专题02 数轴中的九类动点模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学讲义以数轴动点问题为核心，通过九类模型框架图系统梳理知识体系，从单动点位置表示到双动点相遇追及，再到动态定值、往返分段等复杂模型，用表格呈现每类模型的识别标志、核心公式和适用场景，清晰展现重难点递进关系。 讲义亮点在于“动静结合”的推导逻辑和分层练习设计，如双动点追及模型通过典例分析速度差与距离关系，培养几何直观和推理意识。易错点总结帮助学生规避分类讨论漏解等问题，基础题巩固建模方法，压轴题提升动态分析能力，助力教师实施精准教学和学生自主复习。

专题02 数轴中的九类动点模型 动态动点问题一直都是初中数学的最难点之一，也是初一期末压轴必考题型，而数轴动点模型是初中学生第一次接触动态变化类问题，该类模型主要依据数轴平移规律、行程关系与绝对值距离公式，考查数形结合、动态分析与分类讨论的数学思想。需要熟练掌握动点标准化列式规律，解题时能做到举一反三、快速破题。本专题就数轴中的九类动点模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家全面掌握。 命题趋势：弱化静态数值计算，强化动态过程分析，多以“双动点运动、相遇追及、动态定值、分段往返动点”压轴大题形式出题。 推导逻辑：动静结合，建模列式，分段讨论，拒绝机械刷题。 核心素养目标： 1.掌握动点位置的代数表示方法，建立“时间-位置-距离”的对应关系； 2.能运用分类讨论思想解决多场景动点问题，培养动态几何思维； 3.规范动点大题的解题步骤，提升综合解答题的得分率。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 单动点位置表示模型 2 模型2. 双动点距离动态模型 3 模型3. 双动点相遇模型 6 模型4. 双动点追及模型 6 模型5. 动态中点模型 10 模型6. 动态定值不变模型 13 模型7. 动态位置分类讨论模型 17 模型8. 动态距离最值模型 20 模型9. 动态往返分段模型 23 【易错点总结】 28 【模型运用】 29 依托数轴定义、有理数平移规律、线段距离公式，结合行程问题（速度、时间、路程）演变而来，是初中动态几何、分类讨论思想的奠基模型。 知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤 1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2)写点——写出所有点表示的数:一般用含有t的代数式表示,向右运动用“+”表示,向左运动用“-”表示； 3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值； 4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。 注意:要注意动点是否会来回往返运动。 模型1. 单动点位置表示模型 · 模型识别标志：单个点从起点出发，沿数轴匀速运动，求某时刻的位置。 · 结构分析：包含三个要素——起点坐标、运动方向、运动速度，时间为自变量。 · 详细推导：数轴向右为正方向，向右运动时，位置随时间变大，因此用加法：位置=起点+速度×时间； 向左运动时，位置随时间变小，因此用减法：位置=起点-速度×时间； 本质是小学行程问题“路程=速度×时间”在数轴上的坐标化表达。 · 核心公式：起点，速度，时间；向右，向左。 · 适用场景：所有动点问题的基础，是列式的第一步。 · 变式点拨：速度带方向（正向右负向左）时，可统一写为。 模型2. 双动点距离动态模型 · 模型识别标志：两个动点同时运动，求任意时刻两点之间的距离。 · 结构分析：两个独立运动的点，距离为两点坐标差的绝对值，与左右顺序无关。 · 详细推导：设时刻A点位置为，B点位置为； 若A在右、B在左，距离为；若B在右、A在左，距离为； 为了避免分类讨论，统一用绝对值表示：。 · 核心公式：任意时刻两点距离，绝对值杜绝漏解。 · 适用场景：所有双动点问题的距离列式。 · 变式点拨：可拓展为多点之间的距离，均用坐标差的绝对值表示。 【典例1】（吉林长春高新区2025-2026学年度上学期期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点B运动，到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点A运动，到点A停止运动；设点P运动的时间为t（秒），P、Q两点的距离为个单位长度． (1)线段的长度为_____________； (2)点P表示的数为_____________；点Q表示的数为_____________（用含的代数式表示）； (3)当时， _____________； (4)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段的中点时，求d的值； (5)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)8 (2)； (3)2 (4)d的值为2或4 (5)或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可求解； （2）根据运动速度及时间分别表示两点即可； （3）根据点P表示的数为及点Q表示的数为列式计算即可； （4）分P点恰好运动到线段的中点；或Q点恰好运动到线段的中点两种情况进行讨论； （5）当时，得出，解出即可． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上表示的数分别是，5， ； （2）解：动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点B运动；同时，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点A运动， ∴点P表示的数为；点Q表示的数为； （3）解：∵点P表示的数为；点Q表示的数为； ∴P、Q两点的距离为， 当时，； （4）解：线段的中点表示的数是：． 如果P点恰好运动到线段的中点， 那么， ，，即Q运动到A点， 此时； 如果Q点恰好运动到线段的中点， 那么， ，， 则． 故d的值为2或4； （5）解：当时， ， 解得：或． 【典例2】（山东威海2025-2026学年期中）如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． (1)若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度． (2)点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ (3)若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 【答案】(1)4；16 (2)10秒 (3)秒或4秒 【分析】（1）向右运动时，用点A、B之间运动前的距离加上点B运动的长度，再减去点A运动的长度；向左运动时，用点A、B之间运动前的距离加上点A运动的长度，再减去点B运动的长度； （2）根据点A、B重合时点A运动的长度等于点A、B之间运动前的距离加上点B运动的长度列方程求解即可； （3）分①点A、B相遇前相距2个单位长度和②点A、B相遇后相距2个单位长度两种情况求解即可． 【详解】（1）解：向右运动时：， 向左运动时：； （2）解：， 答：经过10秒后点A、B重合； （3）解：①点A、B相遇前相距2个单位长度， ， ； ②点A、B相遇后相距2个单位长度， ， ； 答：经过秒或4秒后点A、B两点之间相距2个单位长度． 模型3. 双动点相遇模型 · 模型识别标志：两点相向而行（面对面运动），求相遇时间。 · 结构分析：两点初始有一段距离，运动过程中距离不断缩小，直到距离为0时相遇。 · 详细推导：初始距离=右边点坐标-左边点坐标； 相向运动时，每秒钟缩短的距离=两个点的速度之和（速度和）； 相遇时总缩短距离=初始距离，因此：速度和×相遇时间=初始距离，即。 · 核心条件：相向运动，路程和=初始两点距离。 · 变式点拨：相遇后继续运动，距离会再次拉开，公式依然适用。 模型4. 双动点追及模型 · 模型识别标志：两点同向运动，快的在后、慢的在前，求追上的时间。 · 结构分析：初始有距离差，同向运动时距离差不断缩小，直到距离为0时追上。 · 详细推导：初始距离差=前面点坐标-后面点坐标； 同向运动时，每秒钟缩小的距离=快速度-慢速度（速度差）； 追上时总缩小距离=初始距离差，因此：速度差×追及时间=初始距离差，即。 · 核心条件：同向运动，快追慢，路程差=初始两点距离。 · 变式点拨：若快的在前，则距离越来越大，永远追不上。 【典例1】（山东菏泽市2025-2026学年第一学期期末质量检测七年级）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示，如图，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： 已知数轴上有A、B两点，点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为x，且x是方程的根． (1)求数轴上点B表示的数； (2)如图，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ 【答案】(1)B点表示的数为30 (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题． （1）直接求解即可； （2）设运动时间为t秒，P、Q之间的距离恰好等于4，求出，分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：解得， ∴B点表示的数为30； （2）解：设运动时间为t秒，P、Q之间的距离恰好等于4， ∵． ①P、Q相遇之前，两点的距离恰好等于4， 则， ∴， 解得； ②P、Q相遇之后继续运动，两点的距离恰好等于4， 则， ∴， 解得； 综上可知：经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4． 【典例2】（山东威海2025-2026学年期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是的中点．