分层练37三角函数模型及解三角形的实际应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数模型与解三角形实际应用，以分层训练构建从基础到能力的知识应用链条，强化数学眼光观察现实问题、数学语言表达实际情境的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题（含简谐运动图像、距离测量等）|图像分析、高度/距离估算、三角函数模型应用|从三角函数性质（周期、振幅）到解三角形（正弦定理、余弦定理）的实际应用，形成“概念-定理-应用”逻辑链| |B级能力提升|4题（含世纪馆建筑、伦敦眼高度等）|复杂情境建模、动态问题分析|深化实际场景中的数学抽象，通过综合问题提升模型意识与推理能力，体现知识应用的拓展性|

分层练37三角函数模型及解三角形的实际应用 【A级基础巩固】 1. 如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象,则下列判断错误的是() A.该弹簧振子的振幅为 B.该弹簧振子的振动周期为 .该弹簧振子在和时振动速度最大 D.该弹簧振子在和时的位移为零 2. 在相距的两点处测量目标点,若,则两点之间的距离为() A B. C. D. 3. 如图，在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是，,则塔高为() A. B. C. D. 4. 如图,两座相距的建筑物的高度分别为,为水平面,则从建筑物的顶端看建筑物的张角等于() A.30° B.45° C.60° D.75° 5. 北京大兴国际机场(如图1所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，如图2,天安门在北京大兴国际机场的正北方向处,北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东方向上,在天安门北偏东的方向上,则北京大兴国际机场与北京首都国际机场之间的距离约为(参数数据:，，sin() 图1 图2 A. B. C. D. 6. 在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示),则旗杆的高度为() A.9米 B.27米 C.米 D.米 7. 血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力.它是推动血液在血管内流动的动力,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压,则说明这位成人有高血压,从未使用抗高血压药的李华今年40岁,从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时,),他的血压(mmHg)与经过的时间满足关系式,则() A.函数的最小正周期为6 B.当天早晨7点时李华的血压为 C.当天李华有高血压 D.当天李华的收缩压与舒张压之差为 8. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数,...,12)来表示，已知6月份的月平均气温为，12月份的月平均气温为，则10月份的平均气温为_____℃. 9. 江岸边有一炮台高，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为和，而且两条船与炮台底部所连的线成角，则两条船相距_____. 10. 如图是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区边界轮廓是半径为200米,圆心角为的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路,若米,则圆弧的长为_____米. 11. 小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物,高为,在它们之间的地面上的点三点共线)处测得楼顶,教堂顶的仰角分别是和,在楼顶处测得教堂顶的仰角为,求小明估算索菲亚教堂的高度. 12. 如图,点分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点从初始位置开始,按逆时针方向以角速度做圆周运动,同时点从初始位置开始,按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动.记时刻,点的纵坐标分别为. (1)求时，，两点间的距离； (2)若，求关于时间的函数关系式,并求当时,的取值范围. 【B级能力提升】 13. 第十届中国花卉博览会在上海崇明举办，其标志性建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间,它拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达.图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图.世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形,其中分别为左右两个半圆的圆心),线段与左右两个半圆分别交于,若,,则的长约为() 图1 图2 A. B. C. D. 14. “伦敦眼”共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为号(因宗教忌讳，没有13号)，并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入,后距离地面的高度,“伦敦眼”的旋转半径为,最高点距地面,旋转一周大约30min.现有甲乘客乘坐11号乘坐舱,当甲乘坐“伦敦眼”时,乙距离地面的高度为,则乙所乘坐的舱号为() A.7或15 B.6或15 C.7或16 D.6或16 15. 如图，某湖有一半径为的半圆形岸边,现决定在圆心处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处再分别安装一套监测设备,且满足.定义:四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为_____. 16. 如图所示,经过村庄有两条夹角为的公路,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂,分别在两条公路边上建两个仓库(异于村庄),要求(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪音对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.C.[由图象及简谐运动的有关知识得,该弹簧振子的振幅为，振动周期为 当或时,振动速度为零, 该弹簧振子在和时的位移为零.A,B,D正确,C错误.] 2.A[如图，在中. 由已知可得， 3.A[设山顶为,塔底为,塔顶为,过点作的垂线,交的延长线于点(图略), 则易得， , 所以.] 4.B[依题意可得， ,又, 所以在中,由余弦定理得 , 又,所以,所以从顶端看建筑物的张角为.] 5.A[如图所示,由题意可得 ,31.15°. 由正弦定理可得 , 即, 则≈65.46.] 6.B[依题意可知, ， ， 由正弦定理可知, (米), 在Rt中,(米),] 7.[因为,所以;当时,, 所以当天早晨7点时半华的血压为；因为的最大值为, 最小值为, 所以李华的收缩压为, 舒张压为, 因此李华有高血压，且他的收缩压与舒张压之差为.故选BCD.] 8.20.5[因为当时,;当时,, 所以, 所以,所以当时,.] [由题意西示 意图，如图， OM=AOtan45° , ONAOtan30° , 在中，由余弦定理得， [连接, 因为， 所以， . 在中,由正弦定理可得 , 即, 则, 因为,且,所以, 所以米.] 11.解由题意知,,所以. 在Rt中,,在中，由正弦定理得，所以,在Rt中, 12.解(1)连接(图略), 当时,, ,所以. 又, 所以, 即两点间的距离为. (2)依题意，， 所以 , 即函数关系式为, 当时,, 所以, 故当时,. 13.B[如图所示,过点作的垂线,垂足为、则 . 因为,所以, 所以， 所以. 因为, 所以. 因为, 所以 ,所以 . 在中,由正弦定理可得 , 即, 又, 所以 14.C[最高点距地面,则,“伦敦眼”的旋转半径为,则最低点距地面,所以,可得.又“伦敦眼”旋转一周大约，得周期,解得.因此,而,即,又,所以.于是得.令,解得或.依题意,每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为,则后一个乘坐舱到相邻一个乘坐舱的位置的用时为.当时,乙比甲晚出发,甲、乙相差(个)乘坐舱,由于没有13号,此时乙在16号乘坐舱;当1时,乙比甲早出发,甲、乙相差(个)乘坐舱,此时乙在7号乘坐舱. 所以乙所乘坐的舱号为7或16.] 15.[在中，,,， ，. 则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为.] 16.解设，在中， 因为,所以.在中，. . . 当且仅当, 即时,取得最大值12, 即取得最大值. 所以设计时，工厂产生的噪声对居民的影响最小. $