基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式两大核心应用场景，通过精选例题与变式系统训练求最值问题，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“1”的妙用求最值|例6+变式6|已知线性等式（如a+b=1）求分式或乘积最值，含单选、多选、填空|从“1”的代换切入，构建“条件-代换-不等式应用”逻辑链，体现数学推理能力| |条件等式求最值|例6+变式6|含多元条件等式（如二次关系、分式关系）求最值，覆盖不同条件转化|承接“1”的妙用，拓展至复杂条件转化，强化运算能力与模型构建，体现数学语言表达|

基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 “1”的妙用求最值 例1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 例2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以，所以成立. 选项B，若，则不成立. 选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以， 因此，成立. 选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此. 例3．（2026·江苏南京·模拟预测·多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 例4．（2026·四川攀枝花·一模·多选）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】直接使用基本不等式可判断A；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；消元后结合二次函数性质可判断C；配方后使用基本不等式可判断D. 【详解】对A，因为，，且，所以， 整理可得，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对C，因为，所以，当时等号成立， 又，故取不到等号，即的最大值不是1，错误； 对D，因为，所以， 由上知，，所以，当且仅当时等号成立，正确. 故选：ABD 例5．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 例6．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 变式1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 变式2．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式3．（2026·云南玉溪·模拟预测·多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A选项， 因为，是正实数，所以，则， 又因为，所以， 故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知，代入得， 两边平方得，即。 等号成立当且仅当，结合，解得，， 故B选项正确. 对于C选项，， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以， 故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此， 即， 故D选项错误. 变式5．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 变式6．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 考点二 条件等式求最值 例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 例2．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 例3．（2025·江西·模拟预测·多选）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，因为，即，解得， 又，即，解得，所以，故A符合题意； 对于B，令，则，代入，可得， 展开可得，由可得， 即，故B不符合题意； 对于C，表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线方程为，即， 由圆心到直线的距离可得， 即，即不存在符合题意的，故C符合题意； 对于D，由可得，则， 令，则，所以， 且函数在上单调递增，所以，即， 即不存在符合题意的，故D符合题意； 故选：ACD 例4．（2025·江苏淮安·模拟预测·多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论. 例5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 例6．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 变式1．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 变式2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 变式3．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 变式5．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 变式6．（25-26高三上·上海杨浦·月考）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 2 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 基本不等式：“1”的妙用求最值、条件等式求最值专项训练 考点目录 “1”的妙用求最值 条件等式求最值 考点一 “1”的妙用求最值 例1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·江苏南京·模拟预测·多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·四川攀枝花·一模·多选）已知，，且，则（   ） A．有最大值 B．有最小值8 C．有最大值1 D．有最小值 例5．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 例6．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 变式1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·浙江·二模）已知，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 变式3．（2026·云南玉溪·模拟预测·多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 变式6．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 考点二 条件等式求最值 例1．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 例3．（2025·江西·模拟预测·多选）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·江苏淮安·模拟预测·多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 例5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 例6．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 变式1．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 变式3．（25-26高二下·浙江·开学考试·多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 变式5．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 变式6．（25-26高三上·上海杨浦·月考）若正实数满足，则的最大值为__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $