专题02 一元二次方程根与系数的关系训练10大题型（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过10类分层题型系统构建从直接应用到综合拓展的解题能力，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10类题型（含60+题目）|覆盖直接/间接求代数式值、参数求解、构造方程、几何结合等，标注高频/难/重考点|从韦达定理基础应用到代数式变形、降次思想、新定义综合，形成"概念-变形-应用-拓展"逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|24道综合题|融合参数讨论、多结论判断、跨知识模块（如几何），强调模型意识|深化根与系数关系在复杂情境中的迁移，衔接中考命题趋势|

专题02 一元二次方程根与系数的关系训练 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根与系数的关系 题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值（高频） 题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值（难） 题型4 利用根与系数的关系求参数的值（高频） 题型5 构造一元二次方程求代数式的值（难） 题型6 利用根与系数的关系判断根的情况（高频） 题型7 根的代入与根与系数的关系结合问题（难） 题型8 根与系数的关系中新定义问题（难） 题型9 根与系数关系的多结论判断（难） 题型10根与系数关系与几何图形结合（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根与系数的关系 ◆题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 3．已知方程的两个根是和，则________． 4．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 5．已知，是方程的两个根，则__________． 6．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． ◆题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 8．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 11．已知是一元二次方程的两个根，则________． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则________． ◆题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值 13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 14．已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 15．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 16．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 17．如果，且满足，，那么代数式_________ 18．已知方程的两根分别为，，则的值为______． ◆题型4 利用根与系数的关系求参数的值 19．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 20．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 21．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 22．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 24．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． ◆题型5 构造一元二次方程求代数式的值 25．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 26．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 27．已知，，且，则_____． 28．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 29．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 30．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． ◆题型6 利用根与系数的关系判断根的情况 31．关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（     ） A．方程必定有两个不相等的实数根 B．若方程有解，则两个解必定异号 C．若，则两根之和为 D．若方程有解，则两个解的和为负数 32．关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 33．张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 34．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 35．关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 36．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） ◆题型7 根的代入与根与系数的关系结合问题 37．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 38．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 40．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 41．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 42．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 ◆题型8 根与系数的关系中新定义问题 43．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 44．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 45．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 46．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 47．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 48．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． ◆题型9 根与系数关系的多结论判断 49．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 52．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为． 53．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有______．（填序号即可） 54．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． ◆题型10 根与系数关系与几何图形结合 55．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 56．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 57．已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当______时，三角形为等腰三角形． 58．已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是__________三角形． 59．已知，，是三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断是什么三角形，并说明理由． 60．设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： (1)______，______．（用表示） (2)若方程的两个根是和，求的值． (3)已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 综合攻坚·知能拔高 1．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 2．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 3．已知，为关于的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．嘉嘉：当时，；淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（     ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 4．已知一元二次方程的两根为m，n，则的值是（   ） A． B． C． D．2 5．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2027 C． D． 6．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 8．若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 10．设，是方程的两个根，则的值为______． 11．已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 12．等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______． 13．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则______． 15．已知，且有，则的值等于____________． 16．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 18．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 20．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 23．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 24．【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程根与系数的关系训练 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根与系数的关系 题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值（高频） 题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值（难） 题型4 利用根与系数的关系求参数的值（高频） 题型5 构造一元二次方程求代数式的值（难） 题型6 利用根与系数的关系判断根的情况（高频） 题型7 根的代入与根与系数的关系结合问题（难） 题型8 根与系数的关系中新定义问题（难） 题型9 根与系数关系的多结论判断（难） 题型10根与系数关系与几何图形结合（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程根与系数的关系 ◆题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 2．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（     ） A． B． C．8 D．2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程求根公式得到两根，计算出两根之和与两根之积，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， 则 ，， 故 ． 3．已知方程的两个根是和，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得到． 4．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 5．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 6．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ◆题型2 利用根与系数的关系间接求代数式的值 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 8．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 9．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 10．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 11．已知是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． ◆题型3 利用根与系数的关系降次求代数式的值 13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 14．已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 15．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得 ，，进而求得，，再结合根与系数的关系代入求值即可． 【详解】解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． 16．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 17．如果，且满足，，那么代数式_________ 【答案】2037 【分析】由已知条件可知，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到和的值. 再将用含的式子替换，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，且满足，，即、， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系得：，， ， ， ． 18．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． ◆题型4 利用根与系数的关系求参数的值 19．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 20．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 21．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 22．如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时，，方程有两个实数根， ∴． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 24．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． ◆题型5 构造一元二次方程求代数式的值 25．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 26．已知实数m、n满足，，，则的值为________________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，满足同一个一元二次方程，因此，可看作一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：实数，满足，，且， ，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ． 27．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 28．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 29．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 30．阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． ◆题型6 利用根与系数的关系判断根的情况 31．关于的一元二次方程的解的情况，下列说法错误的是（     ） A．方程必定有两个不相等的实数根 B．若方程有解，则两个解必定异号 C．若，则两根之和为 D．若方程有解，则两个解的和为负数 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，先确定方程系数，计算判别式判断根的情况，再根据两根之积、两根之和逐一判断选项即可． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， A：计算判别式判断根的个数： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，A选项说法正确； B：判断两根符号： 两根之积为， ∴两根必定异号，B选项说法正确； C： 两根之和为，当时，两根之和为，C选项说法正确； D： 两根之和为，当时，，此时两根之和为正数， 因此“若方程有解，则两个解的和为负数”不成立，D选项说法错误． 32．关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（   ） A．一个正根，一个负根 B．两个正根 C．两个负根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系． 通过计算判别式判断方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，由两根之积为负判断两根异号，即可解题． 【详解】解：∵方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之积， ∴方程有一个正根和一个负根． 故选：A． 33．张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据张林及李冬的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵张林看错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1， ∴两根之和， ∴当时，； ∵李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：A． 34．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 35．关于 的一元二次方程 的两个根分别 ，则方程 的两个根分别是_____ 【答案】， 【分析】本题考查根与系数的关系，换元法解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，设，将方程 化为，再将方程两边同时除以，将方程化为，进行求解即可． 【详解】解：∵（）的两个根分别 ， ∴，即，，即． 设， 则方程化为 ． 两边除以（），得 ． 代入 ，， 得， 即． 解得，． 由，得， ∴，． ∴方程的两个根为，． 故答案为：，． 36．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。 其中正确的有_________（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对②③进行判断；利用反例对④进行判断． 【详解】解：的倒方程为，把代入方程得，解得，所以①正确； 当时，一元二次方程的根的判别式，也为一元二次方程，此方程的根的判别式△，所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以②正确； 一元二次方程无解，则，即，一元二次方程的倒方程为的根的判别式，则它的倒方程也无解，所以③正确； 一元二次方程有两个不相等的实数根，则，当，时，为一元一次方程，它的倒方程只有一个实数解，所以④错误． 故答案为：①②③ ◆题型7 根的代入与根与系数的关系结合问题 37．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 38．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 39．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到，，，代入所求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∴ 40．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 41．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，则的值是（     ） A．175 B．210 C．245 D．365 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，化简所求代数式，再利用根与系数的关系得到两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ 由一元二次方程根的定义得：， ， 整理得： ， ， 由根与系数的关系得： ， ∴． 42．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． ◆题型8 根与系数的关系中新定义问题 43．定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 44．定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 45．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． 46．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【答案】① ③ 【分析】根据倒方程的定义，结合一元二次方程的相关知识逐一判断各结论即可. 【详解】解：①根据倒方程的定义，方程的倒方程为. 将代入，得 解得，故①正确. ②设是和它的倒方程的相同根，则 两式相减得， 整理得. 因为，所以，解得，即相同根为或，故②错误. ③若一元二次方程无解，则其根的判别式. 该方程的倒方程为，其根的判别式，因此倒方程也无解，故③正确. ④和它的倒方程的根的判别式都为. 当时，若，则，此时两个方程都没有实数根，例如，满足，但，无实数根，故④错误. 综上，正确结论为①③. 47．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 48．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． ◆题型9 根与系数关系的多结论判断 49．关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，求根公式． 直接将代入即可判断说法①；根据根的判别式即可判断说法②；根据求根公式即可判断说法③；根据根与系数的关系得到，则方程可化为，求解方程即可判断说法④． 【详解】解：说法①：若， 则当时，， ∴是方程的根，故①正确； 说法②：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确； 说法③：∵是一元二次方程的根， ∴， ， ∴，故③正确； 说法④：∵方程两根为， ∴， ， ∴方程可化为：， 即：， ∴， ∴或，故④正确； 综上所述，四个说法都正确． 故选：D． 50．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 51．关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的判别式，根与系数关系定理，求解即可； 【详解】解：一元二次方程的判别式为， ，， 故①正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故②正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 有两个不相等的实数根， ， ∵一元二次方程的判别式为： ， ∴方程有两个不相等实数根， 故④正确； 由有两个不相等的实数根， ， 令，得， ， 故有两个不相等的实数根， 故也有两个不相等的实数根； 故⑤正确； 52．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为． 【答案】②③． 【分析】先研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，再根据得到的结论解决问题． 【详解】解：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论， 设其中一根为，则另一个根为，因此， 由①得： ；我们记， 即时，方程为倍根方程； 下面我们根据此结论来解决问题： 对于①， ，因此本选项错误； 对于②，整理得：， 由方程是倍根方程， 则， ∴，因此本选项正确； 对于③，又，有， 所以：是倍根方程，因此本选项正确； 对于④是倍根方程，由倍根方程的结论知， 又， 所以：， 所以方程变为：， ∴， ∴，，因此本选项错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查的是根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系，再利用推导的结论解决实际问题，同时考查了一元二次方程的解法，对学生的总结归纳能力的要求较高． 53．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有______．（填序号即可） 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即． 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ， ，故②正确． ③∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． 故③正确． ④∵是方程的一个根， ∴，即， 则或，故④错误． 故答案为：①②③ 54．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或， ，， ， 故②不正确；     ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． ◆题型10 根与系数关系与几何图形结合 55．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 56．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为（     ） A．12 B．12或16 C．16 D．14 【答案】B 【分析】此题考查解一元二次方程及根的判别式，等腰三角形的性质，分6为底边和6为腰两种情况讨论，利用一元二次方程根的性质和三角形三边关系求解即可 【详解】解：①当6为底边时，则， ∵， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为4, 4, 6，满足，故成立； ②当6为腰时，设， 则，即， ∴ 此时方程化为，解得， 三边为6, 2, 6，满足，故成立； 综上，m的值为12或16， 故选：B 57．已知三角形的一边长为6，另外两边，为方程的解，则当______时，三角形为等腰三角形． 【答案】16或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入， 得出， 解得， 此时一元二次方程为， 解得：，， ∴此时， ， ∴此时能够构成三角形； 同理：当，则把代入， 得出， 解得； 当为腰长时，方程， 则， 解得， 此时方程为此时一元二次方程为， 解得：， ∴此时， ， ∴能够构成三角形； 故答案为：12或16． 58．已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是__________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 59．已知，，是三边的边长，且一元二次方程有两个相等的实数根．试根据条件判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，因式分解的应用，等腰三角形的判定，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解出，即可作答． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 60．设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： (1)______，______．（用表示） (2)若方程的两个根是和，求的值． (3)已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查探究一元二次方程根与系数关系，读懂题意，熟练运用（1）中得到的结论是解决问题的关键． （1）对比与可得，； （2）由（1）中结论，得到，，再由，代值求解即可得到答案； （3）由勾股定理得到，再由（1）中结论得到，，从而建立一元二次方程求解得到或，分情况验证是否满足题目要求即可得到答案． 【详解】（1）解：， 对比与可得，，， 故答案为：，； （2）解：的两个根是和， ，， ； （3）解：在中，斜边长为13，三角形另两边、，则， 三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 即， ， 则， 解得或； 当时，，则，解得或，不符合题意； 当时，，解得或，符合题意； 综上所述，． 综合攻坚·知能拔高 1．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 2．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 3．已知，为关于的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．嘉嘉：当时，；淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（     ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都错误 【答案】C 【分析】分别验证嘉嘉和淇淇的判断，验证嘉嘉时用一元二次方程根的判别式判断根的个数，验证淇淇时结合根与系数的关系和已知条件求出k，再判断结论是否成立． 【详解】解：对于一元二次方程，，， ∴ 验证嘉嘉的判断： 当时， ∴方程有两个不相等的实数根，即，嘉嘉判断正确； 验证淇淇的判断： 由根与系数的关系可得，， ∵，代入得 解得，则 ∴，解得 ∴淇淇判断正确； 综上，嘉嘉、淇淇都正确． 4．已知一元二次方程的两根为m，n，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n， ∴， ∴． 5．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】C 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 对所求代数式因式分解得： ， 将，代入得： 原式． 6．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：∵，是直角三角形的直角边， ，． 由，两边平方得：． 将代入上式，得， 解得． ，且， ． ，是一元二次方程的两个根， ∴，． 代入得，， 即，． 7．若实数，满足，，且，则的值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 8．若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 10．设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 先求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． 11．已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 12．等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据为底边和腰两种情况求解即可． 【详解】解：设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则4和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 此时且，符合题意； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 此时且，符合题意； 故答案为：或． 13．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是：________． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查命题的定义，此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． ①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得，即可判断；③由，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵， ∴或， ∴， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程一定无实数解，故此选项符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0，两根之和不为0， 那么，故此选项符合题意； 故所有命题均正确， 故答案为：①②③④． 14．关于x的一元二次方程有两个实数根，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形运算，由一元二次方程根和系数的关系可得，，即得到，得到，进而根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 15．已知，且有，则的值等于____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． 16．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 18．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 20．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解法． （1）对于方程，其根的判别式为，因为恒成立，所以恒成立，即证； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，根据该方程的两个实数根的差为，可得，即，由完全平方公式可得，，再将，代入计算即可解答． 【详解】（1）证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； (2)设，为方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)0或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其大于零即可； （2）由根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， 即， 解得，， 的值为0或． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据根的判别式列不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，，代入求解，最后结合作答即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， 方程有两个不相等的实数根， ， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 解得，， 又， ． 23．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 24．【定义】我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是（1）写出一元二次方程的“友好方程”是______． 【探究】（2）已知一元二次方程的两根为，则它的“友好方程”的两个根为______． 【猜想】（3）当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． 【证明】证明上面的猜想（4）∵方程的两根为， ；方程的两根为，①______；…请完成上述填空①，并补全证明过程．(备注：证明一组关系即可) 【应用】（5）已知关于x的方程的两根是， 请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为______． 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，（4），过程见解析；（5）． 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系，求根公式的应用，因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义即可得出答案； （2）根据“友好方程”的定义得出方程的“友好方程”，求解即可； （3）根据求根公式得出方程的两根为，及其“友好方程”的两根为，，再求得，，即可得出答案； （4）同（3）的方法求解； （5）先根据“友好方程”的根的特点求出方程的两根是，将待求方程变为，把看成一个整体即可求解． 【详解】解：（1）依题意可得：一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， （4）∵ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； （5）解：关于的方程的两根为． ∵方程的两根是， ∴其“友好方程”的两根为． ，即， 将看作整体，则或， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $