第十三章 三角形 单元复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖三角形概念分类、三边关系、重要线段及内角外角性质，以表格对比高、中线、角平分线的位置与性质，突出三边关系和内角和定理等高频考点的内在逻辑。 讲义亮点在于“易错辨析+分层题型”设计，4个易错点如高线位置混淆、外角性质误用精准避坑，5类典例从基础的三边关系判定到压轴的内外角平分线综合，培养推理意识与几何直观，小测包含选择填空解答题，支持学生自主复习和教师精准分层教学。

第十三章 三角形 单元复习+小测 （核心知识+4易错辨析+5典例精讲） 【知识点01】三角形的基本概念与分类 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2. 分类 （1）按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个直角）、钝角三角形（有一个钝角）。 （2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 3. 重要结论：任意三角形至少有2个锐角，最多1个直角或1个钝角。 【知识点02】三角形三边关系（高频考点） 1. 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 2. 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 3. 实用判定技巧：最短两边之和＞最长边，即可构成三角形（无需验证三组不等式）。 4. 第三边取值范围：若三角形两边为a、b（a＞b），则 。 【知识点03】三角形的三条重要线段 1. 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 特点：锐角三角形三条高均在形内；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在形外。三条高所在直线交于一点（垂心）。 2. 中线：连接三角形顶点和对边中点的线段。 特点：三条中线交于重心，重心分中线为2:1两段；中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3. 角平分线：平分三角形内角、端点在对边上的线段。 特点：三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 【知识点04】三角形内角与外角性质 1. 内角和定理：三角形内角和为180°。 2. 直角三角形性质：两锐角互余；判定：两锐角互余的三角形是直角三角形。 3. 外角核心性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； （3）三角形外角和为360°。 易错点1：三边关系判断误区 ❌ 错误认知：只要任意两边之和大于第三边即可（容易漏判）；忽略第三边取值范围的双向限制。 ✅ 正确方法：只需验证最短两边之和＞最长边；第三边必须同时满足两边之差＜第三边＜两边之和。 ⚠️ 陷阱：等腰三角形边长问题，必须分类讨论，且验证三边关系，避免出现无效解。 易错点2：三角形高线位置混淆 ❌ 错误认知：所有三角形的高都在三角形内部。 ✅ 正确结论：锐角三角形三高在内；直角三角形两高为直角边；钝角三角形两高在外，做题需结合图形分析，避免漏高、错画高。 易错点3：中线分周长与分面积混淆 ❌ 错误1：认为中线分三角形周长相等（周长不相等，仅面积相等）； ❌ 错误2：等腰三角形中线分周长题型，遗漏底边长度，直接默认腰长。 ✅ 核心区分：中线必平分面积，不一定平分周长。 易错点4：外角性质误用 ❌ 错误：外角等于任意两个内角和、外角大于所有内角。 ✅ 严格限定：外角仅等于不相邻两个内角和，仅大于不相邻内角。 【题型一】三边关系判定与第三边取值 1．（23-24八年级上·广西贺州·期末）已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 3．（22-23八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 5．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 6．（23-24八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【题型二】等腰三角形边长、周长分类讨论 7．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 9．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 11．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 13．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 14．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【题型三】三角形线段（高、中线、角平分线）应用 15．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 16．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 17．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 18．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）如图，是的边上任意一点，是线段上一点且，是线段的中点，若的面积为，则的面积为_____． 19．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 20．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． 21．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【题型四】三角形内角、外角角度计算（压轴基础） 22．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，则的度数是__________． 23．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，是角平分线，平分，交于点E，则与的数量关系为________． 24．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，于D平分与交于点F，求． 25．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，平分，求的度数． 26．（25-26八年级上·河南许昌·期中）求出下列各图形中x的值． (1) (2) 27．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 28．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【题型五】内外角平分线综合与重心应用（压轴） 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，． （1）的度数为______； （2）的度数为______． 30．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 31．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 32．（22-23八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 34．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 35．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 36．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 1. 两大核心性质：三边关系（边长、周长判定）、内角外角性质（角度计算核心），贯穿全章所有题型。 2. 三条关键线段：高（位置分类、面积计算）、中线（平分面积、重心性质）、角平分线（角度平分、距离相等），是几何基础考点。 3. 两类图形计算：三角形角度与边长计算、三角形内角和与外角和计算，公式固定、套路清晰。 4. 必考解题思想：分类讨论（等腰三角形）、数形结合（高线、角度图形分析）、方程思想（角度、边长求值）。 5. 避坑核心原则：所有边长问题必验三边关系，所有角度问题紧扣定义限定词（不相邻、内角、外角）。 一、单选题 1．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点，若，则的度数为（     ）      A． B． C． D． 2．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 二、填空题 7．实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 8．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 9．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若，，则的度数是____________． 10．如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 三、解答题 11．如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 12．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 13．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 14．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 15．在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 16．综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 17．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： (1)根据（图1）的研究思路，请证明：， (2)如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．探究与的数量关系． (3)如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 单元复习+小测 （核心知识+4易错辨析+5典例精讲） 【知识点01】三角形的基本概念与分类 1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2. 分类 （1）按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个直角）、钝角三角形（有一个钝角）。 （2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 3. 重要结论：任意三角形至少有2个锐角，最多1个直角或1个钝角。 【知识点02】三角形三边关系（高频考点） 1. 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 2. 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 3. 实用判定技巧：最短两边之和＞最长边，即可构成三角形（无需验证三组不等式）。 4. 第三边取值范围：若三角形两边为a、b（a＞b），则 。 【知识点03】三角形的三条重要线段 1. 高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 特点：锐角三角形三条高均在形内；直角三角形两条高为直角边；钝角三角形两条高在形外。三条高所在直线交于一点（垂心）。 2. 中线：连接三角形顶点和对边中点的线段。 特点：三条中线交于重心，重心分中线为2:1两段；中线将三角形分成面积相等的两个小三角形。 3. 角平分线：平分三角形内角、端点在对边上的线段。 特点：三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 【知识点04】三角形内角与外角性质 1. 内角和定理：三角形内角和为180°。 2. 直角三角形性质：两锐角互余；判定：两锐角互余的三角形是直角三角形。 3. 外角核心性质 （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角； （3）三角形外角和为360°。 易错点1：三边关系判断误区 ❌ 错误认知：只要任意两边之和大于第三边即可（容易漏判）；忽略第三边取值范围的双向限制。 ✅ 正确方法：只需验证最短两边之和＞最长边；第三边必须同时满足两边之差＜第三边＜两边之和。 ⚠️ 陷阱：等腰三角形边长问题，必须分类讨论，且验证三边关系，避免出现无效解。 易错点2：三角形高线位置混淆 ❌ 错误认知：所有三角形的高都在三角形内部。 ✅ 正确结论：锐角三角形三高在内；直角三角形两高为直角边；钝角三角形两高在外，做题需结合图形分析，避免漏高、错画高。 易错点3：中线分周长与分面积混淆 ❌ 错误1：认为中线分三角形周长相等（周长不相等，仅面积相等）； ❌ 错误2：等腰三角形中线分周长题型，遗漏底边长度，直接默认腰长。 ✅ 核心区分：中线必平分面积，不一定平分周长。 易错点4：外角性质误用 ❌ 错误：外角等于任意两个内角和、外角大于所有内角。 ✅ 严格限定：外角仅等于不相邻两个内角和，仅大于不相邻内角。 【题型一】三边关系判定与第三边取值 1．（23-24八年级上·广西贺州·期末）已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三边关系得到第三边的取值范围，进而判断出选项中不符合该范围的数值． 【详解】解：三角形的两边长分别为和，设第三边长为， 由三角形三边关系可得， 即， 选项中不满足，其余选项均满足， 此三角形第三边的长不可能是． 故选：． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 3．（22-23八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、绝对值非负性 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、确定第三边的取值范围、带有字母的绝对值化简问题、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形三边关系、化简绝对值等知识点，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）由三角形三边关系定理即可解答； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴， ∴ ∴ ． 5．（2022八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，，，，用小钉子把木棒和，和分别在端点，处连接起来，用橡皮筋把连接起来． （1）设橡皮筋的长为，则的最大值是________，最小值是_______． （2）若围成一个四边形，则橡皮筋的长的取值范围是________． （3）连接，若，的长为整数，则的长是_______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； （2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围； （3）先根据三角形的三边关系求出的范围，再结合的长为整数的条件即可求解． 【详解】解：（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点共线，从左到右依次为、、、． ，，， ； 综上，的最大值是，最小值是． （2）由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为：． （3）在中，，， ，即， ，， ，即， ， 的长为整数， ． 6．（23-24八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 【题型二】等腰三角形边长、周长分类讨论 7．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系， ∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； D、，不满足三边关系， ∴无法构成三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】分情况讨论腰长，验证三边能否构成三角形后计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为6和4， ∴分两种情况分析： ①当腰长为6，底边长为4时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ②当腰长为4，底边长为6时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ∴该等腰三角形的周长为16或14． 9．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可； 【详解】解：等腰三角形的一边等于，一边等于， 当腰为时，三边为，，，能构成三角形， 周长为； 当腰为时，三边为，，， ， 不能构成三角形； 三角形的周长为． 11．（25-26八年级上·青海果洛·阶段检测）已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 【答案】的三边长分别为，，． 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，设等腰的腰长为，底边长为，分，两种情况建立二元一次方程组求解，再根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，则， ∵一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，设中线长为， ∴， 当时， 即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴能组成三角形； 当时，即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的三边长分别为，，． 12．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 13．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】(1) (2)15或18 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 14．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、带有字母的绝对值化简问题、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据三角形三边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求解即可； （2）同（1）求出a的取值范围，再化简绝对值计算； （3）根据等腰三角形及三角形三边长的关系，分情况讨论得到周长即可． 【详解】解：（1）根据题意，， 解得：； （2），解得， ， ； （3）①，解得， ②如果是等腰三角形， 当时，，不符合题意； 当时，此时的周长是． 【题型三】三角形线段（高、中线、角平分线）应用 15．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 16．（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 17．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，，则边上的高为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质．根据已知可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵为的中线，为的中线，的面积为， ∴ 设边上的高为 ∴ 解得： 故答案为：． 18．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）如图，是的边上任意一点，是线段上一点且，是线段的中点，若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，解题的关键是掌握三角形的中线性质．根据，则，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比，得，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得， 可知的度数，利用三角形内角和定理，得， 结合角平分线，有， 即可得到结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 20．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如图，在中： (1)作中线，高，角平分线，延长交于点O； (2)若，，则 °， °． 【答案】(1)见解析 (2)60；75 【知识点】三角形角平分线的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题、画三角形的高 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的中线、高和角平分线． （1）根据三角形的中线、高和角平分线的定义画出图形； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再根据高的定义得，则利用互余计算出，接着根据角平分线的定义得到，然后利用互余可计算出的度数． 【详解】（1）解：如图，、、、点即为所作； （2）解：，， ， 是的高， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：60，． 21．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型四】三角形内角、外角角度计算（压轴基础） 22．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，是的一个外角，平分，为延长线上的一点，，交于点，若，则的度数是__________． 【答案】/40度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据角平分线的定义，求出，的度数，平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质求出的度数，最后再利用三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，是角平分线，平分，交于点E，则与的数量关系为________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先求出，得到，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是角平分线，平分， ∴， ∴ ． 24．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，于D平分与交于点F，求． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度． 根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∵平分， ∴， ∵于D， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，中，平分，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和等量，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，得到，求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ． 26．（25-26八年级上·河南许昌·期中）求出下列各图形中x的值． (1) (2) 【答案】(1)110 (2)60 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，解题的关键是根据内角和及外角性质建立方程求解． （1）利用三角形内角和求出，再结合邻补角关系求； （2）利用“三角形外角等于不相邻两内角和”列方程求解． 【详解】（1）解：∵三角形内角和为， ∴， 解得，． ∵与互为邻补角， ∴； （2）解：∵三角形外角等于与它不相邻的两内角的和， ∴， 化简得， 解得． 27．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 28．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， 是的外角， ． 【题型五】内外角平分线综合与重心应用（压轴） 29．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，． （1）的度数为______； （2）的度数为______． 【答案】 /80度 /40度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线将角进行等分，结合三角形内角和与外角关系推导未知角度． （1）先在中，由内角和求出与的和，再根据BD、CD是角平分线得出与的和，最后用内角和求出； （2）利用三角形外角性质，结合外角平分线与平分线的关系，推导与的数量关系，再代入的度数求出． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴； ∵BD平分，CD平分， ∴，， ∴； 在中，∵， ∴， 故答案为：； （2）设的外角为， ∵CE平分， ∴； 由三角形外角性质，，又BD平分， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴，化简得； ∵， ∴， 故答案为： 30．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点． （1）若，，则截掉的___________； （2）若，则___________． 【答案】 70 55 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 在中，， ． 31．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 32．（22-23八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【答案】(1)105 (2)80 (3) (4)5 【知识点】图形类规律探索、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可求出； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出； （3）先根据三角形内角和定理求得，再根据等分线的定义求得，即可求出； （4）依据（3）的结论即可求出的值． 【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，， ∴， ∴ （2）解：∵点2是与的三等分线的交点， ∴， ∴； （3）解：∵点是与的等分线的交点， ∴， ∴ （4）解：由（3）得：， 解得：． 33．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】 证明：过点C作 ， ；     【结论应用】 【应用拓展】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 34．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图1，已知，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动．点C为三条内角平分线交点，连接、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，连接并延长，与的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，值为 (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的综合应用，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据求解即可； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答；（3）设根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点C为三条内角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 的度数不变，值为； （3）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， 分以下4种情况讨论： ①若， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴； ④， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，为或． 35．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【详解】（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 36．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或. 1. 两大核心性质：三边关系（边长、周长判定）、内角外角性质（角度计算核心），贯穿全章所有题型。 2. 三条关键线段：高（位置分类、面积计算）、中线（平分面积、重心性质）、角平分线（角度平分、距离相等），是几何基础考点。 3. 两类图形计算：三角形角度与边长计算、三角形内角和与外角和计算，公式固定、套路清晰。 4. 必考解题思想：分类讨论（等腰三角形）、数形结合（高线、角度图形分析）、方程思想（角度、边长求值）。 5. 避坑核心原则：所有边长问题必验三边关系，所有角度问题紧扣定义限定词（不相邻、内角、外角）。 一、单选题 1．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点，若，则的度数为（     ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先根据两直线平行，内错角相等得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故． 故选：B． 2．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 3．已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用非负数的性质求出已知两边的长度，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得， 由三角形的三边关系可知， ∴， ∴选B． 4．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 5．请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据材料可知，三角形的高的垂足可能落在对边或对边的延长线上，分两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余的性质计算角度． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴， 如图， 当垂足在线段上时， ∴， 当垂足在的延长线上时：如图 ∴， ∴． 综上，的度数为或． 6．如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 二、填空题 7．实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 【答案】7或8 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质．先通过配方将原式转化为非负数和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：将原式变形可得， 因为，，且它们的和为0， 所以，， 解得，， ①若腰长为3，底边长为2，则三角形三边为3、3、2， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为； ②若腰长为2，底边长为3，则三角形三边为2、2、3， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为， 故答案为：7或8． 8．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处E与座位处A在一条直线上，若，，则的度数是____________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的和差，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由得，由得和，则有，又，最后用角度和差即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ，， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 【详解】（1）解：，， ， ， 平分的外角， ， ； （2）解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 12．已知，，为的三边长． (1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值； (2)若，满足，且是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在； （2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数． 【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，， 分两种情况讨论： ①当为底边时，， ，， 符合三角形的三边关系，； ②当为腰时，，， ， 不符合三角形的三边关系； 综上所述，． （2）解：， ， ，． ，，是的三边长， ． 即， 是整数， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键． 13．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 14．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 15．在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 16．综合与实践 【探究课题】三角形重心的性质 【背景材料】在物理中，一个质地均匀、形状规则的物体，其重心在它的几何中心上．数学中，我们可以通过几何方法来确定匀质薄板的重心．某数学兴趣小组对此展开了如下探究：如图1，已知是一块匀质三角板，分别是边的中点，连接，两条线段相交于点．小组同学通过实验发现，用一根手指顶在点处，三角板能保持水平平衡，从而确定点即为三角板的重心． 【提出问题】探究图1中，的值是多少? 为了让同学们更好地解决提出的问题，老师设置了以下三个任务： 【知识技能】（1）任务1：如图2，在中，是的中线，请用直尺和圆规作出的重心；（不写作法，保留作图痕迹） 【解决问题】 （2）任务2：如图3，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为_____； （3）任务3：在任务2的条件下，求的值； 【拓展应用】（4）如图4，在中，点是的重心，连接并延长，分别交边于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2；（4）4 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义与性质、三角形中线的性质、三角形面积的计算以及等高三角形面积比与底边比的关系，熟练掌握三角形重心分中线成2:1的比例、中线分三角形面积为相等的两部分是解题的关键． （1）根据三角形重心的定义，即三条中线的交点，先作出边的中线，再与已知中线相交，交点即为重心． （2）利用重心的性质，即重心将三角形分成面积相等的三部分，以及中线分三角形面积为相等的两部分，通过面积的等量代换，得出与面积相等． （3）连接，利用重心分中线的比例关系，结合等高三角形面积比等于底边比，从而求出的值． （4）先根据重心分中线为的比例求出、的长度，结合算出的面积，再利用（2）的结论得到和的面积，进而求出的总面积，最后用总面积减去三个三角形的面积得到四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，作出边的中线，连接与，交点即为重心； （2）∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，连接， ∵点是的重心，的面积为， ∴是边上的中线， ∴， ∴ 由（2）知， ∵和同高 ∴； （4）∵点G是△ABC的重心， ∴BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线， ∴， ， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵，， ∴． 17．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： (1)根据（图1）的研究思路，请证明：， (2)如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．探究与的数量关系． (3)如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． ． ． ， (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 是的角平分线， ， 在中，， ，， ，即， ， ， ； (3)解：存在，理由如下： 旋转一周运动停止， 总时间（秒）， 与重合时再以原速返回， 重合时间为（秒），此时，延长交于点， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒；   同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， （秒）， 综上，的值为10秒或16秒时，存在． 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）在中，，由三角形的外角性质推出，得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $