专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义）（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学讲义以绝对值几何意义为核心，通过表格分类、数轴图示系统梳理八类最值模型，按“模型推导-典例解析-易错点总结”构建知识脉络，突出多绝对值叠加、含参数等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“数形结合”方法指导，如模型3通过“奇中点偶中段”规律推导，结合数轴动态演示培养几何直观和推理意识。典例涵盖动点距离、实际应用等题型，易错点清单助力学生规避混淆，分层练习满足不同水平需求，为教师精准教学提供系统支持。

专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。 推导逻辑：数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背。 核心素养目标： 理解绝对值的几何意义，能将绝对值式子转化为数轴距离； 掌握八类最值模型的推导方法，培养数形结合与分类讨论能力； 能运用模型解决实际最值问题，提升代数几何综合应用能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 3 模型3. 的最小值模型 4 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 7 模型5. 型或型最值模型 9 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 10 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 11 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 12 模型拓展 12 【易错点总结】 12 【模型运用】 13 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（甘肃白银市2026年九年级数学质量监测试卷）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【典例2】（2025-2026学年七年级上学期期末数学试题）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【典例3】（四川乐山市市中区2025-2026学年度下期期末七年级教学质量监测数学）阅读理解：的几何意义为有理数在数轴上对应的点到原点的距离．由此我们知道：如图1，若，则在数轴上对应的点到原点距离大于2，所以不等式的解集是或；如图2，若，则在数轴上对应的点到原点距离小于2，所以不等式的解集是． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ； (2)解不等式：； (3)求的最小值； (4)若关于的不等式无解，求的取值范围． 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【典例2】（江苏省仪征市实验中学2025-2026学年第一学期七年级年级数学第二次学情自测试卷）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【典例2】（2026年安徽省宣城市宁国市中考二模数学试题）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律： （Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【典例3】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【典例4】（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______；(2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【典例2】（25-26七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【典例3】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（江苏省淮安市金湖县2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题）【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，表示与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点，，所对应的数分别用，表示，那么，两点之间的距离表示为． 【简单应用】利用此结论，回答下列问题： (1)根据绝对值的几何意义，当时，__________； (2)当取得最小值时，的取值范围是（    ） A．    B．    C．    D．或 (3)【变式应用】已知，求的最小值； (4)【实际应用】如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，右侧．现需要在该公路上建一个便民服务点，直接写出这个便民服务点建在何处，才能使其到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？ 【典例2】（2025-2026学年第一学期教育质量监测七年级数学）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（重庆渝高中学校2025—2026学年度上期期末考试题七年级数学）对于有理数，，，，若，则称，关于的“距离数”为．如，则，3关于1的距离数为5． （1），3关于4的距离数为________； （2）若，关于的距离数，，关于的距离数，，关于的距离数，⋯，，关于的距离数均为1，则的最大值是________． 模型拓展 1. 核心规律：奇取中点、偶取区间，所有绝对值最值本质是数轴点的距离聚拢最小化； 2. 带系数模型可拓展为多系数组合最值，核心是归一化转化标准模型； 3. 是初中所有代数最值、函数最值的启蒙基础，可对接八年级一次函数最值。 模型常见易错点 1.易错点：混淆“绝对值和”与“绝对值差”的最值规律 ￮错因分析：对几何意义理解不深，仅记结论不记推导，导致和与差的取等位置记混。 ￮避坑指南：随手画数轴验证——和最小在中间，差最大在外侧。 2.易错点：奇数、偶数个绝对值取最值条件记反 ￮错因分析：未理解“配对聚拢”的原理，机械记忆导致混淆。 ￮避坑指南：用3个点、4个点的简单例子现场推导，无需死记。 3.易错点：带系数绝对值不提取系数，直接套用基础模型 ￮错因分析：忽略“标准距离模型系数必须为1”的前提。 ￮避坑指南：第一步先提取系数，把x的系数化为1再用模型。 4.易错点：存在性问题盲目解方程，忽略最小值判断 ￮错因分析：未建立“先判存在性，再解方程”的解题逻辑。 ￮避坑指南：先算最小值，再对比常数大小。 5.易错点：含参数题型遗漏边界值 ￮错因分析：区间端点是否可取判断不清。 ￮避坑指南：将边界值代入原式验证是否符合题意。 模型小结 1. 解题核心：代数转几何，绝对值转数轴距离； 2. 秒杀口诀：单点最小0，两点区间平，奇数取中点，偶数取中间； 3. 解题流程：定类型 → 化标准 → 用结论 → 验边界； 4. 全程数形结合，杜绝纯代数硬算。 1．（江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷）的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 2．（山东威海市威海经济技术开发区2025~2026学年度第一学期质量检测初一数学）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025-2026学年七年级上学期期末数学卷）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（广东江门市2025-2026学年度第二学期义务教育质量监测题七年级数学）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 5．（重庆市涪陵外国语学校2021—2022学年下学期期“涪外好少年”杯七年级数学能力展示决赛试题）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 6．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 7．（四川内江市第一中学2025-2026学年七年级下学期阶段考试数学试题）的最小值是________ 8．（上海民办克勒外国语学校2025--2026学年六年级上学期数学期末考试卷）的最小值为______． 9．（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 11．（江西省上饶市弋阳县2025-2026学年下学期期末学业质量监测八年级数学）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 12．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 13．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 14．（河南漯河市漯河五中等校2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 15．（2025-2026学年度第一学期学业检测七年级数学题库A卷）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 16．（湖南常德外国语学校2025-2026学年上学期期末考试七年级数学试题卷）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：的最小值是______； （3）若，则______； 【拓展应用】（4）已知，满足，数轴上点和点所对应的数分别为和，点为数轴上一动点。若点、点分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以3个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动。当点与点之间的距离为2个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 17．（2025--2026学年上学期七年级期末数学试卷）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 18．（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）阅读理解 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离． 【学以致用】 一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． （1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）当整数取_____时，的值最小，且其最小值为_____； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“三倍点”．例如，数轴上点、、所表示的数分别为1、4、5，此时，因此点是的“三倍点”． （4）若点表示的数是1，点表示的数是，则整数所对应的点有哪几个是、的“三倍点”？请说明理由． 19．（广东揭阳市揭东区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 20．（贵州六盘水市六枝特区2025~2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 21．（2025~2026学年度上期期末质量监测七年级数学试题卷）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 22．（2025年秋季期末质量检测七年级数学试卷）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 23．（2025—2026学年七年级上学期数学阶段评价（21））数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。 推导逻辑：数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背。 核心素养目标： 理解绝对值的几何意义，能将绝对值式子转化为数轴距离； 掌握八类最值模型的推导方法，培养数形结合与分类讨论能力； 能运用模型解决实际最值问题，提升代数几何综合应用能力。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 3 模型1. 的最小值模型 3 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5. 型或型最值模型 17 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 19 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 22 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 23 模型拓展 25 【易错点总结】 25 【模型运用】 26 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（甘肃白银市2026年九年级数学质量监测试卷）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 【典例2】（2025-2026学年七年级上学期期末数学试题）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 【典例3】（四川乐山市市中区2025-2026学年度下期期末七年级教学质量监测数学）阅读理解：的几何意义为有理数在数轴上对应的点到原点的距离．由此我们知道：如图1，若，则在数轴上对应的点到原点距离大于2，所以不等式的解集是或；如图2，若，则在数轴上对应的点到原点距离小于2，所以不等式的解集是． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ； (2)解不等式：； (3)求的最小值； (4)若关于的不等式无解，求的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当作一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出x的取值范围； （3）根据绝对值的几何意义可得表示数轴上点到的距离与到的距离的和，进而求得最小值； （4）仿照（3）即可求解． 【详解】（1）解：不等式的解集为或． 不等式的解集为； （2）解：， ∴或， ∴或； （3）解：表示数轴上点到的距离与到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，且最小值为点到的距离之和，即 ∴的最小值为； （4）解：表示数轴上点到的距离与到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，且最小值为点到的距离之和，即 ∴的最小值为； ∵无解 ∴ 解得： 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达式的最值，再计算的值． 【详解】解：表示数轴上点x到3的距离，表示数轴上点x到的距离． ∴当时，取得最小值， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴． 故选：B 【典例2】（江苏省仪征市实验中学2025-2026学年第一学期七年级年级数学第二次学情自测试卷）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（即）‬‬时，‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬（即）时，‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 【典例2】（2026年安徽省宣城市宁国市中考二模数学试题）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律： （Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【答案】(1)3；2或 (2)； (3)；40 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求解； （2）利用绝对值的几何意义以及线段的和差求解； （3）根据结论得出最短距离的点，然后利用线段的和差求路程． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， ∵数轴上表示和的两个点之间的距离是3， ∴， 解得或； （2）解：③； 综上：当时，此时的最小值为； （3）解：一只工具箱应该放在工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是． 【典例3】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【答案】(1)；(2)(3)；或(4)(5)(6)； 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，∴，，∴， ∴数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值总是一个固定的值为4． （3）解：可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 表示数轴上表示数x与表示数3，的距离之和， ∴根据解析（2）可得：当时，，∴或， ①当时，，即，解得； ②时，，即，解得，综上分析可知，x的值为：或4； （4）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上，2，3，三个数的距离之和，∴当时，有最小值． （5）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，4，5，五个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． （6）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，……，100，共100个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． 【典例4】（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______；(2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 【答案】(1)(2) (3)当，且的最小值为时．或或 【详解】（1）解：由题意得，数在数轴上对应的点到的距离为：，故答案为：． （2），， 的意义是在数轴上表示的点到和的距离之和， 当时，，故答案为：． （3）当时，则有，， 当时，则有，，，即， 当时，则有，，， 答：当，且的最小值为时． 或或 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 【典例2】（25-26七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 【典例3】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若k为任意有理数，算式存在最大值，则这个最大值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【详解】，，，最大值为； 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（江苏省淮安市金湖县2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题）【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，表示与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点，，所对应的数分别用，表示，那么，两点之间的距离表示为． 【简单应用】利用此结论，回答下列问题： (1)根据绝对值的几何意义，当时，__________； (2)当取得最小值时，的取值范围是（    ） A．    B．    C．    D．或 (3)【变式应用】已知，求的最小值； (4)【实际应用】如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，右侧．现需要在该公路上建一个便民服务点，直接写出这个便民服务点建在何处，才能使其到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？ 【答案】(1)9或 (2)C (3)10 (4)便民服务点建在点与点之间，包括点和点处才能使其到四个居民区、、、总路程最短，最短路程是 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，列方程求解即可； （2）根据绝对值和的最小值的求法，即可得出对应的的取值范围； （3）先求出各绝对值和的最小值，再根据条件确定，，的值，进而求出的最小值； （4）通过建立数轴，利用绝对值的几何意义，即可解答． 【详解】（1）解： ， 或， 解得，或． （2）解：由题意得，， 当时，取得最小值． 故选：C． （3）解：由绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 此时，最小值为； 当时，取得最小值， 此时，最小值为； 当时，取得最小值， 此时，最小值为； 又 ， ，，． 又 取最小值， ，取最小值，取最大值， ，，， 的最小值为． （4）解：设该便民服务点表示的数为， 根据题意，以市民广场为数轴原点，市民广场右侧为正方向建立数轴，如图所示： 则居民区、、、在数轴上表示的数分别为，1，4，9， 点到、、、四点的距离和，可表示为， 当时，取得最小值， 此时，最小值为． 答：便民服务点建在点与点之间，包括点和点处，才能使其到四个居民区、、、总路程最短，最短路程是． 【典例2】（2025-2026学年第一学期教育质量监测七年级数学）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． (1)在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离______． (2)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么_______． (3)若，则的最小值为，此时正整数的值为________． 【关联运用】 (4)点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，或； (4)不会改变，值为 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，或； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和的点之间的距离和， ， 当表示和之间（含端点）的点时，有最小值， 此时正整数的值为或； （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ，， 由题意知，， 的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（重庆渝高中学校2025—2026学年度上期期末考试题七年级数学）对于有理数，，，，若，则称，关于的“距离数”为．如，则，3关于1的距离数为5． （1），3关于4的距离数为________； （2）若，关于的距离数，，关于的距离数，，关于的距离数，⋯，，关于的距离数均为1，则的最大值是________． 【答案】 7 【分析】本题考查了绝对值、整式加减的应用、一元一次方程的应用，理解“距离数”的定义是解题的关键． （1）根据“距离数”的定义即可求解； （2）根据题意，得，根据绝对值的非负性可得，，即与和的距离都不大于1，分析可知，同理可得，，……，，再分别求出的最大值，相加即可求解． 【详解】解：（1）， ∴，3关于4的距离数为7； 故答案为：7； （2）由题意得，， ∵，， ∴，， 即与和的距离都不大于1， ∴， 同理可得，，，……，， ∵， ∴，即， 同理可得， ∴，，……，， ∵， ∴，即， 整理得， 解得或， ∵， ∴的最大值为； ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴的最大值为， 此时的最大值 ， 当时，有最大值，为， ∴的最大值是． 故答案为：． 模型拓展 1. 核心规律：奇取中点、偶取区间，所有绝对值最值本质是数轴点的距离聚拢最小化； 2. 带系数模型可拓展为多系数组合最值，核心是归一化转化标准模型； 3. 是初中所有代数最值、函数最值的启蒙基础，可对接八年级一次函数最值。 模型常见易错点 1.易错点：混淆“绝对值和”与“绝对值差”的最值规律 ￮错因分析：对几何意义理解不深，仅记结论不记推导，导致和与差的取等位置记混。 ￮避坑指南：随手画数轴验证——和最小在中间，差最大在外侧。 2.易错点：奇数、偶数个绝对值取最值条件记反 ￮错因分析：未理解“配对聚拢”的原理，机械记忆导致混淆。 ￮避坑指南：用3个点、4个点的简单例子现场推导，无需死记。 3.易错点：带系数绝对值不提取系数，直接套用基础模型 ￮错因分析：忽略“标准距离模型系数必须为1”的前提。 ￮避坑指南：第一步先提取系数，把x的系数化为1再用模型。 4.易错点：存在性问题盲目解方程，忽略最小值判断 ￮错因分析：未建立“先判存在性，再解方程”的解题逻辑。 ￮避坑指南：先算最小值，再对比常数大小。 5.易错点：含参数题型遗漏边界值 ￮错因分析：区间端点是否可取判断不清。 ￮避坑指南：将边界值代入原式验证是否符合题意。 模型小结 1. 解题核心：代数转几何，绝对值转数轴距离； 2. 秒杀口诀：单点最小0，两点区间平，奇数取中点，偶数取中间； 3. 解题流程：定类型 → 化标准 → 用结论 → 验边界； 4. 全程数形结合，杜绝纯代数硬算。 1．（江苏省南京市玄武区科利华中学2025-2026学年上学期七年级期末数学试卷）的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 2．（山东威海市威海经济技术开发区2025~2026学年度第一学期质量检测初一数学）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 3．（2025-2026学年七年级上学期期末数学卷）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． 利用数轴上两点距离的几何意义，确定x和y的取值范围，再求的最大值即可． 【详解】解：由题意得，表示点x到3和的距离和， 当时，最小值为5； 表示点y到1和5的距离和， 当时，最小值为4； 又∵， ∴且， 即，， ∵取最大值， ∴y取最大值，x取最小值，即， ∴的最大值为7． 故选C． 4．（广东江门市2025-2026学年度第二学期义务教育质量监测题七年级数学）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质求出的取值范围，再结合是整数确定所有符合条件的，最后找出其中的最大值即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 5．（重庆市涪陵外国语学校2021—2022学年下学期期“涪外好少年”杯七年级数学能力展示决赛试题）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【分析】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【详解】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 6．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 7．（四川内江市第一中学2025-2026学年七年级下学期阶段考试数学试题）的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 8．（上海民办克勒外国语学校2025--2026学年六年级上学期数学期末考试卷）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 9．（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】(1)； (2)①或；②； (3)； (4)①；②，； 【分析】（1）数轴上两个点所表示的数的差的绝对值即为两点之间的距离； （2）①解绝对值方程即可；②根据题意得到，再根据与的距离是，得到在和之间，即可得解； （3）根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解； （4）①根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据①所得折叠的点表示的数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； （2）解：①若，则或， 解得：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为； （3）解： 表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合； （4）解：① 表示的点和 表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是． 11．（江西省上饶市弋阳县2025-2026学年下学期期末学业质量监测八年级数学）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 12．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 13．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【分析】（1）①，即可得到答案； ②由题意可得：，即可得到答案； （2）代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 14．（河南漯河市漯河五中等校2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空：______；______； (2)若点表示的数为，当取最小值时，=_____； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，求当经过多少秒时，点到点、点的距离之和为． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值、数轴上两点之间的距离公式． (1)根据阅读材料中数轴上两点之间的距离公式计算即可； (2)根据的取值范围，分情况去掉绝对值符号，计算的取值范围，得出当取最小值时y的值； (3)设运动秒时，点表示的数为，根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出的值． 【详解】（1）解：数轴上，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）解：当时， 可得：，，， ， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 当时， 可得：，，， ， ， ； 综上所述，当时，取最小值，最小值为， 故答案为：； （3）解：设运动秒时，点表示的数为， 则，， 点到点、点的距离之和为， ， 当时， 可得：，， ， 解得：； 当时， 可得：，， ， 点到点、点的距离之和不能为； 当时， 可得：，， ， 解得：； 综上所述，当或时，点到点、点的距离之和为． 15．（2025-2026学年度第一学期学业检测七年级数学题库A卷）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 【答案】(1)； (2)有最小值，最小值为，的取值范围是； (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，利用数形结合的思想是解题关键． （1）直接根据数轴上两点间距离公式(两点所表示数的差的绝对值)计算； （2）将转化为，结合绝对值的几何意义，把式子转化为点到两点的距离之和，利用两点之间线段最短确定最小值及的范围； （3）分点在线段左侧、右侧两种情况讨论，根据距离定义列方程求解，在线段上时距离为0，不符合题意无需考虑． 【详解】（1）解：数轴上表示和5的两点之间的距离为； 故答案为：． （2）解：， 表示数轴上点到点与点的距离之和． 根据两点之间线段最短，当点位于点和点之间(包括端点)时，距离之和取得最小值，最小值为，此时的取值范围是； （3）解：已知点表示，点表示，线段对应的数的范围是． ①当点在线段左侧时，点到线段的距离为， 解得； ②当点在线段右侧时，点到线段的距离为， 解得； 点在线段上时，距离为，不符合距离为的条件，故舍去． 综上，的值为或． 16．（湖南常德外国语学校2025-2026学年上学期期末考试七年级数学试题卷）阅读与理解：数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：的最小值是______； （3）若，则______； 【拓展应用】（4）已知，满足，数轴上点和点所对应的数分别为和，点为数轴上一动点。若点、点分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，点以3个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动。当点与点之间的距离为2个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 【答案】（1）；（2）6；（3）或5；（4）或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）可知可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和，再结合数轴，即可求解； （3）根据x的大小分类讨论，将原方程化简成普通的一元一次方程，即可求解； （4）先根据绝对值和平方的非负性，求出a、b的值，设运动时间为，则点A所对应的数为，点B所对应的数为，根据题意列方程，求出时间，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离． （2）解：可知可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和， 当时，有最小值为． （3）解：根据（2）可知当时，，不符合题目要求， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，若，则或． （4）解：， ， 设运动时间为，则点A所对应的数为，点B所对应的数为， 根据题意可得， 解得或， 此时点P所对应的数为或． 17．（2025--2026学年上学期七年级期末数学试卷）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 18．（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）阅读理解 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示3的点与表示的点之间的距离． 【学以致用】 一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． （1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）当整数取_____时，的值最小，且其最小值为_____； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“三倍点”．例如，数轴上点、、所表示的数分别为1、4、5，此时，因此点是的“三倍点”． （4）若点表示的数是1，点表示的数是，则整数所对应的点有哪几个是、的“三倍点”？请说明理由． 【答案】（1）或； （2）或； （3）；； （4）整数所对应的点有四个是、的“三倍点”，分别是 【分析】（1）利用绝对值的几何意义，将方程转化为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，在此基础上通过对表示的点进行左右平移3个单位，直接计算得出的取值； （2）依据绝对值的几何意义，把转化为数轴上表示数的点到表示2和的点的距离之和为，先计算出2和在数轴上的距离为6，判断出不可能在这两个数之间，再分别分析在左侧、在2右侧的两种情况，分别列出表示距离之和的代数式，再列方程求解得到的值； （3）结合绝对值的几何意义，明确表示数轴上表示数的点到表示2和的点的距离之和，分析得出当在和2之间(包括端点)时，该距离之和能取得最小值，先计算出这个最小值，再找出此取值范围内的所有整数即可； （4）先理解新定义“三倍点”的几何意义，即数轴上表示数的点到表示1的点的距离是到表示的点距离的3倍，或到点的距离是到点距离的3倍，再分三种情况逐一分析，即在1与之间、在左侧、在1右侧，结合数轴上两点间的距离表示方法，分别针对每种情况列出对应的方程，求解后舍去不符合所在取值范围的解，最终确定出符合条件的整数． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上表示的点到表示的点的距离为， ∴或； 故答案为：或． （2）解：的几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和为． ∵与之间的距离为， ∴当在与之间时，距离之和恒为，不满足． 当在左侧时，距离之和为， 令，解得；当在右侧时，距离之和为， 令，解得； 故答案为：或． （3）解：的几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和．当在与之间(包括端点)时，距离之和最小，最小值为，此时整数为； 故答案为：；． （4）解：“三倍点”的几何意义是数轴上表示的点到1的距离是到距离的倍，或到的距离是到距离的倍． ①若在与之间，到的距离为，到的距离为， 则，解得； 或，解得； ②若在左侧，到的距离为，到的距离为， 则，解得； 或，解得，不在左侧，舍去； ③若在1右侧，到的距离为，到的距离为， 则，解得，不在右侧，舍去； 或，解得； 综上，整数所对应的点有四个是、的“三倍点”，分别是． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离表示方法，同时考查了数形结合数学思想的运用，还涉及绝对值方程的求解、绝对值和的最值探究以及新定义“三倍点”的理解与应用，关键是将绝对值的代数表达式转化为数轴上两点间的距离这一几何意义，借助数形结合的思想直观分析并解决问题． 19．（广东揭阳市揭东区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 20．（贵州六盘水市六枝特区2025~2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 21．（2025~2026学年度上期期末质量监测七年级数学试题卷）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【分析】（1）根据数轴上点的位置直观判断各点对应数到原点的距离，得出离原点最近和最远的数即可； （2）先由数轴确定各代数式的符号，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数混合运算得出结果即可； （3）将式子转化为数轴上点到、、三点的距离之和，利用奇数个点取中间点求最值的方法，代入计算即可得最小值； （4）先算、首次相遇时间，再求相遇后到第秒的时间差与此时的间距，最后根据改向后的相向运动速度和，即可计算出相遇所需时间． 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 【点睛】本题考查了数轴的综合应用，数轴上点到原点的距离、绝对值的代数化简与几何意义、有理数的混合运算，以及数轴上的分段动点相遇问题，将抽象的数与数轴上的点对应，结合数轴直观判断数的符号与大小关系，对动点问题按运动状态分阶段拆解并运用相对速度计算是解题的关键． 22．（2025年秋季期末质量检测七年级数学试卷）先阅读材料，再解决问题 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 解答问题： （1）数轴上表示和2两点之间的距离是_____；类似地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于．如果表示数和－1的两点之间的距离是3，那么的值为_____； （2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点，点，则，两点间的最大距离是_____，最小距离是_____； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是_____； 【应用】 （4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作1，小明学校记作，求距离和的最小值． 【答案】（1）5；2或；（2）13；1；（3）9；（4）4 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减运算，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和2两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式，分2种情况即可求出的值； （2）首先根据绝对值的性质分别求出的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，分4种情况求出点A和点B之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离即可； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知表示数的点在数轴上表示数和4的点之间，找到之间的所有整数并求和即可； （4）根据题意可知，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，再利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：（1）， ∴数轴上表示和2两点之间的距离是5； ∵数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴a的值为2或； 故答案为：5；2或； （2）∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴A，B两点间的最大距离是13，最小距离是1， 故答案为：13；1； （3）表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数4的点之间的距离， ∴表示到数和4的点之间的距离之和等于5的点， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数和4的点之间， ∴符合条件的整数点x为，0，1，2，3，4， ∴这些点表示的数的和是； 故答案为：9； （4）表示的是数轴上表示数的点到表示数1的点之间的距离， 表示的是数轴上表示数的点到表示数的点之间的距离， 表示数的点到数1和的点之间的距离之和， 由数轴可得，表示数的点在数轴上表示数1和的点之间时，距离和取得最小值，最小值为， ∴距离和的最小值为4． 23．（2025—2026学年七年级上学期数学阶段评价（21））数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)，3； (2)①5；②8； (3)当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，据此填空即可； （2）①表示在数轴上x对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，分别讨论x在的左侧、3的右侧或者和3中间时，距离之和的大小即可； ②表示在数轴上x对应的点分别到、、所对应的点之间的距离之和，据此求解即可； （3）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为，然后根据题目条件用表示总成本，由（2）可得实验室建在A、B之间（包含A、B）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $