第13章 综合与实践《确定匀质薄板的重心位置》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“确定匀质薄板的重心位置”核心知识点，从重心概念、匀质薄板条件出发，系统梳理平衡法、悬挂法、几何法三种确定方法，构建“提出问题-建立模型-实验验证-解释反思”的项目式学习支架。 该资料以项目式学习为主线，突出模型观念（抽象为平面图形）、实践能力（实验操作与误差分析）和几何直观（对称性与中线应用）。通过悬挂法操作、规则图形对称性分析等实例，课中助力教师引导学生动手探究，课后借助实验记录单和检测题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 综合与实践《确定匀质薄板的重心位置》讲义 2026—2027学年｜综合与实践课讲义｜建议课时：3课时 项目任务　选择一块规则或不规则的匀质薄板，提出确定重心位置的方案，完成实验、检验、误差分析和成果交流。 一、学习目标与素养指向 1. 了解重心的实际意义，理解本项目中“匀质薄板”的基本条件。 1. 掌握平衡法、悬挂法以及利用图形对称性确定重心位置的基本方法。 1. 经历“提出问题—建立模型—设计方案—实验验证—解释反思”的全过程。 1. 能记录实验数据和误差来源，形成安全操作、分工合作和清楚表达的习惯。 素养指向　模型观念、应用意识、实践能力、几何直观、推理能力与跨学科综合素养。 二、问题背景与基本认识 重心 物体所受重力的等效作用点叫做物体的重心。物体被支撑并保持平衡时，支撑位置与重心的位置密切相关。 匀质薄板 材料分布均匀、厚度处处相同且相对很薄的板状物体。对同一种均匀材料制成、厚度处处相同的薄板，重心位置主要由薄板的形状决定。 数学模型 把实际薄板抽象为平面图形，利用对称轴、中线、交点等几何关系描述重心位置。 检验思想 一种方法得到的位置，应尽量用另一种方法复核；多次操作的结果应集中在一个很小的区域内。 图1　规则三角形薄板与不规则薄板的两类确定方法 三、三种基本方法 方法 操作步骤 适用范围与说明 平衡法 用笔尖、圆头小棒或手指从下方支撑薄板，缓慢移动支撑点，直到薄板能近似保持水平，标出支撑位置。 操作直观，适合初步估计；受摩擦、手的抖动和支撑面大小影响，精度通常较低。 悬挂法 在薄板边缘选一点悬挂，待静止后沿重垂线方向画线；换另一悬挂点重复操作，两条悬线的交点即为重心的近似位置。 适合不规则匀质薄板。悬挂静止时，重心在悬点的铅垂线方向上。至少选择两个相距较远的悬点。 几何法 利用图形的对称性或三角形中线确定位置。例如矩形重心在两条对称轴的交点，圆形薄板重心在圆心，三角形薄板重心在三条中线的交点。 适合规则图形；几何法简洁，但前提是薄板确为匀质且形状符合相应模型。 重要限制　本项目不使用力矩公式、坐标重心公式或质量加权公式。结论来自本学段可理解的平衡现象、悬挂实验和已学几何关系。 四、项目实施建议（3课时） 第1课时：方案设计 认识任务，明确“匀质”假设；小组选择薄板，比较平衡法、悬挂法、几何法，画出操作流程图并准备材料。 第2课时：实验与记录 按方案操作；每种方法至少重复两次；标出结果点或结果区域，记录偏差和异常现象。 第3课时：解释与展示 比较不同方法结果，分析误差，制作一页研究报告；用数学语言说明“为什么这样能找到重心”。 五、实验记录单 记录项目 填写内容 评价提示 研究对象 薄板形状、材料、厚度是否均匀。 说明为什么可以把它看成匀质薄板。 方法与次数 采用的方法；每种方法的操作次数。 至少有一种主要方法和一种复核方法。 结果 在图上标出每次结果，描述交点或平衡区域。 结果不必完全重合，应如实记录。 误差来源 悬线摆动、孔的位置、线宽、支撑面过大、薄板不均匀等。 区分操作误差与模型条件不满足。 改进 增加悬挂次数、拉长重垂线、减小线宽、换更硬的薄板等。 改进措施应针对具体误差。 安全提示　剪刀、锥子、图钉等工具由教师统一管理；打孔时垫软木板，手指远离尖端；悬挂装置要牢固，实验区保持整洁。 六、重点与高频考点 ★ 重点1 悬挂法的原理：薄板静止悬挂时，重心位于通过悬点的铅垂线上；两条不同悬线的交点确定重心。 ★ 重点2 规则匀质薄板优先利用对称性；不规则匀质薄板优先采用悬挂法。 ★ 高频 判断实验误差及改进措施，例如悬点太近、薄板未静止、线条过粗、材料不均匀。 ★ 易错 不能把“几何中心”一概当作重心；只有在匀质且具有相应对称性的条件下，才能利用对称性判断。 经典例题｜选择合适的方法 题目　现有一块形状不规则、材料和厚度均匀的硬纸板，不能直接看出对称轴。应优先选用什么方法确定重心？写出关键步骤。 分析　图形缺少明显对称性，几何法不方便；应采用不依赖规则形状的实验方法。 解　优先采用悬挂法。在纸板边缘选一点悬挂，静止后沿重垂线画线；换另一个相距较远的悬点再画一条重垂线；两条线的交点就是重心的近似位置。可用第三次悬挂或平衡法复核。 经典例题｜分析结果不重合 题目　小组用三个悬点画出三条悬线，三条线没有严格交于一点，而是围成一个很小的三角形。应怎样处理并改进？ 分析　真实实验存在误差，不能随意删去结果；应把重心估计为小区域的中心附近，并分析误差。 解　可把小三角形内部的中心附近作为重心的估计位置。改进时应等待薄板完全静止，使用更细的线和笔，选择相距较远的悬点，保证悬线自由下垂，并检查薄板是否均匀。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 确定不规则匀质薄板重心，较合适的方法是________法。 1. 悬挂薄板静止时，重心位于通过悬点的________线上。 1. 匀质矩形薄板的重心在两条________的交点处。 1. 判断：任何形状薄板的重心都等于它外接矩形的中心。（　　） 1. 三次悬挂所得直线围成很小区域时，应________。 检测答案　1. 悬挂；2. 铅垂（重垂）；3. 对称轴（或对角线）；4. ×；5. 把该小区域中心附近作为近似位置，并分析误差、改进复测。 本课小结 规则图形用对称性，不规则图形用悬挂法，平衡法可作直观估计和复核。 实验结果是近似的，可靠结论来自规范操作、多次复测和合理误差分析。 本项目把三角形中线、图形对称性与物理中的平衡现象联系起来，完整经历数学建模过程。 项目成果评价量规 评价维度 达成表现 改进建议 模型条件 能说明材料均匀、厚度相同等假设。 若条件不满足，应指出结论可能偏离。 方案设计 方法适合图形，步骤完整并有复核。 规则图形优先对称性，不规则图形优先悬挂法。 实验记录 保留多次结果，标出近似区域。 不随意删去异常结果，分析产生原因。 解释交流 能用几何关系和平衡现象解释方法。 结论、证据与误差分析要相互对应。 编写依据与使用说明 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版义务教育教科书《数学》八年级上册（2025秋版）第十三章的内容范围编写。讲义用于课堂学习、活动记录与即时评价；概念、定理和推论均采用本学段规范性表达，不替代教材。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $