ax是增函数，∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0，解得x<-1或x>5， 综上所述，当0<a<1时， 实数x的取值范围是{x|-1<x<5}； 当a>1时，实数x的取值范围是{x|x<-1或x>5}. 27. 已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称，又，求的取值范围． 【答案】 【详解】设（且）， 因为指数函数图象过点，所以，解得，所以， 又因为函数的图象与的图象关于轴对称，所以， 因为，所以， 又函数在上是减函数，所以，解得， 所以的取值范围为． 题型8 指数函数图象和性质的综合运用 28. 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 解　(1)因为g(x)=f(x)-1=-1=定义域为R， 设任意x∈R，-x∈R，且g(-x)==-g(x)，所以函数g(x)是奇函数. 又因为g(x)=-1=-1，1+3-2x>1， 所以0<<2，所以-1<-1<1，所以函数y=g(x)的值域是(-1，1). (2)因为y=1+3-2x是R上的减函数， 所以g(x)=-1=-1在R上是增函数， 所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数， 由g(m)+g(m-2)>0得，g(m)>-g(m-2)=g(2-m)， 所以m>2-m，所以m>1. 故实数m的取值范围是(1，+∞). 29. 设a>0，函数f(x)=是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)求f(x)在[0，1]上的值域. 解　(1)由f(x)=f(-x)，得即4x=0， 所以=0，根据题意，可得-a=0，又a>0，所以a=1. (2)由(1)可知f(x)=4x+设任意的x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)==(. 因为0≤x1<x2，所以所以<0. 又因为x1+x2>0，所以>1， 所以1->0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)=4+；最小值为f(0)=1+1=2. 故f(x)在[0，1]上的值域为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $