专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·九年级·安徽阜阳·模拟预测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 2．（2023·九年级·河南·二模）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若＋的值最小，则x的取值范围是 ． 【答案】－2≤x≤3 【分析】由绝对值的几何意义可知，表示数x的点在表示3和−2的点之间的线段上时，|x−3|＋|x＋2|的值最小，都等于5． 【详解】解：＋的几何意义是数轴上表示数x的点到3和－2的距离之和， 设数轴上表示数x、3、−2的点分别为A、B、C，易知BC＝5， ∴当点A不在线段BC上时，AB＋AC＞BC， 当点A在线段BC上时，AB＋AC＝BC， ∴x的取值范围是−2≤x≤3． 故答案为−2≤x≤3． 【点睛】本题考查了数轴以及绝对值的几何意义，数形结合是解答此类问题的常用方法． 例2（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 例3（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 【答案】(1)3；8；11 (2) (3)3 【分析】（1）首先要明确两点间的距离，即为两数差的绝对值得出即可； （2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|m-n|）； （3）当-2≤x≤1时，有最小值，依此得出即可． 【详解】（1）解： |-4-（-1）|=3； |-6-2|=8； |-8-3|=11． 故答案为：3；8；11； （2）解：若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S=|m-n|． 故答案为：S=|m-n|； （3）解：|1-x|表示点x到点1的距离，|x+2|表示点x到点-2的距离， 当点x在点1和点-2之间时，即-2≤x≤1时，|1-x|+|x+2|的值最小， 其最小值为：3． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的两点的距离公式． 例4（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)对照数轴填写下表： a 6 －6 －6 －6 2 －1.5 b 4 0 4 －4 －10 －1.5 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系? (3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小? 最小值是多少？ 【答案】（1）2，6，10，2，12，0；（2）；（3）0；（4）点C在-1和2之间时，取得最小值为3 【分析】（1）根据数轴上的两点，求两点距离即可； （2）数轴上两点间的距离即为差的绝对值； （3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线，即可得解； （4）表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离，该题及转化为数轴上一点到-1和2的距离和最小. 【详解】（1）由题意，得 A、B两点间的距离依次为：2，6，10，2，12，0； （2）由题意，得 （3）到两定点距离之和等于两定点之间的距离的点的集合是两定点之间的连线 故p点一定在5和-5之间 这样的整数点有1,2,3,4,5,-5,-4,-3,-2,-1,0 故它们的和为0； （4）由题意，得 表示x到-1的距离，同理表示x到2的距离， ∴点C在-1和2之间时，取得最小值，最小值为3. 【点睛】此题主要考查数轴的性质以及绝对值的应用，熟练掌握，即可解题. 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 【答案】5 【详解】解：当时，； 当时，，当时，有最大值5； 当时，． 综上， 的最大值为5．故答案为5． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________________；表示和2两点之间的距离是________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的点，使得，点是________________． (4)当________________时，的值最小，最小值是________________． 【答案】(1)3，5，2或 (2)6 (3)或 (4)1，7 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）分析出的意义，结合数轴计算即可； （3）分析出的意义，利用数轴计算即可； （4）使中间一项为0，转化成两个绝对值相加求最小值问题即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 如果表示数和的两点之间的距离是3， 则， 则或； （2）表示数的点到与2的距离之和， ∵表示数的点位于与2之间， ∴的值为； （3）表示数轴上表示数x的点与和的距离之和为12， ∵和的距离为， 则符合要求的x为或；    （4）∵当时，的最小值为7， ∴只需要的值最小即可， 此时，， ∴当时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，有理数的加法和减法，理解数轴上两点间的距离的意义是解题的关键． 例2（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 例3（24-25七年级上·湖北十堰·期中）阅读材料，解答下列问题： 例：当，则，故此时a的绝对值是它本身；当时，，故此时a的绝对值是0；当时，如，则，故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题： (1)___________；___________； (2)如果，求x的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值； (4)当___________时，的值最小，最小值是___________． 【答案】(1)1， (2)或； (3)8 (4)1，9 【分析】（1）根据绝对值的概念即可解决； （2）根据绝对值可得：，即可解答； （3）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解； （4）根据表示数轴上表示a到，1，4之间的距离和最小，即可解答． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴或； （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与5之间， ∴； （4）解：∵表示数轴上表示a到，1，4之间的距离和最小， ∴当时，有最小值为， 故答案为：1，9． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活应用． 例4（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 【答案】(1)3，3，4 (2)，1或 (3)1 (4)625 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接得出即可； （2）根据两点间的距离公式直接得出即可； （3）根据两点间线段最短，即可得到答案； （4）x在25～26之间和最小． 【详解】（1）解：根据两点间的距离公式得： ； 故答案为：； （2）根据两点间的距离公式得：=， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 故答案为：，或1； （3）根据两点之间线段最短可知，x在1～2之间， 即； 故答案为：1； （4）由（3）可知x在25～26之间， ， 故答案为：625． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是数轴上两点间的距离，两点之间线段最短这两个知识点的运用． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 例2（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 例3（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)5或4 【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可； （2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可； （3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可： （4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． （2）解：分三种情况讨论： ①时，化简为：，此方程无解； ②时，化简为：，解得； ③时，化简为：，此方程无解． 故答案为：． （3）解：分三种情况讨论： ①时，， 化简得：，解得； ②时，， 化简得：，此方程无解； ③时，， 化简得：，解得． 故答案为：或． （4）分三种情况讨论： ①时，，化简，解得； ②时，，化简，此方程无解； ③时，，化简，解得． ∴m为3或， ∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴或． 故答案为：5或4． 【点睛】本题主要考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论． 例4（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键熟练掌握绝对值的意义． （1）一共有123个数，求出，代入求值即可； （2）将原式变形后，得出，代入求值即可． 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 模型5.型或型最值模型 例1（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 【答案】2 【分析】根据绝对值得性质可知，故当时，的值最小，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，的值最小， ∴当时，的值最小． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，理解并掌握绝对值非负数的性质是解题关键． 例2（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）当a= 时，|a﹣3|的值最小． 【答案】3． 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】依题意有a﹣3=0， 解得a=3． 故答案为3． 【点睛】考查了非负数的性质：绝对值，关键是熟悉任意一个数的绝对值都是非负数． 例3（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）当x= 时，的值最小. 【答案】0 【分析】根据绝对值的性质可得|x|≥0，即当x=0时，|x|的值最小，由此即可解答. 【详解】∵|x|≥0， ∴当x=0时，|x|的值最小为0， ∴当x=0时，的值最小. 故答案为0. 【点睛】本题考查了绝对值非负性的性质，熟知|x|≥0是解决问题的关键. 例4（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，的值最小， 此时，, 故答案是：． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）学习过绝对值之后，我们知道:|5－2|表示 5 与 2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|表示 5 与－2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与－2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 试探究解决以下问题： ⑴|x+6|可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； ⑵找出所有符合条件的整数 x，使|x+1|+|x－2|=3 成立； ⑶如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有 A、B、C 三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是 567km、689km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集散中心 P，请直接指出该物流集散中心 P 应该建设在何处，才能使得 P 到三个城市的距离之和最小?这个最小距离是多少？ 【答案】⑴x 与－6；⑵－1、0、1、2；⑶应该建在 B 处，相距 322 km. 【分析】（1）|x+6|表示 x 与－6 的差的绝对值,即可求解； （2）|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，而-1到2的距离等于3， 所以x所对应的点在-1和2之间，含-1和2，即可求解； （3）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322，所以当PB=0，PA+PB+PC最小． 【详解】解：⑴|x+6|可以理解为x与-6两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）∵|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，而-1到2的距离等于3，|x+1|+|x-2|=3， ∴x所对应的点在-1和2之间，含-1和2 ∴这样的整数有-1、0、1、2． 故答案为-1、0、1、2． （3）如图，以高速公路起点为数轴原点建立数轴 则A、B、C 三个城市在数轴上表示的数分别是567、689、889， 设点P表示的数为x，则 PA+PB+PC=|x-567|+|x-689|+|x-889|， 显然，点P应在A、C之间，此时PA+PC=|889-567|=322， 所以当PB最小时，PA+PB+PC最小， 即当点P在B点时，PB=0，PA+PB+PC最小，等于322 km. 【点睛】考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便． 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期中）知识准备:数轴上两点对应的数分别为．则两点之间的距离表示为: 问题探究:数轴上两点对应的数分别为且满足 直接写出:___、 在数轴上有一点对应的数为，请问:当点到两点的距离和为时,满足什么条件?请利用数轴进行说明(此时最小)． 拓展:当数轴上三点对应的数分别为在数轴上有一点对应的数为,当满足什么条件时,的值最小? 应用:国庆期间汉口江滩武汉关至长江二桥之间是观看“70周年国庆灯光秀”的理想区域,武汉关与长江二桥相距约公里。在国庆期间,为了服务广大市民,汉口江滩管理处在汉口江滩武汉关至长江二桥之间每隔公里安排了便民服务小组(武汉关与长江二桥不安排) ,还需要设置一个便民服务物资站,请问便民服务物资站应该设置在什么地方,使它到各个便民服务小组的距离和最小，最小值是多少公里?便民服务物资站位置代表的数记作利用下图直接给出结果:满足的条件: 最小值为 公里． 【答案】问题探究：（1），； （2）；拓展：当时，最小时为；应用：；4 【分析】问题探究： （1）根据非负数的性质可得和的值； （2）根据绝对值的几何意义，可得当点P在AB之间（包括A，B两点），P到A点与P到B点的距离之和是6，即PA+PB最小； 拓展：点P在点A和点B（含点A和点B）之间，依此即可求解． 应用：同理根据拓展的问题，分情况即可求解． 【详解】问题探究： （1）∵． ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）如图1， 点P到A、B两点的距离和为6时，点P在AB之间（包括A，B两点），即，此时PA+PB最小； 拓展： 点P表示的数为2，该最小值为12， 设P到A、B、C的距离和为d， 则， ①当时，， 时，； ②当时，， 时，； ③当时，＞12， ④当x＞8时＞18； 综上，当点P表示的数为2时，P到A、B、C的距离和最小，最小值为12． 应用： 如图3，设便民服务物资站为点P，各便民服务小组分别为A，B，C，D，      设P到A、B、C、D的距离和为d， 则， ①当时，， 时，； ②当时，＞4， ③当时，， ④当时，＞4， ⑤当时，， 当时，； 综上，满足的条件：，最小值为4公里． 故答案为：，4． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点之间的距离计算方法及数轴上一个点到两点，三个点，四个点距离和最小值计算的应用是解决问题的关键． 例4（24-25七年级上·全国·课后作业）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：        （1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________； （2）求使成立的所有整数； （3）求出使成立的所有整数； （4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离；（2）所有整数有2，；（3）所有整数有；（4）由（3）可知超市的位置应在B，C两个村庄之间． 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使|x＋5|＝7成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）在数轴上找出符合条件的点即可； （4）由题意可知，AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近，所以超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1），可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， ； （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，， ； （3）使成立，即数轴上x表示的点到和2.6表示的点的距离和为7.9， ∵， ∴和2.6之间的所有整数均符合要求， 故所有整数有； （4）由题意可知，且AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近， ∴超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和3的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离是　　；数轴上表示a和5的两点之间的距离是　　； (3)若数轴上三个有理数a、b、c满足，，则的值为　； (4)当a＝　　时，的值最小，最小值是　　 【答案】(1)5；1 (2)或；或 (3)6或8 (4)1；7 【分析】（1）根据A、B两点之间的距离表示为，即可求解； （2）根据A、B两点之间的距离表示为，即可求解； （3）根据A、B、C三点位置，分类讨论，即可求解； （4）根据a、、1、4，对a的范围进行分类讨论，再化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是；数轴上表示2和3的两点之间的距离是． 故答案为：5；1． （2）解：数轴上表示a和的两点之间的距离是或；数轴上表示a和5的两点之间的距离是或． 故答案为：或；或． （3）解：设， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为6或8． 故答案为：6或8． （4）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由上可知，时，即时，的值最小，最小值是7． 故答案为：1；7． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的性质、分类讨论的数学思想，解题的关键是理解两数差的绝对值的几何意义是数轴上这两数之间的距离． 例2（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和−1的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)求数轴上表示2和−3的两点之间的距离； (2)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，求的值； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是________； (4)求的最小值是________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠______居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为________． 【答案】(1)5 (2)8 (3) (4)2 (5) (6)−4 【分析】(1)根据题意即可解答； (2)根据a的取值范围，去绝对值符号，即可求得； (3)根据绝对值的意义即可求得； (4)根据绝对值的意义即可求得； (5)根据两点间的距离即可求得； (6)由题意可得：，，据此即可求得a、b的范围，即可求得． 【详解】（1）解：数轴上表示2和−3的两点之间的距离为： ； （2）解：数轴上表示数a的点位于−3与5之间， ， （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值， 最小值为：， 故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小， 故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值2， 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值9， 此时， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，熟练掌握和运用绝对值的几何意义是运算解决本题的关键． 例3（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 【答案】(1)，，的值为或 (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）根据已知可得，掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （3）分情况去掉绝对值，可得当时，，找到和之间的整数点，再相加即可求解； （4）分情况分别去绝对值计算，得到时三个绝对值的和最小，然后计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 表示和两点之间的距离为， 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：， 或， 故答案为：， （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， ，， ； （3）当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数有：，，，， ； （4）当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 例4（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 【答案】(1)5 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （3）根据题意列出式子，求其最小值，即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时， 即当可以取整数，，，0，1，共5个； 故答案为：5； （2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和， 则当时，的值最小，最小值为； 故答案为：7； （3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为：， 表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 例2（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 【答案】（1），； （2）或； （3），，，，； （4）垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，理清题意是解题的关键． （1）结合、两点之间的距离分析即可； （2）根据题意得到在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为，结合数轴求解，即可解题； （3）根据最小在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和最小，结合数轴求解，即可解题； （4）将实际问题抽象为数轴上的动点问题，根据要垃圾中转站实现总运输成本的最小化，即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小，推出垃圾中转站的位置，再结合“生活垃圾的清理运输费用为每公里50元”求解，即可解题． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：，． （2）， 即，在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离为， 所以或， 故答案为：或； （3）在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离与表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离之和， 当的值最小且为整数时， 则的取值可以为，，，，， 故答案为：，，，，． （4）根据居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧． 分别记市民广场为原点，向右为正方向，则居民区、、为，，， 要垃圾中转站实现总运输成本的最小化， 即垃圾中转站到居民区、、的距离和最小， 则垃圾中转站应建在居民区处， 此时距离和， 所以最低运输成本是（元）， 答：垃圾中转站应选址于市民广场右侧，以实现总运输成本的最小化，最低运输成本是元． 例4（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0；（2），，，0，1，2；（3），8；（4）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义； 表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在在与2与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当是，距离之和最小，化简即可； （4）A、B、C在数轴上分别表示1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】解：（1）由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于3，由数轴可知为：或0， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或0； （2）表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数2的点的距离之和， 所以x应该在表示有理数与2的点之两点间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1，2； 故答案为，，，0，1，2； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，所以x应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离为8； 故答案为：，8； （4）解：设市民广场O原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x， A、B、C在数轴上分别表示，，1，3， 运输距离为：，其几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点、与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离的和， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， 所以x在1时最小， 最小值为， ∴此时最低成本12元，实验室P建在点B，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论思想的运用，设P、C间的路程为，分类讨论，当点P在点C的左侧和点P在点C的右侧，根据两点间的距离即可求解． 【详解】解：设P、C间的路程为，由题意，得： 如图1，当点P在点C的左侧． 车站到三个村庄的路程之和为：； 如图2，当点P在点C的右侧， 车站到三个村庄的路程之和为：． 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； 设车站到三个村庄的路程之和为y，由题意，得， ∴当时． ∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 【答案】 A 3 【分析】（1）若，，，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A； （2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个． 【详解】解：（1）当，，时，， ，，， 所以A，B，C中与M距离最小的点为A． 故答案为：点A． （2）． ①当时，．，，，此时最小； ②当时，．，，，此时最小； ③当时，．，，，此时最小； 所以符合条件的点C有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 【答案】（1）1， 3 ，（2）14，2，（3）9，（4）1，9 【分析】（1）根据数轴两点间的距离用右边点表示的数减去左边点表示的数即可 （2）利用A点在3点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，利用B点在-2点的左与右分类化去绝对值符号，解方程求出，比较大小，再求最大与最小值即可 （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，确定|a+4|=a+4，|a-5|=5-a化去绝对值再计算即可， （4）分类讨论化去绝对值符号，确定每个范围内的最大与最小值，最后找出最小的值即可． 【详解】（1）3-2=1，1-（-2）=1+2=3， （2）|a-3|=6，若a<3,3-a=6，a=-3，若a>3，a-3=6，a=9， |b+2|=3，若b<-2，-b-2=3，b=-5，若b>-2，b+2=3，b=1，-5<-3<1<9 |a-b|最大值=9-（-5）=9+5=14，|a-b|最小值=（-3）-（-5）=-3+5=2， （3）数轴上表示数a的点位于-4与5之间，a>-4，a+4>0，a<5，a-5<0， |a+4|+|a-5|=a+4-（a-5）=a+4-a+5=9， （4）当a<-5时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a-a-5+4-a=-3a>15， 当-5≤a<1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=1-a+a+5+4-a=10-a， 9<10-a≤15， 当1≤a<4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+4-a=a+8， 9≤a+8<12， 当a≥4时，|a-1|+|a+5|+|a-4|=a-1+a+5+a-4=3a≥12， 当a=1时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的最小值为9． 故答案为（1）1， 3，（2）14， 2，（3）9，（4）1，9． 【点睛】本题考查主要涉及的知识为数轴与绝对值，借助数轴比较大小，化简绝对值是解题关键． 5．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是_______；     ②数轴上表示－2和－6的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示－4和3的两点之间的距离是_______； 归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么a＝_______； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)3，4，7 (2)①10或－4；②1；③当时，取最小值为7 【分析】（1）①据数轴上两点距离公式求解即可；②据数轴上两点距离公式求解即可；③据数轴上两点距离公式求解即可； （2）①直接解绝对值方程即可得到答案；②根据绝对值的意义化简求解即可；③根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 3， ②数轴上表示－2和－6的两点之间的距离是 4， ③数轴上表示－4和3的两点之间的距离是 7； 故答案为：3，4，7； （2）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7， 则可记为：， ∴或， 故答案为：10或－4； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间， ∴， ∴； ③当时，取最小值， 最小 ， 理由是：∵表示数轴上数a和数，，之间的距离之和， ∴当时距离的和最小， ∴最小； ∴当时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n． （1）填写表： m 5 −5 −6 −6 −10 n 3 0 4 −4 2 A，B两点的距离 （2）若A，B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系； （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和−3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； （4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，取得值最小？ 【答案】（1）2；5；10；2；12；（2）d＝|m﹣n|；（3）作图见详解；0；（4）点C在点﹣2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为5． 【分析】（1）由题意观察数轴，得出A、B两点的距离； （2）根据题意通过观察表格，进行分析写出一般规律； （3）由题意充分运用数轴这个工具，由此表示整数点P； （4）根据题意在（2）（3）的启发下，结合数轴，进行分析即可回答题目的问题． 【详解】解：（1）见表格； m 5 ﹣5 ﹣6 ﹣6 ﹣10 n 3 0 4 ﹣4 2 A、B两点的距离 2 5 10 2 12 故答案为：2；5；10；2；12； （2）若A、B两点的距离为d，则d与m、n的数量关系为：d＝|m﹣n|； （3）符合条件的整数点P有7个，如图； 所有这些整数和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3＝0． （4）|x+2|表示点C到点﹣2的距离，|x﹣3|表示点C到点3的距离， 当点C在点﹣2和点3之间时，|x+2|+|x﹣3|的值最小， 其最小值为：5． 【点睛】本题主要考查数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离．解题的关键是借助数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）结合数轴和绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上，表示1和4的两点之间的距离是_________，表示和2的两点之间的距离是________； （2）数轴上，表示数和数的两点之间的距离可表示为____________．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_________； （3）若数轴上表示数的点位于和2之间，求的值； （4）当取何值时，的值最小？最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1），（2），或（3）（4）当时，有最小值，最小值为，理由见解析 【分析】（1）根据数轴可知，求出两个数的差的绝对值即可； （2）根据（1）的结论两点间的距离公式；根据距离公式列出方程求解即可； （3）根据的范围去掉绝对值号后，即可求解； （4）判断出当时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解． 【详解】解：（1）表示和的两点之间的距离是， 表示和的两点之间的距离是； （2）①表示数和数的两点之间的距离可表示为 ②∵数和的两点之间的距离是 ∴ ∴或； （3）∵数轴上表示数的点位于和2之间 ∴， ∴ ； （4）∵为表示和两点之间的距离，为表示和两点之间的距离，为表示和两点之间的距离，如图： ∴观察数轴可知，根据两点之间线段最短的原理，当时，有最小值，最小值为． 故答案是：（1），（2），或（3）（4）当时，有最小值，最小值为 【点睛】本题考查了绝对值、数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． 9．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）阅读下面一段文字： 在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离. 例如：当a=2，b=5时，=5-2=3；当a=2,b=-5时，==7；当a=-2，b=-5时，==3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离=(也可以表示为). 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； （2）表示数a和-2的两点间距离是6，则a= ； （3）如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求的值. （4）是否存在数a，使代数式的值最小？若存在，请求出代数式的最小值，并直接写出数a的值或取值范围，若不存在，请简要说明理由. 【答案】（1）2；（2）4或-8；（3）7；（4）2. 【分析】（1）根据数轴的特点即可求解； （2）根据题意得到=6，即可求解； （3）根据A，B两点之间的距离即可求解； （4）根据数轴上两点距离公式求出a的取值，即可求解. 【详解】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是3-1=2 故填：2； （2）根据题意得到=6， 即=6 ∴a+2=±6 解得a=4或a=-8， 故填：4或-8； （3）∵表示数a的点位于-4和3之间， ∴=a+4，=3-a. ∴= a+4+3-a=7. （4）代数式的值存在最小， 表示a到1,2,3的距离之和， 故当a=2时，=1+0+1=2. 所以，最小值是2. 【点睛】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知数轴上的点之间距离的特点. 10．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和-1的两点距离为 ；则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到的距离与到的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是 ，此时的范围是 ； ②代数式的最小值是 ，此时的值为 ． ③代数式的最小值是 ，此时的范围是 ． 【答案】（1）探索材料1（填空）：； （2）探索材料2（填空）：①点A和点B之间；②点B上；③点B和点C之间； （3）结论应用（填空）：①7，；②8，；③18，． 【分析】（1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可； （2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小； （3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可． 【详解】（1）探索材料1（填空）： ，， ， 故答案为：． （2）探索材料2（填空）： ①1)当点P在点A左边 2）当点P在点A之间 3）当点P在点B右边 ∴当点P在点A和点B之间，才能使到的距离与到的距离之和最小 ②1）当点P在点A左边 2）当点P在点A和点B之间 3）当点P在点B和点C之间 4）当点P在点C右边 ∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为 ∴当点P在点B上时，才能使到三点的距离之和最小 ③1）当点P在点A左边 2）当点P在点A和点B之间 3）当点P在点B和点C之间 4）当点P在点C和点D之间 5）当点P在点D右边 ∴当点P在点B和点C之间时，才能使到四点的距离之和最小 故答案为：①点A和点B之间；②点B上；③点B和点C之间． （3）结论应用（填空）： ①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为 ②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为 ③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：①7，；②8，；③18，． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键． 11．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知、在数轴上分别表示有理数，； （1）对照数轴填写下表： 6 -1 -2 4 4 -5 3 -4 、两点之间的距离 （2）若、两点间的距离记为，试问：和，有何数量关系？ （3）写出所有符合条件的整数点，使它到10和-10的距离之和为20，并求所有这些整数的数的和； （4）找出（3）中满足到10和-10的距离之差大于1而小于5的整数的点； （5）若点表示的数为，当点在什么位置时，取得的值最小，并求出这个最小值. 【答案】（1）2、4、5、8；（2）；（3），，，，，，，，，，0，和；（4），；（5），最小值5. 【分析】（1）根据数轴的知识，结合表格中的数即可得出答案． （2）由（1）所填写的数字，即可得出结论． （3）由数轴的知识，可得出只要在-10和10之间的整数均满足题意． （4）根据（3）的式子即可得到结果； （5）根据绝对值的几何意义，可得出-1和4之间的任何一点均满足题意． 【详解】解：（1）填表如下： 6 -1 -2 4 4 -5 3 -4 、两点之间的距离 2 4 5 8 （2）由（1）可得：d=|a-b|或d=|b-a|； （3）只要在-10和10之间的整数均满足到-10和10的距离之和为20，有：-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10， 所有满足条件的整数之和为：-10+（-9）+（-8）+（-7）+（-6）+（-5）+（-4）+（-3）+（-2）+（-1）+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=0； （4）根据数轴的意义可得，由（3）中的数满足到10和-10的距离之差大于1而小于5的整数的点有数：±2，±1. （5）因为 所以根据数轴的几何意义可得-1和4之间的任何一点均能使|x+1|+|x-4|取得的值最小．这个最小值是：4-（-1）=5 【点睛】本题主要考查数轴和数的绝对值，解答本题的关键是理解绝对值的几何意义，借助数轴解决问题． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 【答案】（1）5；A与C;（2）|x+2|；-4或0；1;（3）1019090 【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求； （2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值； （3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和． 【详解】（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离， 故答案为5，点A与C； （2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2， ∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|， 当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4， 当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4； 当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x， 当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x， 当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9， ∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值； 故答案为|x＋2|；−4或0；1 （3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018， 当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018， 当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016， … 同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2， |x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090； 故答案为1019090． 【点睛】本题考查列代数式、绝对值的意义；能够明确题意，列出相应的代数式，根据绝对值的意义，合理的去掉绝对值符号是解题的关键． 13．（24-25七年级上·浙江台州·期中）我们都知道：|6﹣2|表示6与2的差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|6+2|表示6与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为6与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|﹣2+7|＝　 　；|﹣3﹣5|＝　 　； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+1|+|x﹣2|＝3成立． （3）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值． （4）当a＝　 　时，|a﹣2|+|a+6|+|a﹣5|的值最小，最小值是　 　； （5）当a＝　 　时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣（2n+1）|的值最小，最小值是　 　（n为正整数）． 【答案】(1)5,8;(2) x＝﹣1或x＝0或x＝1或x＝2；(3)8;(4)2,11;(5) 1，2n2+3n 【分析】（1）通过计算可直接求解； （2）当−1≤x≤2时，等式成立，再由x是整数，即可求出x＝−1或x＝0或x＝1或x＝2； （3）由绝对值的意义可知：|a＋3|＋|a−5|表示a点到−3和5之间的距离和，结合a的位置可得|a＋3|＋|a−5|＝8； （4）取2，5，−6的中间值，即a＝2时，|a−2|＋|a＋6|＋|a−5|的值最小； （5）取1，−2，3，−4，5，−6，…，−2n，（2n＋1）的中间值时，|a−1|＋|a＋2|＋|a−3|＋|a＋4|＋|a−5|＋…＋|a＋2n|＋|a−（2n＋1）|的值最小，然后计算a＝1时的值即可． 【详解】（1）|﹣2+7|＝5，|﹣3﹣5|＝8， 故答案为5，8； （2）∵|x+1|+|x﹣2|表示x到－1和2之间的距离和， ∴当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝3成立， ∵x是整数， ∴x＝﹣1或x＝0或x＝1或x＝2； （3）∵|a+3|+|a﹣5|表示a点到﹣3和5之间的距离和， 又∵表示数a的点位于﹣3与5之间， ∴|a+3|+|a﹣5|＝8； （4）根据绝对值的意义可知，取2，5，﹣6的中间值，即a＝2时，|a﹣2|+|a+6|+|a﹣5|的值最小， ∴当a＝2时，|a﹣2|+|a+6|+|a﹣5|的值最小，最小值是11， 故答案为2，11； （5）取1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，…，﹣2n，（2n+1）的中间值时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣（2n+1）|的值最小， ∴a＝1时，原式＝3+2+5+4+..+（2n+1）+2n＝2+3+4+5+…+（2n+1）＝2n2+3n， 故答案为1，2n2+3n． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 14．（24-25七年级上·江西吉安·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于.如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_______. （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； （3）受（2）的启发，当数的点在图1什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （4）有理数、、在数轴上对应的位置如图2所示，试化简：. 【答案】（1）  3  ， 5  ，或1；（2）6；（3）7；（4）3a-c 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）先计算绝对值，再合并同类项即可求解； （3）受（2）的启发，可知当数a的点位于−5与2之间位置时，|a＋5|＋|a−2|的值最小，进一步得到最小值； （4）利用绝对值的意义化简，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4−1＝3；表示−3和2两点之间的距离是2−（−3）＝5； 依题意有|a−（−2）|＝3， 解得a＝−5或1． 故填：3  ， 5  ，或1； （2）∵数a的点位于−4与2之间， ∴|a＋4|＋|a−2| ＝a＋4−a＋2 ＝6； （3）当数a的点在图1的−5与2之间位置时，|a＋5|＋|a−2|的值最小，最小值是2−（−5）＝7； （4）依题意有b−a＜0，b−c＜0，a＋b＞0，a−b＞0， 则|b−a|−|b−c|＋|a＋b|＋|a−b|＝−b＋a＋b−c＋a＋b＋a−b＝3a−c． 【点睛】此题考查绝对值的意义，数轴，结合数轴求两点之间的距离，形象直观，使数与形有机结合，渗透数形结合的思想． 15．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示﹣2和8两点之间的距离是________． （2）数轴上表示x和﹣4两点A和B之间的距离表示为__________；如果AB＝2，那么x＝___________． (3)若点C表示的数为x,当点C在什么位置时,| x+1|+|x−1|取得的值最小，并直接写出最小值． 【答案】（1）10；（2）|x-（-4）|，-2或-6；（3）2； 【分析】（1）利用两点间的距离公式得出两数所对应的两点之间的距离； （2）利用两点间的距离公式得出两数所对应的两点之间的距离，再解绝对值方程可求x的值； （3）根据绝对值的几何意义，可得出-2和2之间的任何一点均满足题意． 【详解】(1)数轴上表示−2和8两点之间的距离是8−(−2)=10. (2)数轴上表示x和−4两点A和B之间的距离表示为|x-（-4）|； ∵AB=2， ∴|x-（-4）|=2， 解得x=-2或-6； (3)若点C表示的数为x,当点C在−2和2之间位置时,| x+1|+|x−1|=x+1−x+1=2. 故最小值是2. 【点睛】此题考查数轴，绝对值，解题关键在于掌握运算法则和数轴的特征. 16．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料 在数轴上4与所对的两点之间的距离： 在数轴上与3所对的两点之间的距离； 在数轴上与所对的两点之间的距离：在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离 依据材料知识解答下列问题 数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为______； 七年级研究性学习小组进行如下探究： 请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在与2之间移动时，的值总是一个固定的值为：______，式子的最小值是______． 请你在草稿纸上画出数轴，当x等于______时，的值最小，且最小值是______． 【答案】（1）2，或（2）①5，1②2，7 【分析】根据数轴上A、B两点之间的距离的表达式计算出绝对值； 要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可． 【详解】根据题意知和的两点之间的距离可表示为：；数x和3的两点之间的距离或； 故答案为2，或； ， ，， 所以当时，的值总是一个固定的值为5． 是表示x到A、C的距离之和，可观察下图． 当时，由可知 当时， 当时，式子的最小值是1． 故答案为5，1． 画出图形，则可知，是表示x的点到A、B、C三点距离之和 分区间来讨论，可以得出 当时，，可见取得最小值，； 当时，，时取得最小值，． 所以式当x等于2时，最小值是7． 故答案为2，7． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法． 17．（2022七年级上·浙江·专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？ (3)根据（2）的结论，求 的最小值． 【答案】(1)有台机床时，P应设在第台处，有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方 (2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，当n为奇数时，P应设在第台的位置 (3)． 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解； （3）根据连续整数的和的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， 直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处， 直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方， 有5台机床，P应设在第3台位置…， 所以有 台机床时，P应设在第台处， 有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方； （2）解：当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置， 当n为奇数时，P应设在第台的位置； （3）解：∵， ∴当 时，代数式取到最小值， ∵， ∴最小值是． 【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）学习过绝对值之后，我们知道表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)已知，求x的值； (3)利用数轴探究： ①满足的所有整数x的值为_________； ②当x满足_________时，的值最小最小值是_________； (4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距离分别是、、．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？ 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；②， (4)物流集散中心P应该建设在处，最小距离是 【分析】（1）根据题意可知表示与的差的绝对值，即可求解； （2）根据题意找出与相距三个单位的点即可； （3）①根据题意可知题目是求与的距离加上与的距离之和等于，求解即可；②根据题意可知：代表与的距离加上与的距离之和最小，则应在和之间； （4）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点应在之间，此时，所以，当时，最小． 【详解】（1）解：可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：∵，即与的距离为， 则或， ∴或； （3）解：①根据题意可知题目是求与的距离加上与的距离之和等于， 若位于和之间，则， ∵原式， ∴只能位于点的左侧或的右侧， 当时：原式整理为：， 解得：； 当时，原式整理为：， 解得：； 综上：满足的所有整数x的值为：或； ②根据题意可知：代表与的距离加上与的距离之和， 要使其最小则应在和之间， 即时，的值最小最小值是； 故答案为：①或；②，； （4）解：以高速公路起点为数轴原点建立数轴，如图： 则， 显然，当点位于点左侧或者点右侧时，， 当点位于、之间时，， ∴当，即与点重合时，最小， 故物流集散中心P应该建设在处， 可使P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，借助数轴可以使有关绝对值的问题转换为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上距离问题也可转换为绝对值问题，这种相互转换在解决问题时可以带来方便，也考查了数轴上两点之间的距离． 19．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1， ①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_________； ③若点P在点B右侧，化简_________； ④由图可知，的最小值是_________． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ②根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ③根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ④结合数轴进行求解即可； （2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵P在线段AB上， ∴， ∴， 故答案为：； ③∵点P在点B右侧， ∴， ∴， 故答案为：； ④由图可知当P在 A点左侧时， 由图可知当P在 AB之间时， 由图可知当P在 B点右侧时， ∴的最小值为3， 故答案为：3； （2）当P点在2的右侧即时， ∴， 当P点在-3的左侧即时， ∴ 当P点在-3和1之间时即时， ∴， ∴此时， 当P点在1和2之间时即时， ∴， ∴此时， ∴综上所述，的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s， 由题意得：路程之和 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴此时； 当时， ； 当时， ； ∴此时； ∴s的最小值为1400，此时， ∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是重要的数学思想．请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于│m－n│．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，记作│a－(－2)│＝3，那么a＝ ． （2）利用绝对值的几何意义，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值为______，若│a＋4│＋│a－2│＝10，则a的值为________． （3）当a＝______时，│a＋5│＋│a－1│＋│a－4│的值最小． （4）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t0)秒．点M是AP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，求线段MN的长度． 【答案】（1）1或-5；（2）6，4或-6；（3）1；（4）不变，线段MN的长度为4 【分析】（1）根据两点间的距离公式，到－2点距离是3的点有两个，即可求解； （2）当点a在点-4和点2之间时，的值最小；分两种情况，或，化简绝对值即可求得； （3）根据表示点a到﹣5，1，4三点的距离的和，即可求解； （4）因为点A表示的数为4和AC＝8，所以点C表示的数为-4，点P表示的数为（1-6t），则点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，两数相减取绝对值即可求得． 【详解】（1）∵ ∴a－(－2)＝3或a－(－2)＝-3 解得a=1或-5 故答案为：1或-5 （2）当点a在点-4和点2之间时，的值最小 ∵数a的点位于-4与2之间 ∴a+4＞0，a-2＜0 ∴ =a+4-a+2 =6； 当时 a+4＜0，a-2＜0 ∴ = = =10 解得a= -6 当时 a+4＞0，a-2＞0 ∴ = = =10 解得a= 4 故答案为：6，4或-6 （3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和． 所以当a=1时，式子的值最小 此时的最小值是9 故答案为：1 （4）∵AC＝8 ∴点C表示的数为-4 又∵点P表示的数为（1-6t） ∴则点M表示的数为 ，点N表示的数为 ∴． ∴线段MN的长度不发生变化，其值为4． 【点睛】此题考查绝对值的意义、数轴、结合数轴求两点之间的距离，掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题是初中阶段常作为压轴选填题来考查的知识点，也是想拿高分的学生必须掌握的知识点；绝对值中的最值模型是初中阶段第一个接触到的最值类问题，主要考查绝对值的性质、几何意义和代数意义，考查学生对分类讨论方法的掌握和数形结合的数学思维；解决此类问题，最重要的是掌握绝对值的几何意义，学会根据实际情况划分不同情形，同时借助于数轴的距离表示，将绝对值的最值模型彻底掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 7 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 14 模型6.绝对值最值模型的实际应用 15 模型7.绝对值相关运算与最值问题 18 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 15 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 1．（2024·九年级·安徽阜阳·模拟预测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 2．（2023·九年级·河南·二模）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若＋的值最小，则x的取值范围是 ． 例2（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 例3（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 例4（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a，b． (1)对照数轴填写下表： a 6 －6 －6 －6 2 －1.5 b 4 0 4 －4 －10 －1.5 A、B两点的距离 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系? (3)在数轴上找出所有符合条件的整数点P，使它到5和－5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； (4)若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小? 最小值是多少？ 模型2.的最小值和最大值模型 例1（23-24七年级上·湖北武汉·期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段，如：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为．代数式的最大值等于 ． 例2（2024·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________________；表示和2两点之间的距离是________________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么________________． (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为________________； (3)利用数轴找出所有符合条件的点，使得，点是________________． (4)当________________时，的值最小，最小值是________________． 例2（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 例3（24-25七年级上·湖北十堰·期中）阅读材料，解答下列问题： 例：当，则，故此时a的绝对值是它本身；当时，，故此时a的绝对值是0；当时，如，则，故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题： (1)___________；___________； (2)如果，求x的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值； (4)当___________时，的值最小，最小值是___________． 例4（24-25七年级上·河南平顶山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； (2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________； (3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________． (4)拓展：的最小值是：___________． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 例2（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 例3（24-25七年级上·陕西西安·期中）问题背景 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为． 问题探究 (1)若，则　 　． (2)若，则　 　． (3)若，则　 　． 问题解决 (4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 　 　． 例4（2024七年级·全国·竞赛）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）当 时，最小． 例2（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）当a= 时，|a﹣3|的值最小． 例3（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）当x= 时，的值最小. 例4（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）学习过绝对值之后，我们知道:|5－2|表示 5 与 2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与 2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|表示 5 与－2 的差的绝对值，实际上也可理解为 5 与－2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 试探究解决以下问题： ⑴|x+6|可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； ⑵找出所有符合条件的整数 x，使|x+1|+|x－2|=3 成立； ⑶如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有 A、B、C 三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是 567km、689km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集散中心 P，请直接指出该物流集散中心 P 应该建设在何处，才能使得 P 到三个城市的距离之和最小?这个最小距离是多少？ 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期中）知识准备:数轴上两点对应的数分别为．则两点之间的距离表示为: 问题探究:数轴上两点对应的数分别为且满足 直接写出:___、 在数轴上有一点对应的数为，请问:当点到两点的距离和为时,满足什么条件?请利用数轴进行说明(此时最小)． 拓展:当数轴上三点对应的数分别为在数轴上有一点对应的数为,当满足什么条件时,的值最小? 应用:国庆期间汉口江滩武汉关至长江二桥之间是观看“70周年国庆灯光秀”的理想区域,武汉关与长江二桥相距约公里。在国庆期间,为了服务广大市民,汉口江滩管理处在汉口江滩武汉关至长江二桥之间每隔公里安排了便民服务小组(武汉关与长江二桥不安排) ,还需要设置一个便民服务物资站,请问便民服务物资站应该设置在什么地方,使它到各个便民服务小组的距离和最小，最小值是多少公里?便民服务物资站位置代表的数记作利用下图直接给出结果:满足的条件: 最小值为 公里． 例4（24-25七年级上·全国·课后作业）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：        （1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________； （2）求使成立的所有整数； （3）求出使成立的所有整数； （4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是　　；数轴上表示2和3的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离是　　；数轴上表示a和5的两点之间的距离是　　； (3)若数轴上三个有理数a、b、c满足，，则的值为　； (4)当a＝　　时，的值最小，最小值是　　 例2（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和−1的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)求数轴上表示2和−3的两点之间的距离； (2)若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，求的值； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是________； (4)求的最小值是________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在紧靠______居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为________． 例3（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，求的值． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，求的值． (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，求这些点表示的数的和． (4)当__________时，的值最小，最小值是__________． 例4（23-24七年级上·安徽宣城·阶段练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 例2（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 例3（24-25七年级上·广东梅州·期中）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离．因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离；在数轴上的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数______的点之间的距离； （2）若，则的值为______； （3）当的值最小且为整数时，则的取值可以为______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．鉴于环保之需，现计划在该路段建设一座垃圾中转站，以负责接收并转运上述三个居民区每日产生的生活垃圾．假设生活垃圾的清理运输费用为每公里50元，试问垃圾中转站应选址于这条公路的何处，以实现总运输成本的最小化？最低运输成本是多少元？ 例4（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数5 的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，若，则x的值为 ； （2）当取最小值时，x可以取整数 ； （3）当x= 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 1．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）如图，A、、是一条公路上的三个村庄，A、间的路程为，A、间的路程为，现要在A、之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ） A．点处 B．线段之间 C．线段之间 D．线段之间 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中，，c为整数，． （1）若，则A，B，C中与M距离最小的点为 ； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______； 表示-2和1两点之间的距离是________；一般地，数轴，上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|． (2)若|a-3|=6， |b+2|=3， 且数a､b在数轴上表示的数分别是点A､点B则A､B两点间的最大距是 最小距离是_________． (3)若数轴上表示数a的点位于-4与5之间，则|a+4|+|a-5|=_______． (4)当a= 时，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小， 最小值是________． 5．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 6．（24-25七年级上·广东深圳·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离是_______；     ②数轴上表示－2和－6的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示－4和3的两点之间的距离是_______； 归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么a＝_______； ②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求的值； ③当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）探索性问题：已知点A，B在数轴上分别表示m、n． （1）填写表： m 5 −5 −6 −6 −10 n 3 0 4 −4 2 A，B两点的距离 （2）若A，B两点的距离为d，则d与m、n有何数量关系； （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到3和−3的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； （4）若点C表示的数为x，当C在什么位置时，取得值最小？ 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）结合数轴和绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上，表示1和4的两点之间的距离是_________，表示和2的两点之间的距离是________； （2）数轴上，表示数和数的两点之间的距离可表示为____________．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_________； （3）若数轴上表示数的点位于和2之间，求的值； （4）当取何值时，的值最小？最小值是多少？请说明理由． 9．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）阅读下面一段文字： 在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离. 例如：当a=2，b=5时，=5-2=3；当a=2,b=-5时，==7；当a=-2，b=-5时，==3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离=(也可以表示为). 请你根据上述材料，探究回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； （2）表示数a和-2的两点间距离是6，则a= ； （3）如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求的值. （4）是否存在数a，使代数式的值最小？若存在，请求出代数式的最小值，并直接写出数a的值或取值范围，若不存在，请简要说明理由. 10．（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和-1的两点距离为 ；则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到的距离与到的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料，材料供应点应设在 才能使到四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是 ，此时的范围是 ； ②代数式的最小值是 ，此时的值为 ． ③代数式的最小值是 ，此时的范围是 ． 11．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知、在数轴上分别表示有理数，； （1）对照数轴填写下表： 6 -1 -2 4 4 -5 3 -4 、两点之间的距离 （2）若、两点间的距离记为，试问：和，有何数量关系？ （3）写出所有符合条件的整数点，使它到10和-10的距离之和为20，并求所有这些整数的数的和； （4）找出（3）中满足到10和-10的距离之差大于1而小于5的整数的点； （5）若点表示的数为，当点在什么位置时，取得的值最小，并求出这个最小值. 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 13．（24-25七年级上·浙江台州·期中）我们都知道：|6﹣2|表示6与2的差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|6+2|表示6与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为6与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|﹣2+7|＝　 　；|﹣3﹣5|＝　 　； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+1|+|x﹣2|＝3成立． （3）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值． （4）当a＝　 　时，|a﹣2|+|a+6|+|a﹣5|的值最小，最小值是　 　； （5）当a＝　 　时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣（2n+1）|的值最小，最小值是　 　（n为正整数）． 14．（24-25七年级上·江西吉安·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于.如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_______. （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； （3）受（2）的启发，当数的点在图1什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （4）有理数、、在数轴上对应的位置如图2所示，试化简：. 15．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示﹣2和8两点之间的距离是________． （2）数轴上表示x和﹣4两点A和B之间的距离表示为__________；如果AB＝2，那么x＝___________． (3)若点C表示的数为x,当点C在什么位置时,| x+1|+|x−1|取得的值最小，并直接写出最小值． 16．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读下面材料 在数轴上4与所对的两点之间的距离： 在数轴上与3所对的两点之间的距离； 在数轴上与所对的两点之间的距离：在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离 依据材料知识解答下列问题 数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为______； 七年级研究性学习小组进行如下探究： 请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在与2之间移动时，的值总是一个固定的值为：______，式子的最小值是______． 请你在草稿纸上画出数轴，当x等于______时，的值最小，且最小值是______． 17．（2022七年级上·浙江·专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题． 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择． 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置． (1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？ (2)有n台机床时，P应设在何处？ (3)根据（2）的结论，求 的最小值． 18．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）学习过绝对值之后，我们知道表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)已知，求x的值； (3)利用数轴探究： ①满足的所有整数x的值为_________； ②当x满足_________时，的值最小最小值是_________； (4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距离分别是、、．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？ 19．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1， ①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_________； ③若点P在点B右侧，化简_________； ④由图可知，的最小值是_________． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期中）“数形结合”是重要的数学思想．请你结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于│m－n│．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，记作│a－(－2)│＝3，那么a＝ ． （2）利用绝对值的几何意义，探索│a＋4│＋│a－2│的最小值为______，若│a＋4│＋│a－2│＝10，则a的值为________． （3）当a＝______时，│a＋5│＋│a－1│＋│a－4│的值最小． （4）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC＝8，动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t0)秒．点M是AP的中点，点N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，求线段MN的长度． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$