专题01 一元二次方程100道计算题训练（专项训练）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法体系，以12类题型构建从基础到综合的训练逻辑，突出运算能力与转化思想培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|4题型（直接开方法等）|解法步骤规范，错解纠正强化运算准确性|从定义到四种基本解法，形成解法选择策略| |综合应用|4题型（解的应用等）|换元法降次，配方法非负性应用|衔接方程解与代数式求值，渗透转化推理意识| |拓展提升|4题型（判别式等）|根与系数关系建模，新定义问题迁移|从代数推理到创新应用，培养模型意识与理性思维|

专题01 一元二次方程100道计算题训练 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程100道计算题 题型1 直接开方法解一元二次方程 题型2 配方法解一元二次方程（高频） 题型3 公式法解一元二次方程（高频） 题型4 因式分解法解一元二次方程（高频） 题型5 选用合适的方法解一元二次方程（重） 题型6 一元二次方程的错解纠正问题 题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（重） 题型8 配方法的应用（重） 题型9 换元法解一元二次方程（重） 题型10 判根公式有关计算 题型11 一元二次方程根与系数的关系计算（难） 题型12 一元二次方程的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程100道计算题 ◆题型1 直接开方法解一元二次方程 1．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．解下列方程：（直接开方法） 5．用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 6．用直接开方法解方程： ◆题型2 配方法解一元二次方程 7．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 8．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 9．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 10．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 11．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 12．下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． ◆题型3 公式法解一元二次方程 13．千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 14．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 15．用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 16．用公式法解一元二次方程：． 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． ◆题型4 因式分解法解一元二次方程 19．解方程：． 20．解下列方程： (1) (2) 21．解下列一元二次方程： (1) (2) 22．解方程： (1) (2) 23．解方程：． 24．解方程： (1)； (2)． ◆题型5 选用合适的方法解一元二次方程 25．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 26．用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 27．按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 28．用合适方法解下列方程： (1)； (2)． 29．用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 30．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) ◆题型6 一元二次方程的错解纠正问题 31．用配方法解一元二次方程．小明同学的解题过程如下： 解：原方程可化为 小明同学的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程． 32．（1）解方程． （2）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以，得，则． 乙同学：移项，得，提取公因式，得， 则或，解得． ①解一元二次方程的基本思想是___________（填“降次”或“消元”）； ②请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 33．按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 34．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 35．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 36．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． ◆题型7 由一元二次方程的解求代数式的值 37．已知是方程的一个根，试求的值． 38．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 39．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 40．先化简，再求值：，其中为方程的解． 41．先化简，再求值：，其中为方程的解． 42．已知是方程的一个根，求代数式的值． ◆题型8 配方法的应用 43．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 44．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 45．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 46．材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为______． 47．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 48．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． ◆题型9 换元法解一元二次方程 49．解方程： (1)； (2)． 50．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 51．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 52．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 53．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 54．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． ◆题型10 判别公式有关计算 55．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 56．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 58．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 59．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 60．已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． ◆题型11 一元二次方程根与系数的关系计算 61．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 62．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 63．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 64．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 65．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 66．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． ◆题型12 一元二次方程的新定义运算 67．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 68．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 69．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 70．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 71．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 72．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 综合攻坚·知能拔高 1．解下列一元二次方程： (1) (2) 2．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 3．关于x的方程有两个不等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)取一个你喜欢的m值，解这个方程； (3)在（1）的条件下，化简：． 4．定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． (1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； (2)若是“相伴有理数对”．求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 5．下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 6．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 7．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 8．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得．………………第一步 二次项系数化为1，得．…………第二步 配方，得．………………第三步 ．…………………………………第四步 由此可得．…………………………第五步 ，．…………………………第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______； ②上述解题过程从第______步开始出现错误． 任务二：请写出该方程正确的求解过程． 9．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设该方程的两个实数根分别为，当时，求的值． 10．下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，⑤ (1)小聪的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误的原因是_________； (2)用这种方法解方程：． 11．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 13．解方程： (1) (2)； (3)． 14．解下列关于x的方程 (1) (2) 15．解关于x的方程： (1)； (2)． 16．解下列一元二次方程 (1) (2) 17．解方程： (1) ； (2) ． 18．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 19．解方程： (1) (2)． 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若，求方程的解． (2)若方程有两个实数根，求m的取值范围． 21．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 22．选择合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 23．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 24．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 25．已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 26．对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 27．关于x的一元二次方程． (1)若，求该方程的解； (2)若方程的两个实数根分别为，，满足，求k的值． 28．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程100道计算题训练 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程100道计算题 题型1 直接开方法解一元二次方程 题型2 配方法解一元二次方程（高频） 题型3 公式法解一元二次方程（高频） 题型4 因式分解法解一元二次方程（高频） 题型5 选用合适的方法解一元二次方程（重） 题型6 一元二次方程的错解纠正问题 题型7 由一元二次方程的解求代数式的值（重） 题型8 配方法的应用（重） 题型9 换元法解一元二次方程（重） 题型10 判根公式有关计算 题型11 一元二次方程根与系数的关系计算（难） 题型12 一元二次方程的新定义运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程100道计算题 ◆题型1 直接开方法解一元二次方程 1．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程． （1）（2）（3）利用直接开平方法求解可得； （4）先整理成，再开方即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即，； （2）解：∵， ∴， 则，； （3）解：∵， ∴， 则， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 2．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 4．解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 5．用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 6．用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． ◆题型2 配方法解一元二次方程 7．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 8．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（配方法）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法步骤计算可得； （2）将常数项移到右边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得； （3）将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边后，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 9．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 10．用配方法解一元二次方程： (1)（配方法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)x1=，x2= (2)x1=，x2=3 【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解： ，   方程变形得：x2－3x=1， 配方得：x2－3x+ =1+ ，即（x－ ）2= ， 开方得：x－ =± ， 解得：x1= ，x2= ； （2）解：移项得： 系数化1得： 两边加上一次项系数一半的平方得： 配方得： 开方得： 解得：x1=，x2=3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 11．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 12．下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得．（第五步） (1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】(1)转化思想，完全平方公式 (2)三，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）根据解答过程判断依据即可； （2）根据配方法判断即可． 【详解】（1）解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化思想，完全平方公式； （2）解：第三步变形时出现错误； 解：二次项系数化为1，得，（第一步） 配方，得，（第二步） 变形，得，（第三步） 开方，得，（第四步） 解得． ◆题型3 公式法解一元二次方程 13．千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 14．解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 15．用公式法解一元二次方程：（用公式法求解）． 【答案】， 【分析】按照公式法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵a=2，b=7，c=－4， ∴△=－4×2×（－4）=81， ∴x= ， ∴，． 【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握解题步骤是关键． 16．用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． ◆题型4 因式分解法解一元二次方程 19．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 20．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． （2）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 21．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 22．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开平方得， 解得，， （2） 移项得， 提取公因式得， 整理得， 则或， 解得，． 23．解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 24．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 配方，得， 即， 所以， 解得，． （2）解：， 移项，得， 分解因式，得， 则，或， 解得，． ◆题型5 选用合适的方法解一元二次方程 25．请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 26．用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 27．按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 28．用合适方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： ∴或 ∴． 29．用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）根据公式法解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）利用提取公因式法先分解因式，再解方程即可； （4）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 30．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． ◆题型6 一元二次方程的错解纠正问题 31．用配方法解一元二次方程．小明同学的解题过程如下： 解：原方程可化为 小明同学的解题过程是否正确？若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】小明同学的解题过程不正确，见解析 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：小明同学的解题过程不正确． 正确的解题过程如下： 原方程可化为 ， ， ， ， 两边开平方，得， 所以或， 所以． 32．（1）解方程． （2）解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学：两边同时除以，得，则． 乙同学：移项，得，提取公因式，得， 则或，解得． ①解一元二次方程的基本思想是___________（填“降次”或“消元”）； ②请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①降次；②都错误； 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式代入求解一元二次方程即可． （2）①根据解一元二次方程的基本思路判断即可； ②移项并提取公因式，注意提取公因式时要变号，由此解方程即可． 【详解】解：（1），变形得， 其中，， ． （2）①解一元二次方程的基本思想是降次， 都是将二次方程，通过各种方法，转化为一次方程来处理； 故答案为：降次； ②都错误． 正确的解答过程如下：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 33．按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得， ． 小芳： 解：， ， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是________________（填“正确”或“错误”）． 小芳的解法是________________（填“正确”或“错误”）． (2)如果小华或小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程； 如果小华和小芳的解法都错误，请写出原方程正确的解答过程． 【答案】(1)错误；错误 (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据题意可知小华没有考虑的情况，即错误，小芳在提公因式时没有变号，即错误； （2）根据解一元二次方程知识可知，利用提公因式解方程即可． 【详解】（1）解：∵小华没有考虑的情况， ∴小华计算错误， ∵小芳在提公因式时没有变号，应为， ∴小芳的解法错误， 故答案为：错误；错误； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：或． 34．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 【答案】解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 原方程为， 移项，得， 提取公因式，得， 整理得， 则 或 ， 解得，． 【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解． 【详解】略． 35．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 36．解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． ◆题型7 由一元二次方程的解求代数式的值 37．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 38．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 39．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 40．先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 41．先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】 【分析】首先进行分式的混合运算，经过通分，因式分解，约分，再通分等一系列计算得出化简后的分式，根据为一元二次方程的解，代入得到，转化为，代入化简后的分式进行计算得到原式的值为，最后计算一元二次方程的解，检验分式的分母是否有意义即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ； ∵为方程的解， ∴， ∴， ∴将代入上式得：， 经检验，解方程，得：，， ，，，分式均有意义， ∴原式的值为． 42．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． ◆题型8 配方法的应用 43．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 44．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 45．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 46．材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 47．阅读下面的例题： 求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)2 (2)有最大值，最大值为12 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解：． ， ， 的最小值是2． （2）． ， ， 有最大值，最大值为． 48．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． ◆题型9 换元法解一元二次方程 49．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 50．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 51．为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 52．【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 53．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①． 解方程①可得，． 当时，，即，∴； 当时，，即，∴． ∴原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)方程的解为______； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)，，， 【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解； （2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解； （3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为，即， 解得，（舍去）， 当时， ∴， 解得，； （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 又∵， ； （3）解：设，则原方程可化为， 解得，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴原方程的解为，，，． 54．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． ◆题型10 判别公式有关计算 55．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 56．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 58．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 59．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 60．已知，为正实数，关于的一元二次方程为． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【答案】(1)证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【详解】（1）略 （2）已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． ◆题型11 一元二次方程根与系数的关系计算 61．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 62．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 63．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 64．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 65．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 66．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． ◆题型12 一元二次方程的新定义运算 67．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 68．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 69．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 70．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 71．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】(1)属于 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 72．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 综合攻坚·知能拔高 1．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 2．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 3．关于x的方程有两个不等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)取一个你喜欢的m值，解这个方程； (3)在（1）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2)取时，方程的解为（答案不唯一，m满足且计算正确即可） (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）取，然后利用因式分解法解方程即可； （3）根据（1）可得，据此根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不等的实数根， ∴， ∴； （2）解：取，则原方程为， ∴， ∴或， 解得； （3）解： 由（1）得， ∴， ∴ ． 4．定义：使成立的一对有理数、称为“相伴有理数对”，记作．例如：因为，所以是“相伴有理数对”． (1)判断数对是否为“相伴有理数对”．并通过计算说明理由； (2)若是“相伴有理数对”．求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) 不是，理由 ，， ， ， ， 不是“相伴有理数对”． (2) (3) 【分析】本题考查了对新定义的理解与应用、一元二次方程的求解以及代数式的化简求值，解题的关键是准确理解“相伴有理数对”的定义，将其转化为等式进行计算． （1）根据定义，分别计算与的值，比较是否相等； （2）将代入定义式，得到关于的方程，求解方程； （3）由是“相伴有理数对”得到，再将所求代数式展开，代入该等式化简求值． 【详解】（1）略 （2）解：是“相伴有理数对”， ， 即， 整理得， 即， 解得． （3）解：是“相伴有理数对”， ， ． 5．下列是小明推导的一元二次方程求根公式的部分过程． 小明步骤： ①由，得； ②两边同时除以，得； ③配方时，在等式两边同时加上，得； ④整理，得；…… 请根据以上信息，完成下列问题． (1)小明的推导过程中，从第_________步开始出现错误．（填序号） (2)请写出正确且完整的推导过程． 【答案】(1)③； (2) 解：由，移项得， 两边同时除以，得， 配方时，在等式两边同时加上，得， 整理，得． 当时， ， 即． 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法的步骤，尤其是配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方． （1）检查每一步推导，发现第③步在配方时，等式两边应同时加上，而不是同时加上，故导致错误； （2）从原方程出发，通过移项、化二次项系数为1、正确配方、开方等步骤，完整推导出求根公式． 【详解】（1）解：在第③步中，配方时应在等式两边同时加上，而不是同时加上，故从第③步开始出现错误．但步骤④本身也存在由步骤③推导至此的逻辑错误，但根源在步骤③． 故答案为：③． （2）略 6．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 7．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”．例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． (1)请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； (2)关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程是“同根方程”，见解析 (2)的值为1或4 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得；结合题意，将分别代入，从而计算得的值；再经检验符合的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）解：这两个方程是“同根方程”， 理由：解，得，， 解，得，， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”； （2）解：解，得，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 当相同的实数根为时，将代入，得，解得，此时一元二次方程的另一个根为，符合题意； 综上，的值为1或4． 8．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得．………………第一步 二次项系数化为1，得．…………第二步 配方，得．………………第三步 ．…………………………………第四步 由此可得．…………………………第五步 ，．…………………………第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______； ②上述解题过程从第______步开始出现错误． 任务二：请写出该方程正确的求解过程． 【答案】任务一：①配方法 ②三； 任务二：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 由此可得． 解得：，． 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，一元二次方程的解法——配方法，解题关键是掌握配方法解一元二次方程并能熟练运用求解． 任务一：①根据所给的解法，结合所学知识填空； ②根据所给的解题过程，从中发现错误位置及原因； 任务二：根据配方法求解即可． 【详解】任务一：解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式， 故答案为：配方法． ②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上． 故答案为：三． 任务二： 略 9．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设该方程的两个实数根分别为，当时，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据方程有实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，结合完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ； （2）解：∵当时，方程为 10．下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，即．③ 开方，得．④ ，⑤ (1)小聪的解答过程是从第____步开始出现错误的，错误的原因是_________； (2)用这种方法解方程：． 【答案】(1)③；配方时方程右边没有加1 (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． （1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解． 【详解】（1）解：小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1； 故答案为：③；配方时方程右边没有加1 （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得即， 开方，得， 所以，，． 11．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， 或， 解得； （3）解：， ， ， ， 解得； （4）解：， ， 或， 解得． 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的定义、根的判别式及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，利用根的判别式得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根的定义得出，代入，得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，根据（1）中所得的取值范围，确定的值即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：． （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 由（1）可知，， ∴． 13．解方程： (1) (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）化简后使用配方法进行求解即可； （2）用因式分解法进行求解即可； （3）用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解： 或 （2）解： 或 （3）解： 或 14．解下列关于x的方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将方程化为一般式，再根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 （2）解： 15．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 或 解得：， 16．解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确解一元二次方程的方法． （）利用因式分解法解方程即可； （）先移项，再提取公因式转化为两个一次因式的乘积形式，依据因式乘积为的性质求解． 【详解】（1）解： ， 则或， 解得：，． （2） 移项得：， 提取公因式：， 即， 则或， 解得：，． 17．解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用配方法进行求解即可； （2）使用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为正整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) 证明： ，即，且， 此方程总有两个实数根. (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：此方程可化为 于是得或， 解得， ∵此方程的两个实数根都为正整数， 为正整数，又m为整数， 或． 19．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： 或 所以 （2）解： 或 所以 20．已知关于x的一元二次方程． (1)若，求方程的解． (2)若方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法及根的判别式的应用，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，以及利用根的判别式确定参数的取值范围． （1）将代入方程，得到一元二次方程后，通过因式分解法求解方程的根； （2）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用根的判别式，列不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，方程为，即， 因式分解得， 则或， 解得，． （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， 计算得，即， 解得． 21．已知关于的一元二次方程 (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由 【答案】(1)见详解 (2)当时，方程的两个根互为相反数，理由见详解 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据“方程的两个根互为相反数”可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数，方程都有实数根； （2）解：设方程的两个根为，由根与系数的关系可得：， ∵方程的两个根互为相反数， ∴， ∴， ∴当时，方程的两个根互为相反数． 22．选择合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】此题考查解一元二次方程，包括直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等，解题关键在于掌握一元二次方程的各种解法． （1）移项，直接开平方可求解． （2）运用配方法求解． （3）运用公式法求解． （4）运用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故，． （3）解：∵， ∴， ∴， 故，． （4）解：∵， ∴， ∴， 故，． 23．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为 _______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解法． （1）对于方程，其根的判别式为，因为恒成立，所以恒成立，即证； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，根据该方程的两个实数根的差为，可得，即，由完全平方公式可得，，再将，代入计算即可解答． 【详解】（1）证明：因为， 所以不论取何值，方程总有两个实数根； （2）设方程的两个实数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得， ，， 两根之差为，则， 又， ， 即， ， ． 24．阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 25．已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，实数的值为1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：存在； ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得； 由（1）可知：； 故． 26．对于实数，，定义新运算“”：． 例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． （1）根据新定义的运算符号“”：代入进行计算即可； （2）先解一元二次方程得出方程的解，再分两种情况，结合新定义的运算符号，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： 故或， 所以或． 当，时， ∵， ∴； 当，时， ∵， ∴， ∴的值为或． 27．关于x的一元二次方程． (1)若，求该方程的解； (2)若方程的两个实数根分别为，，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握知识点是解题的关键． （1）先得到方程为，再解一元二次方程即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，由，可得，解得，再根据方程有实数根，推导出，将代入检验即可． 【详解】（1）解：若，则方程为， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． （2）∵，是这个方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，解得． ∵方程有实数根， ∴． 当时，， ∴． 28．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，请直接写出一元二次方程两根． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． （1）设所求方程的根为，利用根的相反数关系得到与的关系，代入原方程化简； （2）设所求方程的根为，利用根的倒数关系得到与的关系，代入原方程化简； （3）通过对方程变形，结合已知方程的根，分析新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得，即， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入，得， 化简，两边同乘得，即， 故答案为：； （3）解：已知的根为， 对于方程， 变形为，即， 令，则方程变为，所以或， 当时，，解得；当时，，解得， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $