13.2 与三角形有关的线段 （课件） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形三边关系及稳定性，通过“小狗选择路线”的生活情境导入，以“两点之间线段最短”为支架，引导学生从观察到推理证明，再到解决等腰三角形边长问题，构建完整知识脉络。 其亮点在于融入数学眼光、思维与语言，如用生活实例抽象数学原理，等腰三角形边长问题的分类讨论培养推理能力，稳定性应用联系钢架等实例。小结结构化梳理知识，助力学生提升抽象与应用能力，教师教学更高效。

第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 学习目标 1.经历证明三角形任意两边之和大于第三边的推理过程，学会用符号语言表达三边关系. 2.学会运用三角形三边关系解决等腰三角形边长相关的问题，提升推理能力和分类讨论的能力. 3.了解三角形的重心和三角形的稳定性，了解三角形的稳定性在日常生活和工程建筑中的广泛应用. 问1：三角形的定义是什么？ 温故 问2：构成三角形的基本元素是什么？ 引入 思考：三角形的三条边有什么关系呢？ 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可选择？ 各线路的长有什么关系？ 路线1：从B到A再到C的路线走; 路线2：沿线段BC走. 路长:BA+AC 路长:BC AB+AC>BC 如何证明？ B、C看作定点根据“两点之间，线段最短” 三角形两边之和大于第三边 可得：AB+AC>BC① 同理有：AC+BC>AB② AB+BC>AC③ 由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC BC>AC-AB 三角形两边之差小于第三边 一、三角形的三边关系 思考：由结论表明了三角形三边之间关系。反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段.那么这三条线段不能组成三角形. 结论：如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形 三角形两边之和大于第三边 可得：AB+AC>BC① 同理有：AC+BC>AB② AB+BC>AC③ 由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC BC>AC-AB 三角形两边之差小于第三边 一、三角形的三边关系 二、构成三角形的条件 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰 三角形。 （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解： 设底边长为 x cm，则腰长为2x cm。 x+2x+2x=18 x=3.6 3.6×2=7.2 ∴三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm 解：①若底边长为4cm，设腰长为xcm. 解得 x=7 ∴三边长分别为4cm、7cm、7cm. 4+2x=18 ②若腰长为4cm,设底边长为y cm 2×4+y=18 解得 y=10 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边.所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形,舍去. 答：由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 思考：在日常生活中，三角形的形状随处可见，工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），其中的道理是什么？ 图1 探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 应用： 三角形的稳定性的应用举例： 钢架 起重机的力臂 三角形具有稳定性 1.下列长度的三条线段，哪些能构成三角形？为什么？ (1)1,2,3；(2)6,8,9； (3)4,3,10； 变式1：已知三角形的两边长分别为3，4，则第三边长x的取值范围是 练习P7 变式2：已知三角形的三边长分别为3，x-1,4，则x的取值范围是 变式4：已知长度分别为2，3，4，5的四根小棒，则可以组成三角形有 种 2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条，能否组成一个等腰三角形？ 两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？ 变式1：已知等腰三角形的两边长分别为4 dm 和1 dm ，则该等腰三角形的周长为 dm 课堂导入 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，没有选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学？ A B C 新知探究 利用在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论，就可以知道路线1的长度大于路线2, 即 BA+AC>BC . 那么你能证明这个结论吗？ A B C 知识点1 三角形三边的关系 新知探究 知识点1 三角形三边的关系 A B C 探究 任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 路线2:由点B到点C. 路线1:由点B到点A，再由点A到点C. BA+AC BC. 哪个线路比较长呢？ 新知探究 对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB, ② AB+BC>AC. ③ A B C 知识点1 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边. 新知探究 AC+BC>AB, ② AB+BC>AC. ③ 进一步，由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC, BC>AC-AB. 三角形两边的差小于第三边. 知识点1 三角形三边的关系 A B C 新知探究 三角形的三边有这样的关系： (1) 三角形两边的和大于第三边. (2) 三角形两边的差小于第三边. 知识点1 三角形三边的关系 新知探究 思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 知识点1 三角形三边的关系 1 cm 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 1 cm 1+3<5，不能组成三角形. 新知探究 思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系，反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 知识点1 三角形三边的关系 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 3 cm 3 cm 3+3>5，能组成三角形. 新知探究 知识点1 三角形三边的关系 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形； 如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 新知探究 例1、下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ (1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm (2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形. (3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形. 解： (1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形. (4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形. 知识点1 三角形三边的关系 新知探究 例2、用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 解 ：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则 x+2x+2x=18. 解得x=3.6 . 所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm. 知识点1 三角形三边的关系 新知探究 解 ：(2)因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. 如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4+2x=18，解得x=7. 例2、用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 4cm 4cm 知识点1 三角形三边的关系 新知探究 例2、用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. (2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 4cm 4cm 知识点1 三角形三边的关系 ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm， 则2×4+y=18， 解得y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”， 所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 新知探究 探究 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形. 知识点2 三角形的稳定性 新知探究 三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子. 起重机 钢架桥 知识点2 三角形的稳定性 新知探究 帐篷的支撑结构 自行车车架 摄影机支撑架 你能再举些例子吗？ 知识点2 三角形的稳定性 新知探究 知识点2 三角形的稳定性 例3 、平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了.你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？_________________________. 三角形具有稳定性 随堂练习 1.某同学从长度分别为10cm，6cm，5cm，4cm的四根木棒中，任选其中三根组成三角形，则能组成的三角形的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析： 转化为去掉四根中的一根 B 随堂练习 2.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x， 根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2， 即5＜x＜9， 又因为x为奇数， 所以x=7，即第三边的长为7. 随堂练习 3.四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 B 课堂小结 $