已知，，请回答下列问题： (1)填空：________； (2)现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动．P、Q两点同时出发，设秒后点P，Q所表示的数分别为m，n． ①当时，________，_______，此时P，Q两点之间的距离是_______； ②求几秒后，P，Q之间相距4个单位长度． 【答案】(1)14 (2)①；6；10；②或4秒 【分析】（1）根据点C是的中点，即点C到点A、B间的距离相等，然后利用数轴上两点间的距离等于数轴右边的数减去左边的数，即可求解； （2）①直接根据点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动计算即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为b，点C表示的数为，点C是的中点，， ∴； （2）解：①当时，，，此时P，Q两点之间的距离是； ②∵P，Q之间相距4个单位长度 ∴， 即 解得：或． 【典例3】（吉林省长春市2025-2026学年下学期七年级月考）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 【答案】(1) 12；3 (2)5 (3) 秒 (4) 或． 【分析】用来表示，根据题目意思即可构造等量关系求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 则当时，， 当时，， （2）解：点P和点Q相遇时， 则， 解得： （3）解：由题可知，的中点为：， 由（2）可知，点P和点Q相遇时，， 则点表示的数为：， 则（秒）． （4）解：由题可知，点P到点O的距离为：， ， ∴， 解得：或． 模型5. 动态中点模型 · 模型识别标志：两个动点运动，求它们中点的位置、运动速度或定值。 · 结构分析：中点坐标是两点坐标的平均数，随两点运动而变化。 · 详细推导：设时刻A点位置，B点位置；根据数轴中点公式，中点坐标； 将两点的运动表达式代入，化简后可得到中点的运动规律，判断是匀速运动还是定值。 · 核心公式：，可探究中点定值、最值。 · 适用场景：动态定值探究、中点运动规律题。 · 变式点拨：若两点速度大小相等、方向相反，中点为定点。 【典例1】（江苏2025-2026学年上学期七年级期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【答案】4或36 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设线段运动的时间为t秒，表示出各点表示的数，根据中点的定义及距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为： 点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示， 根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为： 点C：，点M：， ∵点N是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴，， 已知， 代入得方程：； 分情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； 线段运动的时间是4秒或36秒， 故答案为：4或36． 【典例2】（黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年下学期）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请求出点D在数轴上所对应的数：若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质可求出a、b的值，再根据数轴上两点间的距离公式可得答案； （2）解方程可求出点C表示的数，设出点D表示的数，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据（2）所求用含t的式子表示出运动t秒时，点A，点B，点C和点D表示的数，进而根据中点公式得到点M和点N表示的数，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 设点D在数轴上所对应的数为m，则， ∵， ∴； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得，不符合题意； 当时，则，解得，不符合题意； 综上所述，或， 故点D在数轴上所对应的数为或； （3）解：当点D在数轴上所对应的数为时， 运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴运动t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当点D在数轴上所对应的数为时， 运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴运动t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，t的值为或或或． 模型6. 动态定值不变模型 · 模型识别标志：双动点运动过程中，某条线段长度、某个和差式子的值不随时间变化。 · 结构分析：代入时间的表达式后，含的项相互抵消，结果为常数。 · 详细推导方法：第一步：用表示出所有相关点的坐标；第二步：用坐标表示出要求的线段或式子；第三步：化简代数式，若的系数为0，则为定值，常数项就是定值。 · 核心特征：运动过程中线段长度、中点差值恒为定值，与时间无关；本质是变量抵消，结果为常数。 · 适用场景：压轴大题第二问，探究定值问题。 · 变式点拨：常见的定值有线段和、线段差、线段比等。 【典例1】（黑龙江大庆市2025—2026学年下学期）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为 (1)【知识运用】点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离为_____；线段的中点表示的数为_____ (2)【拓展迁移】：在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为，点是线段的中点． ①点表示的数是_____（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，存在常数，使为定值，请直接写出常数的值和该定值． 【答案】(1)12；1 (2)①；②或；③，定值为 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式和中点公式求解即可； （2）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；根据两点之间的距离公式求出，得到，当时，即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴，线段的中点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点M表示的数为； ②由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点A是的中点时，则， 解得； 当点P是的中点时，则， 解得（舍去）； 当点Q是的中点时，则， 解得； 综上所述，t的值为或； ③当点与点重合时，，解得 当点在点左侧时，，， ∴， ∵为定值， ∴时， ∴， 此时，． 【典例2】（江苏南通市海门区海南中学2025-2026学年上学期七年级数学第二次单元练习试题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____． (2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为． ①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； ②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)；或 (2)①或；②不会发生变化，其值为 【分析】（）利用数轴上两点间距离公式构建一元一次方程解答即可求解； （）①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，即得，解方程即可求解；②由题意可知，点在点右侧，点由原点右侧往原点方向运动，可得，即得，又由得，得，进而得到，即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， 设点表示的数为， 由题意得，, 解得， ∴点表示的数是， ∵，， ∴点在点的左边或点点的右边， 设点表示的数为， 当点在点的左边时，则， 解得， 当点在点的右边时，则， 解得， ∴点表示的数为或； （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点之间的距离为个单位长度时，则， 即， 解得或， ∴的值为或； ②由题意可知，点在点右侧，点由原点右侧往原点方向运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点表示的数为， ∴， ∴， ∴点在运动到点的过程中，的值不会发生变化，其值为． 模型7. 动态位置分类讨论模型 · 模型识别标志：题目出现“距离等于某数”“两点相距某长度”等条件，未说明左右位置。 · 结构分析：距离为绝对值方程，去绝对值后对应两种位置情况。 · 详细分类逻辑：①动点在定点左侧：此时定点-动点=距离；②动点与定点重合：距离为0；③动点在定点右侧：此时动点-定点=距离。列方程时统一用绝对值，解出两个解后分别验证是否符合运动范围。 · 核心分类：动点在定点左侧、右侧、重合三类情况。 · 适用场景：距离类动点问题，必考分类讨论。 · 变式点拨：分类后必须检验解是否在运动范围内，超出则舍去。 【典例1】（2025-2026学年七年级上学期1月期末）数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) ， ，并在数轴上标出A，B两点； (2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ 【答案】(1)；8； 在数轴上标出A、B两点，如图所示： (2)秒或3秒 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）根据非负数的性质可得，，即可求解； （2）设运动时间为t秒，则，，，再根据题意分两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，8； （2）解：设运动时间为t秒，根据P，Q的运动， 则，，， 分两种情况： 当点P在点Q的左侧时， 解得， 当点P在点Q的右侧时， 解得， ∴点P运动秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． 【典例2】数轴上有A、B、C 三个点，分别表示有理数，动点P从A出发， 以每秒1个单位的速度向终点移动，移动时间为秒． (1)用含的代数式表示对应的数字； (2)当运动到时，从出发以每秒3个单位的速度向运动，到达后，立即以同样的速度返回，运动到终点时停止．在开始运动后： ①求Q的移动时间和Q到C的距离（用含的代数式表示）； ②P、Q 两点之间的距离能否为3个单位？ 如果能，请求出此时的值； 如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①Q的移动时间为秒；Q未到达C前，；Q从C返回A时，；②或9或或 【分析】（1）由题意知，P对应的数字为； （2）①由题意知，P运动到B时，用时秒，由P运动到B时，Q从A出发，可知Q的移动时间；当Q未到达C前，表示出对应的数字，然后求即可；Q从A出发到达C，用时秒，则当Q从C后返回A时，表示出对应的数字，然后求即可； ②当Q到达C前，，由，根据距离公式列出方程，计算求解即可；当 Q到达C后，，同理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，P对应的数字为； （2）①解：由题意知，P运动到B时，用时（秒）， ∵P运动到B时，Q从A出发， ∴Q的移动时间为秒； 当Q未到达C前，对应的数字为， ∴Q到C的距离， ∵Q从A出发到达C，用时（秒）， ∴当Q从C返回A时，对应的数字为， ∴Q到C的距离， 综上，Q未到达C前，，Q从C返回A时，； ②解：当Q到达C前，， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 当Q到达C返回A时，， 由①可知，此时对应的数字为， ∵， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，P、Q两点之间的距离能为3个单位，t的值为或9或或． 模型8. 动态距离最值模型 · 模型识别标志：求运动过程中两点距离的最大值、最小值。 · 结构分析：距离是关于时间的一次函数，在运动区间的端点处取到最值。 · 详细推导：距离表达式为一次函数，要么持续增大，要么持续减小，要么先减小后增大； 七年级阶段均为匀速直线运动，因此最值一定出现在运动的起始点、终止点或相遇点处； 分别计算这几个关键点的距离，比较大小即可得到最值。 · 核心考法：端点处取最值，结合运动范围判断。 · 适用场景：填空压轴、大题最值探究。 · 变式点拨：往返运动中，每个分段分别求最值再比较。 【典例1】（福建省漳州市第一中学2025-2026学年七年级上学期期末学情调研）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 【典例2】【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 模型9. 动态往返分段模型 · 模型识别标志：动点运动到端点后折返，方向发生改变。 · 结构分析：运动分为多个阶段，每个阶段方向不同、位置表达式不同，必须分段讨论。 · 详细解题步骤：第一步：求第一次到达端点的时间，确定第一个时间段；第二步：写出该时间段内的位置表达式；第三步：求折返后下一次到达端点的时间，确定第二个时间段；第四步：写出折返后的位置表达式（注意速度方向变号）；第五步：每个时间段内分别解方程，检验解是否在对应区间内。 · 核心方法：按折返节点划分时间段，逐段列式。 · 适用场景：期末压轴大题最后一问，难度最高。 · 变式点拨：多次往返依次分段，每段独立分析。 【典例1】（2025-2026学年度第一学期期末质量监测）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 【典例2】（2025-2026学年七年级上学期数学期末试题）如图，在直线上依次有、、三点，其中，且、满足，点从出发，以每秒2个单位的速度沿直线向右运动． (1)___________，___________； (2)若点从出发，以每秒个单位的速度沿直线向左运动，当同时出发，经过3秒，若，求； (3)若点从出发，以每秒1个单位的速度沿直线向左运动，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿直线向右运动到点，立即以原速度返回点，然后停止运动．假设点的运动时间是秒，且、、三点同时运动，如果有成立，请直接写出的值___________． 【答案】(1)3；6 (2)1或3 (3)0.6或3 【分析】本题考查数轴上动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）由绝对值与平方的非负性可得答案； （2）由题意得3秒后，，再根据分两种情况解答； （3）设为原点，A点对应，C点对应6，从点运动到点用时2秒，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别列方程求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：由题意，3秒后，点运动6个单位，， 若与在同侧，则运动3个单位，， 若与在两侧，则运动9个单位，， 综上，或3． （3）解：， 分类讨论：， 设为原点，A点对应，C点对应6，从点运动到点用时2秒， 当时，对应，对应，对应， 由可知， 解得：（舍），； 点从点运动到点用时2秒， 当时，对应，对应，对应， 由可知， 解得：， 综上，或3时，成立． 【典例3】（福建福州市仓山区福建师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末测试卷-七年级数学）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 模型常见易错点 1. 易错点：动点位置“右加左减”记反 错因：未理解数轴正方向含义，机械记忆。 避坑：用“向右变大，向左变小”的常识验证。 2. 易错点：求距离不带绝对值，漏解 错因：默认两点左右顺序，忽略动点位置互换的情况。 避坑：所有距离必加绝对值，再分正负去绝对值。 3. 易错点：相遇、追及公式混淆 错因：未理解“相向距离缩短，同向距离差缩小”的本质。 避坑：画运动示意图，判断距离是“和”还是“差”。 4. 易错点：往返动点不分段，直接列式 错因：忽略运动方向变化，默认全程匀速同向。 避坑：先求折返时间，划分时间段再逐段分析。 5. 易错点：不检验取值范围，保留不合理解 错因：解方程后不验证是否在对应时间段内。 避坑：解完必验，超出范围的解舍去。 模型小结 1. 标准四步解题法：表位置→列距离→列方程→验范围； 2. 核心口诀：相遇看和，追及看差，距离看绝对值，往返看分段； 3. 动态定值优先化简消参，动态最值优先看端点； 4. 所有动点大题，必须检验取值范围。 1．（2025-2026学年七年级期末）如图，点P和点Q在数轴上表示的数分别是和7．点P和点Q同时相向匀速运动，运动不停止，速度分别为3个单位/秒和2个单位/秒． （1）运行前，_____； （2）设运动时间为，若时，则时间为_____． 【答案】 25 3或7 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）用含t的式子表示出，再根据列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：25． （2）当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 当时，， 解得或． 故答案为：3或7． 2．（河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年下学期）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 3．（北京十一晋元中学2025-2026学年七年级上学期期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 【答案】 或0 【分析】（1）根据移动的时间，求出移动后点，点P在数轴上所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）用含有的代数式表示移动后点，点，点P所表示的数，进而得到，，，由的值与无关求出的值． 【详解】解：（1）点为原点，、为数轴上两点，，且， ，， 数轴上点所表示的数为，点所表示的数为， 当时，点点对应的数为，点点对应的数为， ， 故答案为：； （2）设移动的时间为，则移动后点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为， ，，， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：； 故答案为：或0． 4．（2025-2026学年七年级上学期1月期末）已知数轴上三点表示的数分别为． (1)若动点从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动，另一动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发，运动秒后，此时点在数轴上表示的数为_____，点在数轴上表示的数为_____．（用含的代数式表示） (2)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点同时出发，运动时间为秒，试探究：当为多少时，点两点间的距离为5个单位？ 【答案】(1)；； (2)7秒或17秒；1秒或秒 【分析】本题考查数轴动点以及一元一次方程的应用，解题的关键是能用含的代数式表示点运动后表示的数． （1）直接用含的代数式表示，运动后表示的数即可； （2）由运动方向不同，分两种情况列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数是， 从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数是， 故答案为：；； （2）解：①都向左运动，表示的数是表示的数是， 或， 或； ②向左运动，向右运动，表示的数是，表示的数是， 或， 或， 都向左运动，经过7秒或17秒时，点两点间的距离为5个单位，向左运动，向右运动，经过1秒或秒时，点两点间的距离为5个单位． 5．如图，A点、B点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是，点B 表示的数是1，若在数轴上存在一点 P，使得点P到点A的距离等于点 P到点B的距离的m倍(m是正整数)，则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P 表示的数为0，因为P到A的距离等于P到B距离的5倍，则称点 P 为点 A、B的“5级幸运点” (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点 P在数轴上表示的数为-1，则 ； (2)若点 P 是数轴上点A、B的“3级幸运点”，求点 P 表示的数． (3)点P在数轴上表示的数为，若点A 在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P为点A、B的“6级幸运点”？ 【答案】(1)2 (2)4或 (3)4或1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题的关键是掌握“级幸运点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）依据题意，根据“级幸运点”的概念解答； （2）依据题意，设表示的数是，从而结合题意，列出关于的方程计算进而可以得解； （3）依据题意，设经过秒后为点的“6级幸运点”，然后表示出后再列方程计算即可得解． 【详解】（1）解：∵ A表示的数为表示的数为1 ，点在数轴上表示的数为， ， ， 故答案为：2； （2）解：由题意，设表示的数是， ， 又点是数轴上点的“3级幸运点”， ， ， 当时，； 当时，； 综上，点 P 表示的数是4或； （3）解：由题意，设经过秒后为点的“6级幸运点”， 此时对应的数为对应的数为， ， 又为点的“6级幸运点”， ， 或1． 6．（2025-2026学年七年级上学期1月期末）阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 的值是不会随着t的变化而改变，理由如下： 点A：，点B：，点C：， ， ， ， 的值为3，是一个常数，不会随着的变化而改变． 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上点的移动规律，掌握数轴上点的移动规则是解题的关键． （1）根据数轴“左减右加”的移动规则，可直接得出A、B、C三点表示的数； （2）已知点表示的数为，向右移动x个单位，依据“右移加”，在原数基础上加x，即可得到移动后点表示的数； （3）先用含t的式子表示出t秒后各动点坐标，再利用“数轴两点距离右侧数−左侧数”求出，对化简即可． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：; （2）解：将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为， 故答案为： （3）略 7．（山东菏泽市巨野县2025-2026学年七年级上学期2月期末）如图，数轴上有两点，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为． (1)当时，求线段和线段的长； (2)当时，________，________（用含有的式子表示）； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意先得出，，，再结合，求出，判断在线段上，最后求解线段和线段即可； （2）根据题意先得出，，，再结合判断在线段上，最后求解线段和线段即可； （3）分类讨论：①若在线段上，那么，即，求出，，再结合列一元一次方程求解即可；②若在线段的延长线上，那么，即，求出，，再结合列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵当时， ∴，在线段上， ∴，； （2）由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴在线段上， ∴，； （3）由题意可知，，，， 分类： ①若在线段上，那么，即， ∴，； ∵， ∴， 解得：； ②若在线段的延长线上，那么，即， ∴，； ∵， ∴， 解得：； ∴综上，或． 8．（广东揭阳市揭东区2025-2026学年七年级上学期期中考试）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 9．（2025-2026学年七年级上学期质量监测）已知数轴上点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________；当点运动到的中点时，它所表示的数是___________；运动秒时，点表示的数是___________（用含的代数式表示）． (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ ③如果中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称为一组“幸福点”．直接写出当点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”？ 【答案】(1)；1； (2)①2.5秒；②0.5秒或4.5秒；③1.25秒或2秒或5秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）根据数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．即可得点表示的数；进而可得当点运动到的中点时，它所表示的数；然后根据点P的速度表示出点表示的数即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点的运动距离减去动点的运动距离，列方程即可求解； ②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解； ③根据题意分3种情况讨论：当点B为的中点，当点P为的中点，当点Q为的中点，然后分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10， 得点表示的数为， 当点运动到的中点时，它所表示的数为， 运动秒时，点表示的数是； （2）解：①根据题意，得， 解得， 答：当运动2.5秒时，点追上点； ②根据题意，得当点与点相遇前，距离为8个单位长度： ， 解得； 当点与点相遇后，距离为8个单位长度： ， 解得； 答：当点运动0.5秒或4.5秒时，点与点间的距离为8个单位长度； ③根据题意，得当点B为的中点：， 解得； 当点P为的中点：， 解得； 当点Q为的中点：， 解得； 答：当点P运动1.25秒或2秒或5秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”． 10．（江苏南通市通州区2025－2026学年七年级上学期阶段学情检测）【问题情境】 如图1所示，点，在数轴上分别表示数，，且．小聪将一根木棒放置在数轴上，并将其沿数轴从左向右匀速移动． 【问题解决】 (1)和的值分别为___________，___________； (2)若木棒完全通过点所需时间是完全通过线段所需时间的，求木棒长度； (3)在（2）的条件下，小聪发现木棒移动至线段上某处时，恰好．受此启发，他突然理解了老师课间对他说的一段话：“当我是你现在这么大时，你还要18年才出生；当你到我现在这么大时，我已81岁了．”他画出了如图2的示意图．请你写出图2数轴上点和的实际意义，并求出小聪和老师现在的年龄． 【答案】(1)， (2)木棒长度为8 (3)点表示小聪现在的年龄，点表示老师现在的年龄，小聪现在的年龄15岁，老师现在的年龄48岁 【分析】此题考查了绝对值的非负性，数轴的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设木棒的长度为，根据题意列出方程求解即可； （3）点表示小聪现在的年龄，点表示老师现在的年龄，表示出，然后结合数轴列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，； （2）解：设木棒的长度为， 根据题意得， 解得， 答：木棒长度为8； （3）解：点表示小聪现在的年龄，点表示老师现在的年龄， （岁） （岁），（岁） 答：小聪现在的年龄15岁，老师现在的年龄48岁． 11．（2025-2026学年第一学期期末教学质量监测七年级），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 【答案】(1)6，2 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据题意列式即可； （2）首先求出点对应的有理数为，然后根据题意列方程求解即可； （3）根据列方程求解即可； （4）根据题意分情况讨论，分别根据中点的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（） ∴当时，的长是； ∴点表示的有理数为； （2）解：∵点对应的有理数为， ∴点对应的有理数为 ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点追上点时， 解得； （3）解：根据题意得， 解得或； （4）解：当P是中点时， 解得； 当P是中点时， 解得； 当P是中点时， 解得； 当Q是中点时，，无解； 当Q是中点时，，无解； 综上所述，或． 12．已知：如图，点A在数轴上从对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点B在数轴上从5对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点B的运动时间为t秒． (1)若点A和点B同时出发， ①3秒后点A所对应的数是______，点B所对应的数是______； ②点A和点B重合时______，重合位置所对应的数是______； (2)若点A比点B早4秒钟出发，当点A和点B在相遇前刚好相距2个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)①； ②5， (2)3 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、相遇问题和数轴上点的位置，根据行程问题得出基本数量关系是解题的关键． （1）①根据A、B所对应的数，再由点的运动规律写出3秒后点A、点B所对应的数即可；②分别表示出秒后点A、B所对应的数，再列出方程即可求解； （2）首先写出点A、B运动过程中所对应的数，再根据点A和点B在相遇前刚好相距2个单位长度，列方程即可求解t的值． 【详解】（1）解：①∵数轴上两点A、B所对应的数分别为、5， ∴秒后点A所对应的数是；点B所对应的数是； 故答案为：，； ②秒后点A所对应的数是，点B所对应的数是， ∴，解得：， ∴此时相遇位置对应的数为：， 故答案为：5, ； （2）解：∵点比点早4秒钟出发， ∴点的运动时间为t秒，点的运动时间为秒， ∴点A所对应的数是，点B所对应的数是， 由相遇前刚好相距2个单位长度， ∴，解得：， ∴当点A和点B在相遇前刚好相距2个单位长度时，t的值为3． 13．（陕西省汉中市勉县2025-2026学年上学期七年级数学期中考试试卷）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 【答案】（1）点B表示的数为5，点C表示的数为； （2），点M表示的数为； （3）点表示的数是，理由： 根据题意可知，动点P第2024次运动后向右运动个单位长度，      即此时点P表示的数为，               又因为第2025次点P是向左运动2025个单位长度， 所以点表示的数是． 【分析】（1）根据题意得到点表示的数为5，两点间的距离求出点C表示的数； （2）根据时间等于路程除以速度求出，进而求出点表示的数即可； （3）根据题意，得到点每移动2次，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，且点B与点A到原点的距离相等， 所以点B表示的数为5．                 又因为点C在原点的左侧，且到点B的距离为7， 所以点C表示的数为．                     （2）当M、N相遇前，且相距1个单位长度时， 则， 此时点M表示的数为．                   （3）略 14．（四川省成都市泡桐树中学2025-2026学年七年级上学期期中）【知识准备】若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c．点D对应的数为d，且有，则______，______；的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点G所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y．M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若O为原点，E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）5，，；（2）当时，的中点G所对应的数为10；（3）①；②存在，定值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性得到，，求出，，然后利用中点公式求解； （2）首先表示出点P对应的数为，点Q对应的数为，然后利用中点公式列方程求解； （3）①根据n等分点公式求解； ②首先表示出点E的对应数，点F的对应数，然后表示出，然后分情况求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∴的中点N所对应的数为； （2）根据题意得，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵的中点G所对应的数为10 ∴ 解得 ∴当时，的中点G所对应的数为10； （3）①若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点， 则点M对应的数为； ②∵E是最靠近Q的五等分点， ∴点E的对应数为， ∵F为的中点 ∴点F的对应数为 ∴ ∴当时，，不是定值； 当时，，是定值； 当时，，不是定值； 综上所述，存在t，使得为定值，此时的定值为． 15．（湖南衡阳市实验中学2025-2026学年下学期七年级期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1次．将这条直线看成数轴，起点记为，折返点记为，主席台记为，两位同学分别记为点，，若动点，从同时出发向点运动，到达点后折返到点．已知：数轴上点、对应的数为、，且满足，点对应的数为的相反数等于本身． (1)直接写出、、的值； (2)设点在数轴上对应的数为，那么当为多少时能使得？ (3)已知点的速度为3个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，当动点到达点后，点开始改变速度，以个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，，两点相距2个单位长度，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出、的值，根据相反数等于本身的数是0求出k的值即可； （2）根据结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点向点运动时，点在点右侧；当点向点运动时，点在点左侧；当点到达点后，向点运动时，点在点左侧；当点到达点后，向点运动时，点在点右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵k的相反数等于本身， ∴； （2）解：∵， ∴， 当时，， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，动点在点右侧，不成立； ∴当为时能使得； （3）解：当点到达点时，需要的时间为：（秒）， ∴此时点到达，与点的距离为， ∴4秒后，点P的位置为， 当点向点运动时，点在点右侧： ， 解得：； 当点向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点右侧： ， 解得：， 综上所述，当的值为或或或时，4秒后，、两点相距2个单位长度． 16．（黑龙江肇源县第二中学2025-2026学年度下学期期末考试初一年级）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 17．（江苏省无锡市天一实验学校2025-2026学年6月七年级期末数学学科检测卷）如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足． (1)________，________； (2)点在数轴上对应的数为，且是方程的解，点是的中点，在数轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点对应的数；若不存在，说明理由； (3)在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)；； (2)或； (3)甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或秒 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，继而可得出线段的长； （2）先求出x的值，再由，分两种情况列方程可得出点P对应的数； （3）根据题意分为：甲、乙两球均向左运动或甲继续向左运动，乙向右运动，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： 解得， ∵点是的中点，且点为，点C为2， ∴在数轴上对应的数为，如下图， 设点对应的数为， ∵， ∴点只能在点的左边或点的右边， ①当点在点的左边时， 解得； ②当点在点的右边时， 解得， 综上所述，点对应的数是或； （3）解：当甲、乙两球均向左运动时，此时， ∴，， ∴ 解得； 当甲继续向左运动，乙向右运动时，此时， ∴，， ∴ 解得． 答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为秒或秒． 18．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段的长度、代数式表示动点位置以及分类讨论思想，关键是根据运动速度和时间表示出各点表示的数，再结合距离公式推导数量关系． （1）数轴上两点距离为右边的数减去左边的数，点表示，点表示6，直接计算； （2）先表示运动秒后点、的表示的数：点向左运动，表示的数为；点向右运动，表示的数为．两点距离为右边表示的数减左边表示的数，即； （3）先表示运动秒后点、、的表示的数：A为，为，为．分别计算、、的距离表达式：，，，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故； （3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ∴，，． 当时，，则； 当时，，则； 综上，当时，；当时，． 19．（吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年下学期七年级学情自测数学试题）如图所示，在数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设点A，B，C所对应的数的和是m．三个动点P，Q，M分别从点A，B，C同时向数轴正方向运动，点P与点Q的运动速度相同，都是每秒2个单位长度，点M的运动速度是每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)若以C为原点，则m的值是______； (2)若点C到原点的距离为4，6秒后点P表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，； (4)在三个动点P，Q，M的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)或6 (3)5或9 (4)4或或13 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）分点C在原点左侧和点C在原点右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数，再用点A表示的数加上点P运动的距离即可得到答案； （3）设出点A表示的数，则可得到点B和点C表示的数，进而求出点Q和点M表示的数，根据建立方程求解即可； （4）设出点A表示的数，则可得到点B和点C表示的数，进而求出点P、点Q和点M表示的数，根据题意可得P总在点Q的左侧，则可分为三种情况：当点Q到点M的距离和点Q到点P的距离相等时，则点Q为的中点，当点M到点P的距离和点M到点Q的距离相等时，则点M为的中点，当点P到点Q的距离和点P到点M的距离相等时，则点P为的中点，根据中点公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C到点B的距离为7，且C为原点， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴； （2）解：当点C在原点左侧时， ∵点C到原点的距离为4， ∴点C表示的数为， ∵点C到点B的距离为7， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴6秒后点P表示的数为； 当点C在原点右侧时， ∵点C到原点的距离为4， ∴点C表示的数为， ∵点C到点B的距离为7， ∴点B表示的数为， ∵点A到点B的距离为3， ∴点A表示的数为， ∴6秒后点P表示的数为； 综上所述，6秒后点P表示的数为或6； （3）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴运动t秒后点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得或； （4）解：设点A表示的数为y，则点B表示的数为，点C表示的数为， ∴运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 由题意得，点P总在点Q的左侧， 当点Q到点M的距离和点Q到点P的距离相等时，则点Q为的中点， ∴， 解得； 当点M到点P的距离和点M到点Q的距离相等时，则点M为的中点， ∴， 解得； 当点P到点Q的距离和点P到点M的距离相等时，则点P为的中点， ∴， 解得； 综上所述，t的值为4或或13． 20．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)19 (2)或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，进行求解即可； （2）分5种情况，进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为（秒）； （2）解：设运动时间为t秒， ①当，即P在上，Q在上，由P、Q两点到原点O的距离相同得，方程无解，不符合题意； ②当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得，此时P已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得或， ∴P表示的数是或； ④当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得（不合题意，舍去）， ⑤当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，P、Q两点到原点O的距离相同时，动点P在数轴上所对应的数是或． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴中的九类动点模型 动态动点问题一直都是初中数学的最难点之一，也是初一期末压轴必考题型，而数轴动点模型是初中学生第一次接触动态变化类问题，该类模型主要依据数轴平移规律、行程关系与绝对值距离公式，考查数形结合、动态分析与分类讨论的数学思想。需要熟练掌握动点标准化列式规律，解题时能做到举一反三、快速破题。本专题就数轴中的九类动点模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家全面掌握。 命题趋势：弱化静态数值计算，强化动态过程分析，多以“双动点运动、相遇追及、动态定值、分段往返动点”压轴大题形式出题。 推导逻辑：动静结合，建模列式，分段讨论，拒绝机械刷题。 核心素养目标： 1.掌握动点位置的代数表示方法，建立“时间-位置-距离”的对应关系； 2.能运用分类讨论思想解决多场景动点问题，培养动态几何思维； 3.规范动点大题的解题步骤，提升综合解答题的得分率。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 单动点位置表示模型 2 模型2. 双动点距离动态模型 2 模型3. 双动点相遇模型 3 模型4. 双动点追及模型 4 模型5. 动态中点模型 5 模型6. 动态定值不变模型 6 模型7. 动态位置分类讨论模型 7 模型8. 动态距离最值模型 8 模型9. 动态往返分段模型 9 【易错点总结】 11 【模型运用】 12 依托数轴定义、有理数平移规律、线段距离公式，结合行程问题（速度、时间、路程）演变而来，是初中动态几何、分类讨论思想的奠基模型。 知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤 1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2)写点——写出所有点表示的数:一般用含有t的代数式表示,向右运动用“+”表示,向左运动用“-”表示； 3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值； 4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。 注意:要注意动点是否会来回往返运动。 模型1. 单动点位置表示模型 · 模型识别标志：单个点从起点出发，沿数轴匀速运动，求某时刻的位置。 · 结构分析：包含三个要素——起点坐标、运动方向、运动速度，时间为自变量。 · 详细推导：数轴向右为正方向，向右运动时，位置随时间变大，因此用加法：位置=起点+速度×时间； 向左运动时，位置随时间变小，因此用减法：位置=起点-速度×时间； 本质是小学行程问题“路程=速度×时间”在数轴上的坐标化表达。 · 核心公式：起点，速度，时间；向右，向左。 · 适用场景：所有动点问题的基础，是列式的第一步。 · 变式点拨：速度带方向（正向右负向左）时，可统一写为。 模型2. 双动点距离动态模型 · 模型识别标志：两个动点同时运动，求任意时刻两点之间的距离。 · 结构分析：两个独立运动的点，距离为两点坐标差的绝对值，与左右顺序无关。 · 详细推导：设时刻A点位置为，B点位置为； 若A在右、B在左，距离为；若B在右、A在左，距离为； 为了避免分类讨论，统一用绝对值表示：。 · 核心公式：任意时刻两点距离，绝对值杜绝漏解。 · 适用场景：所有双动点问题的距离列式。 · 变式点拨：可拓展为多点之间的距离，均用坐标差的绝对值表示。 【典例1】（吉林长春高新区2025-2026学年度上学期期末）如图，点A，B在数轴上表示的数分别是，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点B运动，到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点A运动，到点A停止运动；设点P运动的时间为t（秒），P、Q两点的距离为个单位长度． (1)线段的长度为_____________； (2)点P表示的数为_____________；点Q表示的数为_____________（用含的代数式表示）； (3)当时， _____________； (4)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段的中点时，求d的值； (5)当时，直接写出t的值． 【典例2】（山东威海2025-2026学年期中）如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． (1)若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度． (2)点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ (3)若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 模型3. 双动点相遇模型 · 模型识别标志：两点相向而行（面对面运动），求相遇时间。 · 结构分析：两点初始有一段距离，运动过程中距离不断缩小，直到距离为0时相遇。 · 详细推导：初始距离=右边点坐标-左边点坐标； 相向运动时，每秒钟缩短的距离=两个点的速度之和（速度和）； 相遇时总缩短距离=初始距离，因此：速度和×相遇时间=初始距离，即。 · 核心条件：相向运动，路程和=初始两点距离。 · 变式点拨：相遇后继续运动，距离会再次拉开，公式依然适用。 模型4. 双动点追及模型 · 模型识别标志：两点同向运动，快的在后、慢的在前，求追上的时间。 · 结构分析：初始有距离差，同向运动时距离差不断缩小，直到距离为0时追上。 · 详细推导：初始距离差=前面点坐标-后面点坐标； 同向运动时，每秒钟缩小的距离=快速度-慢速度（速度差）； 追上时总缩小距离=初始距离差，因此：速度差×追及时间=初始距离差，即。 · 核心条件：同向运动，快追慢，路程差=初始两点距离。 · 变式点拨：若快的在前，则距离越来越大，永远追不上。 【典例1】（山东菏泽市2025-2026学年第一学期期末质量检测七年级）阅读材料： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示，如图，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为． 解决问题： 已知数轴上有A、B两点，点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为x，且x是方程的根． (1)求数轴上点B表示的数； (2)如图，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ 【典例2】（山东威海2025-2026学年期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，点C是的中点．已知，，请回答下列问题： (1)填空：________； (2)现有两动点P，Q在数轴上同时开始运动，其中点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左匀速运动．P、Q两点同时出发，设秒后点P，Q所表示的数分别为m，n． ①当时，________，_______，此时P，Q两点之间的距离是_______； ②求几秒后，P，Q之间相距4个单位长度． 【典例3】（吉林省长春市2025-2026学年下学期七年级月考）如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为，A在B的右边，点A表示的数为11，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，______，当时，______； (2)点P和点Q相遇时，______； (3)点P与点Q在点C处相遇后，点P再运动多长时间到达的中点； (4)当点P到点O的距离等于点P到点Q距离的时，直接写出此时的t值为______ 模型5. 动态中点模型 · 模型识别标志：两个动点运动，求它们中点的位置、运动速度或定值。 · 结构分析：中点坐标是两点坐标的平均数，随两点运动而变化。 · 详细推导：设时刻A点位置，B点位置；根据数轴中点公式，中点坐标； 将两点的运动表达式代入，化简后可得到中点的运动规律，判断是匀速运动还是定值。 · 核心公式：，可探究中点定值、最值。 · 适用场景：动态定值探究、中点运动规律题。 · 变式点拨：若两点速度大小相等、方向相反，中点为定点。 【典例1】（江苏2025-2026学年上学期七年级期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【典例2】（黑龙江省哈尔滨市2025-2026学年下学期）如图，点和点在数轴上对应的数分别为和，且． (1)线段的长为 ． (2)点C在数轴上所对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请求出点D在数轴上所对应的数：若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，线段和分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动时间为秒，点为线段的中点，点为线段的中点，若，求t的值． 模型6. 动态定值不变模型 · 模型识别标志：双动点运动过程中，某条线段长度、某个和差式子的值不随时间变化。 · 结构分析：代入时间的表达式后，含的项相互抵消，结果为常数。 · 详细推导方法：第一步：用表示出所有相关点的坐标；第二步：用坐标表示出要求的线段或式子；第三步：化简代数式，若的系数为0，则为定值，常数项就是定值。 · 核心特征：运动过程中线段长度、中点差值恒为定值，与时间无关；本质是变量抵消，结果为常数。 · 适用场景：压轴大题第二问，探究定值问题。 · 变式点拨：常见的定值有线段和、线段差、线段比等。 【典例1】（黑龙江大庆市2025—2026学年下学期）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为 (1)【知识运用】点、表示的数分别为、，若，则、两点之间的距离为_____；线段的中点表示的数为_____ (2)【拓展迁移】：在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设运动时间为，点是线段的中点． ①点表示的数是_____（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，存在常数，使为定值，请直接写出常数的值和该定值． 【典例2】（江苏南通市海门区海南中学2025-2026学年上学期七年级数学第二次单元练习试题）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)已知是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，两点的距离是点到原点的距离的倍，即．则点表示的数是____，若点为数轴上的一动点，当时，点表示的数为_____． (2)动点分别从点和同时出发向左匀速运动，点的速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度．设运动时间为． ①当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值； ②若点为数轴上两点之间的动点，且点始终满足，点在运动到点的过程中，的值是否发生变化？若不变、求其值；若变化，说明理由． 模型7. 动态位置分类讨论模型 · 模型识别标志：题目出现“距离等于某数”“两点相距某长度”等条件，未说明左右位置。 · 结构分析：距离为绝对值方程，去绝对值后对应两种位置情况。 · 详细分类逻辑：①动点在定点左侧：此时定点-动点=距离；②动点与定点重合：距离为0；③动点在定点右侧：此时动点-定点=距离。列方程时统一用绝对值，解出两个解后分别验证是否符合运动范围。 · 核心分类：动点在定点左侧、右侧、重合三类情况。 · 适用场景：距离类动点问题，必考分类讨论。 · 变式点拨：分类后必须检验解是否在运动范围内，超出则舍去。 【典例1】（2025-2026学年七年级上学期1月期末）数轴上两点A，B对应的数分别是a，b，已知a，b满足．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1) ， ，并在数轴上标出A，B两点； (2)【解决问题】问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ 【典例2】数轴上有A、B、C 三个点，分别表示有理数，动点P从A出发， 以每秒1个单位的速度向终点移动，移动时间为秒． (1)用含的代数式表示对应的数字； (2)当运动到时，从出发以每秒3个单位的速度向运动，到达后，立即以同样的速度返回，运动到终点时停止．在开始运动后： ①求Q的移动时间和Q到C的距离（用含的代数式表示）； ②P、Q 两点之间的距离能否为3个单位？ 如果能，请求出此时的值； 如果不能，请说明理由． 模型8. 动态距离最值模型 · 模型识别标志：求运动过程中两点距离的最大值、最小值。 · 结构分析：距离是关于时间的一次函数，在运动区间的端点处取到最值。 · 详细推导：距离表达式为一次函数，要么持续增大，要么持续减小，要么先减小后增大； 七年级阶段均为匀速直线运动，因此最值一定出现在运动的起始点、终止点或相遇点处； 分别计算这几个关键点的距离，比较大小即可得到最值。 · 核心考法：端点处取最值，结合运动范围判断。 · 适用场景：填空压轴、大题最值探究。 · 变式点拨：往返运动中，每个分段分别求最值再比较。 【典例1】（福建省漳州市第一中学2025-2026学年七年级上学期期末学情调研）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【典例2】【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 模型9. 动态往返分段模型 · 模型识别标志：动点运动到端点后折返，方向发生改变。 · 结构分析：运动分为多个阶段，每个阶段方向不同、位置表达式不同，必须分段讨论。 · 详细解题步骤：第一步：求第一次到达端点的时间，确定第一个时间段；第二步：写出该时间段内的位置表达式；第三步：求折返后下一次到达端点的时间，确定第二个时间段；第四步：写出折返后的位置表达式（注意速度方向变号）；第五步：每个时间段内分别解方程，检验解是否在对应区间内。 · 核心方法：按折返节点划分时间段，逐段列式。 · 适用场景：期末压轴大题最后一问，难度最高。 · 变式点拨：多次往返依次分段，每段独立分析。 【典例1】（2025-2026学年度第一学期期末质量监测）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【典例2】（2025-2026学年七年级上学期数学期末试题）如图，在直线上依次有、、三点，其中，且、满足，点从出发，以每秒2个单位的速度沿直线向右运动． (1)___________，___________； (2)若点从出发，以每秒个单位的速度沿直线向左运动，当同时出发，经过3秒，若，求； (3)若点从出发，以每秒1个单位的速度沿直线向左运动，点从点出发，以每秒3个单位的速度沿直线向右运动到点，立即以原速度返回点，然后停止运动．假设点的运动时间是秒，且、、三点同时运动，如果有成立，请直接写出的值___________． 【典例3】（福建福州市仓山区福建师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末测试卷-七年级数学）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 模型常见易错点 1. 易错点：动点位置“右加左减”记反 错因：未理解数轴正方向含义，机械记忆。 避坑：用“向右变大，向左变小”的常识验证。 2. 易错点：求距离不带绝对值，漏解 错因：默认两点左右顺序，忽略动点位置互换的情况。 避坑：所有距离必加绝对值，再分正负去绝对值。 3. 易错点：相遇、追及公式混淆 错因：未理解“相向距离缩短，同向距离差缩小”的本质。 避坑：画运动示意图，判断距离是“和”还是“差”。 4. 易错点：往返动点不分段，直接列式 错因：忽略运动方向变化，默认全程匀速同向。 避坑：先求折返时间，划分时间段再逐段分析。 5. 易错点：不检验取值范围，保留不合理解 错因：解方程后不验证是否在对应时间段内。 避坑：解完必验，超出范围的解舍去。 模型小结 1. 标准四步解题法：表位置→列距离→列方程→验范围； 2. 核心口诀：相遇看和，追及看差，距离看绝对值，往返看分段； 3. 动态定值优先化简消参，动态最值优先看端点； 4. 所有动点大题，必须检验取值范围。 1．（2025-2026学年七年级期末）如图，点P和点Q在数轴上表示的数分别是和7．点P和点Q同时相向匀速运动，运动不停止，速度分别为3个单位/秒和2个单位/秒． （1）运行前，_____； （2）设运动时间为，若时，则时间为_____． 2．（河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年下学期）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 3．（北京十一晋元中学2025-2026学年七年级上学期期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 4．（2025-2026学年七年级上学期1月期末）已知数轴上三点表示的数分别为． (1)若动点从出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动，另一动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发，运动秒后，此时点在数轴上表示的数为_____，点在数轴上表示的数为_____．（用含的代数式表示） (2)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点同时出发，运动时间为秒，试探究：当为多少时，点两点间的距离为5个单位？ 5．如图，A点、B点是数轴上的两个定点，其中点A 表示的数是，点B 表示的数是1，若在数轴上存在一点 P，使得点P到点A的距离等于点 P到点B的距离的m倍(m是正整数)，则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P 表示的数为0，因为P到A的距离等于P到B距离的5倍，则称点 P 为点 A、B的“5级幸运点” (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点 P在数轴上表示的数为-1，则 ； (2)若点 P 是数轴上点A、B的“3级幸运点”，求点 P 表示的数． (3)点P在数轴上表示的数为，若点A 在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，经过多少秒后点P为点A、B的“6级幸运点”？ 6．（2025-2026学年七年级上学期1月期末）阅读材料： 在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B的右边，则线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 问题解决： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示 (1)点A表示的数为____，点B表示的数为____，点C表示的数为____； (2)若将点A向右移动，则移动后的点A表示的数为____（用含x的代数式表示）； (3)若点B以每秒的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 7．（山东菏泽市巨野县2025-2026学年七年级上学期2月期末）如图，数轴上有两点，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为． (1)当时，求线段和线段的长； (2)当时，________，________（用含有的式子表示）； (3)当时，求的值． 8．（广东揭阳市揭东区2025-2026学年七年级上学期期中考试）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 9．（2025-2026学年七年级上学期质量监测）已知数轴上点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________；当点运动到的中点时，它所表示的数是___________；运动秒时，点表示的数是___________（用含的代数式表示）． (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ ③如果中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称为一组“幸福点”．直接写出当点运动多少秒时，点、点、点是一组“幸福点”？ 10．（江苏南通市通州区2025－2026学年七年级上学期阶段学情检测）【问题情境】 如图1所示，点，在数轴上分别表示数，，且．小聪将一根木棒放置在数轴上，并将其沿数轴从左向右匀速移动． 【问题解决】 (1)和的值分别为___________，___________； (2)若木棒完全通过点所需时间是完全通过线段所需时间的，求木棒长度； (3)在（2）的条件下，小聪发现木棒移动至线段上某处时，恰好．受此启发，他突然理解了老师课间对他说的一段话：“当我是你现在这么大时，你还要18年才出生；当你到我现在这么大时，我已81岁了．”他画出了如图2的示意图．请你写出图2数轴上点和的实际意义，并求出小聪和老师现在的年龄． 11．（2025-2026学年第一学期期末教学质量监测七年级），两点在数轴上的位置如图所示，点在点的右侧，其中点对应的有理数为，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度与点同向运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，的长是____，点表示的有理数为___； (2)点追上点时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当、两点中任意一点成为图中、、、四点组成的任意一段线段的中点时，直接写出所有的值． 12．已知：如图，点A在数轴上从对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点B在数轴上从5对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点B的运动时间为t秒． (1)若点A和点B同时出发， ①3秒后点A所对应的数是______，点B所对应的数是______； ②点A和点B重合时______，重合位置所对应的数是______； (2)若点A比点B早4秒钟出发，当点A和点B在相遇前刚好相距2个单位长度时，求t的值． 13．（陕西省汉中市勉县2025-2026学年上学期七年级数学期中考试试卷）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 14．（四川省成都市泡桐树中学2025-2026学年七年级上学期期中）【知识准备】若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，O为原点，点C对应的数为c．点D对应的数为d，且有，则______，______；的中点N所对应的数为______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点G所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y．M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为______． ②在（2）的条件下，若O为原点，E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出此时的定值．若不存在，说明理由． 15．（湖南衡阳市实验中学2025-2026学年下学期七年级期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1次．将这条直线看成数轴，起点记为，折返点记为，主席台记为，两位同学分别记为点，，若动点，从同时出发向点运动，到达点后折返到点．已知：数轴上点、对应的数为、，且满足，点对应的数为的相反数等于本身． (1)直接写出、、的值； (2)设点在数轴上对应的数为，那么当为多少时能使得？ (3)已知点的速度为3个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，当动点到达点后，点开始改变速度，以个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，，两点相距2个单位长度，求的值． 16．（黑龙江肇源县第二中学2025-2026学年度下学期期末考试初一年级）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 17．（江苏省无锡市天一实验学校2025-2026学年6月七年级期末数学学科检测卷）如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足． (1)________，________； (2)点在数轴上对应的数为，且是方程的解，点是的中点，在数轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点对应的数；若不存在，说明理由； (3)在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位长度秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位长度秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 18．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 19．（吉林长春市二道区东北师范大学附属实验学校（经开）2025-2026学年下学期七年级学情自测数学试题）如图所示，在数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，设点A，B，C所对应的数的和是m．三个动点P，Q，M分别从点A，B，C同时向数轴正方向运动，点P与点Q的运动速度相同，都是每秒2个单位长度，点M的运动速度是每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒，请回答下列问题： (1)若以C为原点，则m的值是______； (2)若点C到原点的距离为4，6秒后点P表示的数为______； (3)请求出当t为何值时，； (4)在三个动点P，Q，M的运动过程中，当这三个点其中一个点与另外两个点的距离相等时，不包括两点重合时刻，请直接写出此时t的值． 20．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $