专题02 数轴中的九类动点模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动点模型 数轴中的动点问题属于七年级上册必考的压轴题型，主要是以数轴作为载体，运用分类讨论的方法和数形结合的做题思维，综合考查学生对数轴上的动点问题的分析与判断能力，从而掌握数形结合的基本思维；在做题时，需要我们掌握点移动的表示方法，例如左移减，右移加；然后针对含时间t的动点问题，学会用t表示距离和动点，最后根据题意列出等量关系，求解即可得到答案（要考虑求出来的t值是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2024·安徽合肥·一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ 【答案】(1)4 (2)1 (3)终点表示数是（a﹣m+n） 【分析】（1）根据-3点为A，右移7个单位得到B点为-3+7=4，则可以得出答案； （2）根据3表示为A点，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，得到点为3-7+5=1，可以得出答案； （3）方法同（2），根据数轴上表示的数左减右加的原则计算即可．． 【详解】（1）∵点A表示数﹣3， ∴点A向右移动7个单位长度，终点B表示的数是﹣3+7＝4， 故答案是：4； （2）∵点A表示数3， ∴将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度， 那么终点表示的数是3﹣7+5＝1； 故答案是：1； （3）∵A点表示的数为a， ∴将A点向左移动m个单位长度，再向右移动n个单位长度， 那么终点表示数是（a﹣m+n）． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （2024·浙江台州·一模）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题： （1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点： （2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点． ①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ； ②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数； ③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．    【答案】（1）见解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6． 【分析】（1）在数轴上描点； （2）由基准点的定义可知，； （3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，… 由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n； 【详解】解：（1）如图所示，    （2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1， ∴n=1； 故答案为1； Ⅱ．有定义可知：m+n=4， ∴n=4-m； 故答案为：4-m ②设点M表示的数是m， 先乘以23，得到23m， 再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2， ∵点M与点N互为基准等距变换点， ∴23m+2+m=4， ∴m=； ③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，    由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)… ∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8）， ∵若P与Qn两点间的距离是4， ∴|m-[-2n+(m+8)]|=4， ∴n=2或n=6． 【点睛】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键． （2024·浙江·模拟预测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是________； （2）如果数轴上两点之间的距离为12，经过（1）的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是____； （3）如图2，点表示的数分别是、4，数轴上有点，使得，那么点表示的数是__________； （4）如图2，若将此纸条沿两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数______．（用含的代数式表示） 【答案】（1）2；（2）﹣4；（3）2或10；（4） 【分析】（1）找出5表示的点与﹣1表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）由2平分两个点组成的线段，得到左边的点为2－距离的一半，从而可求得答案； （3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论：①点C在A的左侧，②点C在A和B之间，③点C在B的右侧． （4）先求出每两条相邻折痕的距离，进一步得到最左端的折痕和最右端的折痕与数轴的交点表示的数，即可求得答案． 【详解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2． 故折痕与数轴的交点表示的数为2； （2）2－12÷2=2－6=﹣4， 故左边这个点表示的数是﹣4； （3）设点C表示的数为x，分三种情况讨论： ①点C在A的左侧，此时AC＜BC，与AC=2BC矛盾，此种情况不成立； ②点C在A和B之间，此时：x+2=2(4－x)，解得：x=2； ③点C在B的右侧，此时：x+2=2(x－4)，解得：x=10． 综上所述：点C表示的数是2或10． （4）∵对折n次后，每两条相邻折痕的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数是． 【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【分析】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2021次到达1011． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，弄清题中的规律是解本题的关键． 例2（23-24七年级上·浙江杭州·期末）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2019．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 【答案】1949 【分析】易得每跳动2次，向右平移1个单位，跳动140次，相当于在原数的基础上加了70，相应的等量关系为：原数字+70=2019． 【详解】解：设k0点所对应的数为x， 由题意得：每跳动2次，向右平移1个单位，跳动140次，相当于在原数的基础上加了70， 则x+70=2019， 解得：x=1949． 即电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为1949． 故答案为：1949． 【点睛】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动2次相对于原数的规律是解决本题的突破点． 例3（2024·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 ；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 ． 【答案】 【分析】因为A到原点距离为10，A1为OA的中点，可求出A1到原点距离为5，依次可求出A2、A3、A4到原点的距离． 【详解】解：由题意可知： ∵A到原点距离为10，且A1为OA的中点，∴A1到原点距离为5， ∵A2为OA1的中点，∴A2到原点距离为， ∵A3为OA2的中点，∴A3到原点距离为， ∵A4为OA3的中点，∴A4到原点距离为， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意准确找出每一个点代表的有理数． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2 (3)①；；②MN的长是定值， 【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长； （2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可； （3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解； ②用两点间距离公式即可求解． 【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且， 所以， 所以点B表示的数是； 因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且， 所以， 所以点C表示的数是14， 点B与点C的距离是（单位长度）， 所以线段BC的长为24个单位长度， 故答案为：，14，24． （2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是， 根据题意得， 解得， 所以， 答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是． （3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：， ∵M为中点， ∴点M对应的数为：， t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：， ∵N为中点， ∴点N对应的数为：， 故答案为：；； ②线段的长为定值， ∵点M对应的数为，点N对应的数为； ∴， ∴线段的长为定值． 【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动. (1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇? (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.    【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2. 【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可； （2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度； （3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案. 【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t， ∵cm，cm，cm， ∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∴2t+3t=90， t=18， ∴经过18秒两点相遇； （2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70， ∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55， 由，可分两种情况： ①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10， 点P运动的时间为s， ∴点Q的运动速度=cm/s； ②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50， 点P的运动时间是s， ∴点Q的运动速度=cm/s， 综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s； （3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40， ∵点E是OP的中点， ∴OE=a， ∵点F是AB的中点，AB=30， ∴BF=15， ∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a， ∴=. 【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法. 例3（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知数轴上点，，对应的数分别为-2，0，6，点是数轴上的一个动点． （1）设点对应的数为. ①若点到点和点的距离相等，则的值是 ； ②若点在点的左侧，则 ， （用含的式子表示）； （2）若点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒12个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点和点分别是和的中点，设运动时间为． ①求的长（用含的式子表示）； ②当时，请直接写出的值． 【答案】（1）① 2，②，；（2）①7t+4，②． 【分析】（1）①根据中点的定义即可求解；②根据数轴上的距离公式即可求解； （2）分别用含t的式子表示点P、A、B、M、N表示的数即可求解. 【详解】（1）设点对应的数为. ①若点到点和点的距离相等，则P是AB的中点， 故的值是=2 故答案为：2； ②若点在点的左侧，则， 故答案为：；； （2）点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，故点P表示的数为t, 点以每秒3个单位长度的速度向左运动，故点A表示的数为-2-3t, 点以每秒12个单位长度的速度向右运动，故点B表示的数为6+12t, ∵点和点分别是和的中点， ∴点表示的数为=，点表示的数为 ①∴==7t+4； ②AB=, 当时，MN=39,AB=83,=5 ∴=. 【点睛】此题主要考查数轴上动点的应用，解题的关键是熟知数轴上的数运动的特点. 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： （1）写出点所对应的数； （2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？ 【答案】（1）1；（2）或2；（3）、之间的距离是1或7 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （（2）分①点P在点M的左边，②点P在点N的右边两种情况进行讨论即可求解； （3）分向左运动时和向右运动时两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）． 故点所对应的数是1； （2）∵MN之间的距离为4，P到M，N的距离之和为6， ∴当P在M的左边时，PM=1，PN=4+1=5 ∴P表示的数为-3-1=-4； 当P在N的右边时，PN=1，PM=4+1=5， ∴P表示的数为1+1=2； 故点P所对应的数是：或2； （3）①向左运动时：点对应的数是，点对应的数是， 点、之间的距离； ②向右运动时：点对应的数是，点对应的数是， 点、之间的距离； 综上所述，点、之间的距离是1或7． 【点睛】本题主要考查了数轴表示有理数以及数轴上两点间距离，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件求解． 例2（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）当点运动到点处时，求的值； （2）求的长（用含字母的代数式表示）． 【答案】（1）4；（2）8-2t或0或2t-8 【分析】（1）利用A，B两点的距离除以点P的运动速度即可； （2）当点P在点B左侧，点P与点B重合，当点P在点B右侧，三种情况分别求解． 【详解】解：（1）[6-（-2）]÷2=4， ∴当点运动到点处时，t=4； （2）由题意可得： AP=2t， 则点P表示的数为-2+2t， 则当点P在点B左侧时，PB=6-（-2+2t）=8-2t； 当点P与点B重合时，PB=0； 当点P在点B右侧时，PB=-2+2t-6=2t-8． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点距离的计算方法． 例3（24-25七年级上·天津河西·期末）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4． （Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______； 数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______； （Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离． 【答案】（Ⅰ）10；；（Ⅱ）当时，，；当时，，． 【分析】（Ⅰ）数轴上两点间的距离为数字大的减去数字小的差，数轴上到两点间的距离相等的点是这两个点的中点，根据中点坐标解题； （Ⅱ）根据题意，点P在点A的右侧，据此可解得AP的长，分两种情况讨论，当点P在点B的左侧，或当点P在点B的右侧时，分别根据数轴上两点间的距离解题即可． 【详解】（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为：； 数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为：， 故答案为：10；-1； （Ⅱ）根据题意，点P表示的数是：,因为点P在点A的右侧，故点P到点A的距离为：， 当点P在点B的左侧，即时，P点到点B的距离为：； 当点P在点B的右侧，即时，P点到点B的距离为：； 综上所述，当时，，；当时，，． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度； （2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）； （2）①∵ ∴ ∴动点从点运动至点时，； ②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为． 易知点落在线段段，依题意有: 解得: ∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为． （3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5 设时间为t时，MD=ND ①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t 则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2； ②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t 则MD=10-t，ND=13-t 即10-t=13-t,无解； ③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8) 则MD=10-t，ND=5-2(t-8) 即10-t=5-2(t-8)，解得t=11； ④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t 则MD=t-10，ND=21-2t 即t-10=21-2t，解得t=； ⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t 则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17； 综上所述，当秒时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 例2（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40． 【综合运用】（1）点B表示的数是__________． （2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离． （3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； （4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．    【答案】（1）－20；（2）100；（3）9个单位长度/秒；（4）PT－MN的值不变，值为30． 【分析】（1）根据AB=60，点A对应的数是40，得出点B对应的数；（2）根据AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（3）假设点R速度为a单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（4）分别表示出PT，MN的值，进而求出PT-MN的值； 【详解】解： （1）∵AB=60，点A对应的数是40， ∴点B对应的数为：40-60=－20； 故答案为-20； （2）∵BC：AC=4：7， ∴BC：AB=4：3， ∵AB=60， ∴BC=80， ∴AC=140， ∵点A对应的数是40， ∴点C对应的数为40-140=-100； ∴C到原点的距离为100； 故答案为100； （3）设R的速度为a个单位长度/秒，则P的速度为3a个单位长度/秒，Q的速度为（2a－5）个单位长度/秒； 由题意得：， 解得：， ， 答：Q的速度为9个单位长度/秒． （4）PT－MN的值不变； 理由如下：设运动时间为t 秒，则P：， T：， M：， O：0， R：， N：， PT， MN， PT－MN； 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握一元一次方程的应用，数轴是解题的关键. 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为8，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，当点P到达点B后立即返回，再以每秒3个单位长度的速度向左运动．设点P运动时间为t（s）． （1）当点P与点B重合时，t的值为 　 　； （2）当t＝7时，点P表示的有理数为 　 　； （3）当点P与原点距离是2个单位长度时，t的值为 　 　； （4）当BP＝3AP时，t的值为 　 　． 【答案】（1）；（2）；（3）或或或；（4）或 【分析】（1）求出的距离除以速度即可得出结果； （2）根据去时用时，再返回一秒所在的位置即可； （3）去时距原点2个单位长度的位置有两个，返回时距原点2个单位长度的位置也有两个，分别计算即可； （4）分去时和返回时讨论即可． 【详解】解：（1）， ∴点P与点B重合时：， 故答案为：； （2）， ，， ∴t＝7时，点P表示的有理数为：， 故答案为：； （3）由数轴可知距离原点2个单位长度的位置有和， 当从到到达位置时：， 当从到到达位置时：， 当从返回到达位置时：， 当从返回到达位置时：， 综上，当点P与原点距离是2个单位长度时，t的值为：或或或， 故答案为：或或或； （4）∵BP＝3AP，， ∴， ∴表示的数为：， 当点第一次到达时，， 当点第二次到达时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了数轴的点问题，有理数再数轴上的表示方法，数轴上两点之间的距离，正确掌握速度、时间、路程之间的关系是解本题的关键． 例2（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且． （1）求，，，的值； （2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，． 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解； （3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可； （4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可； 【详解】（1）∵， ∴， ∴，，，； （2）设点C运动速度为x，由题意得： ， 解得：， ∴点C的运动速度为每秒2个单位； （3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为， ∴，， ∵， ∴①时，，解得：； ②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：； ∴或20． （4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为； ∴A，C相遇时对应的数为：，，． 【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键． 例3（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）已知数轴上点与点之间的距的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点移动，设移动时间为秒． （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ． （2）用含的代数式分别表示点到点和点的距离： ， ． （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，立即以同样的速度返回点，在点开始运动后，当两点之间的距离为个单位长度时，求此时点表示的数． 【答案】（1），，；（2），；（3），，， 【分析】（1）根据点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，可得知A表示的数为，然后结合数轴的性质以及相反数的性质进一步求解即可； （2）根据题意可得PA相当于P点的运动距离，而PC可由AB−PA计算即可； （3）根据题意，分Q点到C点之前与到达C点返回两种情况进一步讨论即可． 【详解】（1）∵点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵点与点之间的距的距离为个单位长度，点在点的右侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为12， 故答案为：，，； （2）由题意可得：PA相当于P点的运动距离， ∴PA=， ∴PC=AB−PA=， 故答案为：，； （3）设、两点之间的距离为时，点的运动时间为秒， 此时点表示的数是． 当时，秒时点表示的数是， 则，或−， 解得m=7或5， ∴此时点表示的数是或； 当时，秒后点表示的数是， 则，或−=2， 解得或， ∴此时点表示的数是或． 综上，当、两点之间的距离为时，此时点表示的数可以是，，，． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法并加以分类讨论是解题关键. 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·福建福州·期中）已知数轴上有ABC三点，分别表示有理数﹣12，﹣5，5，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，其中PA表示点P到A的距离，PB表示点P与点B的距离，PC表示P到点C的距离． （1）当t＜7时，用含t的代数式分别表示PA，PB，PC； （2）当P运动到点B与点C之间时，①PA+PB是定值，②PC+PB是定值这两个说法中有一个说法是正确的，请指出哪个说法是正确的，并说明理由． 【答案】（1）t，7﹣t，17﹣t  （2）答案见解析 【分析】（1）t＜7时，点P在点A与B之间，PA、PB、PC很容易表达；（2）当点P在B、C之间时，PA+PB=2t-7是随t变化的． 【详解】（1）当t＜7时，PA＝t，PB＝7﹣t，PC＝17﹣t； （2）②PC+PB是定值正确； ∵当P运动到点B与点C之间时，PB＝t﹣7，PC＝17﹣t， ∴PB+PC＝（t﹣7）+（17﹣t）＝10， 故PB+PC是定值． 【点睛】这是一个在数轴上两点之间距离计算问题，关键要弄清楚点P运动的位置，能准确地用含t的代数式表达P与A、B、C的距离． 例2（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5. 【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出的值； （2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出 ，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算 即可； ③分类讨论. 试题解析： 解得： 故答案为 ① 解得： ②AP的中点F表示的数是 OB的中点E表示的数是 所以 所以 ③ 解得： ,解得： 解得： 例3（24-25七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 【答案】（1）6；（2）1；（3） 【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP，①当0≤t＜6时，BP＝6−t，BQ＝2t，得2t＝2（6−t），②当t≥6时，BQ＝2BP不成立； （3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：−2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt−（−2＋t），MQ＝4＋2t−xt，表示出2MP−MQ＝2[xt−（−2＋t）]−（2＋2t−xt）＝（3x−4）t，由当2MP−MQ的值与运动时间t无关时，得3x−4＝0，解方程即可． 【详解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， ∴AB＝|﹣2﹣4|＝6； （2）设P运动t秒时，BQ＝2BP， ①当0≤t＜6时，BP＝6﹣t，BQ＝2t， 2t＝2（6﹣t）， 解得t＝3， 点P对应的数是﹣2+1×3＝1； ②当t≥6时，BQ＝2BP不成立， 综上，点P对应的数是1； （3）点P、M、Q向运动t秒后，分别表示的数是：﹣2+t，xt，4+2t， ∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt， ∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t， ∵当2MP﹣MQ的值与运动时间t无关时， ∴3x﹣4＝0， 解得：． 【点睛】本题考查了数轴表示数的方法和意义，掌握数轴上两点之间的距离与这两点所表示的数之间的关系式解决问题的关键． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解； （2）根据材料阅读，可表示和，即可求解； （3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，          解得：； 当点Q到达点A返回时，此时， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴               ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 例2（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 例3（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A，B在数轴上所对应的数互为相反数，见解析 (2)①见解析；②当或时，的值与无关 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）利用绝对值的非负性即可求解； （2）①运动t秒后点在数轴上所表示的数为，由可得点在数轴上所表示的数为0，进一步可推出，即可求解；②分类讨论当点位于点的右侧时和当点位于点的左侧时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：点A，B在数轴上所对应的数互为相反数．理由如下： ， ，，， ，，， 点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． （2）解：①运动t秒后点在数轴上所表示的数为． 由（1）可知点A，B在数轴上所对应的数互为相反数． ， 点在数轴上所表示的数为0， ，即， ， ∵， ． ②点C从原点出发，运动秒后，点在数轴上表示的数为， ，． 当点位于点的右侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 当点位于点的左侧时，， ． 当，即时，的值与无关． 综上所述，当或时，的值与无关． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 例1（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)6， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； （3）解：如图，由题意得，，    ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 例2（2022七年级上·浙江·专题练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： (1)若数轴上数1表示的点与表示的点重合，则数轴上数表示的点与数 ___________表示的点重合． (2)若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ___________． ③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示） 【答案】(1)5 (2)①，②与2.5，③C表示的数是，D表示的数是 【分析】（1）根据数轴上表示数1的点与表示的点重合，得到原点为对称中心，即可得到所求； （2）①根据与1重合，得到中点为，即可得到所求；②求出7的一半，加上或减去即可得到A与B表示的数；③求出d的一半，加上或减去即可得到C与D表示的数． 【详解】（1）∵数轴上表示数1的点与表示的点重合， ∴原点为对称中心， ∴数轴上表示数的点与表示数5的点重合； 故答案为：5 （2）∵数轴上数表示的点与表示数1的点重合， ∴为对称中心， ①∵， ∴数轴上表示数3的点与数表示的点重合； ②AB的一半， ∵A在B的左侧， ∴A表示的数是， B两点表示的数， ∴A、B两点表示的数分别是：与2.5； ③CD的一半为， ∵C在D的左侧， ∴C表示的数是， D表示的数是． 故答案为：（①，②与2.5． 【点睛】本题考查了数轴，主要利用了两点间的距离的求解，对折以及线段中点的表示，读懂题目信息是解题的关键． 例3（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②；1010；③ 【分析】（1） ①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案； ②根据前边几次跳动得出规律，再将2021代入可得； （2） ①根据表示-1的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案； ②根据规律以及两点的距离为2018得出方程组，解出即可求得答案； ③通过来推出对应的实数的值，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）①∵向负方向移动3个单位长度为-3，向正方向移动2个单位长度为+2 ∴（﹣3）+（+2）＝﹣1 故选择：D． ②第1次向左跳1个单位为-1 第2次向右跳2个单位为1 第3次向左跳3个单位为-2 第4次向右跳4个单位为2 第5次向左跳5个单位为-3 第6次向右跳6个单位为3...... 可得出奇数次的数为，偶数次的数为 将2021代入得： 故2021次的数为-1011． （2）①∵表示-1的点与表示3的点重合 ∴翻折的点为 ∴点2021对应的点为 解得：n=-2019 故2021与表示-2019的点重合． ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2018，设A,B在数轴上所对应的数为a,b， ∴ 根据①得： 联合两式解得：a=-1008,b=1010 故A表示的点为-1008，B表示的点为1010． ③∵点A对应的点落在点B的右边，并且，A'在数轴上表示的数为m, ∴ ∴C点为 故C表示的数为-3． 【点睛】本题考查了数轴表示数的定义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 例2（23-24七年级上·天津南开·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 【答案】（1）；（2）①6，② 【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长； （2）①分别计算出第几次滚动后，小圆离原点的距离，比较作答；②根据计算总路程即可． 【详解】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是． （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，小圆离原点最远． ②， ∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键． 例3（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6． 【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可； （2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可； （3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可. 【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5， ∴点H表示的数为：， ∵两点之间的距离为12， ∴点D表示的数为：， ∵长方形的长是4个单位长度， ∴点A表示的数为：， 故答案为：； （2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x； ①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点， 则有， 解得x＝2 ； ②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇， 则有7﹣3x＝﹣9+4x 解得：x＝ 综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ； （3）设长方形ABCD运动的时间y为秒， ①当重叠部分为长方形EFCD时， DE=−7+2y−5= 2y−12 ∴ 2(2y−12) = 6，     解得：y = 7.5； ②当重叠部分为长方形CDHG时， HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y， ∴ 2(24−2y) = 6，     解得：y =10.5； 综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6. 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键. 数轴动点234568 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 【答案】A 【分析】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数． 【详解】解：设向右为正，向左为负，则 表示的数为+1， 表示的数为+3 表示的数为0 表示的数为-4 表示的数为+1…… 由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为．则第157次向右移动157个单位长度，；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以． 故在数轴上表示的数为159． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，正确理解题意，找出点在数轴上的运动次数与对应点所表示的数的规律是解题的关键． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t， 解得t=或， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数-3，点B表示数3，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当BP=3AQ时，点P在数轴上表示的数是( )   A．2.4 B．-1.8 C．0.6 D．-0.6 【答案】D 【分析】设t秒钟BP=3AQ，点P表示的数为：-3+t，点Q表示的数为：3-2t，列方程求出t的值，再求点P在数轴上表示的数即可. 【详解】解：设t秒钟BP=3AQ， ∴点P表示的数为：-3+t，点Q表示的数为：3-2t， ∴BP=3-（-3+t）=6-t，AQ=3-2t-(-3)=6-2t， ∵BP=3AQ， ∴6-t=3（6-2t） 解之：t=2.4 ∴OP=-3+2.4=-0.6 ∴点P表示的数为-0.6. 故答案为：D. 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴，正确的理解题意是解题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 【答案】2 或 10 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的差的绝对值，也等于两点之间的线段长度，进行解答即可． 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 5．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若为常数，则k为 ． 【答案】2 【分析】运动t秒后，点P在数轴上表示的数为-15+t，点M在数轴上表示的数是5+2t，点N在数轴上表示的数是9+4t，分别表示出PM=20+t，MN=2t+4，再代入，根据为常数，得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，点P在数轴上表示的数为-15+t，点M在数轴上表示的数是5+2t，点N在数轴上表示的数是9+4t， 则PM=20+t，MN=2t+4， 为常数， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据为常数列方程是解题关键． 7．（2024·河北保定·二模）如图，已知数轴上点表示的数为6，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点表示的数是 ； （2）运动1秒时，点表示的数是 ； （3）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 【答案】 0 5 【分析】（1）根据数轴与实数的一一对应关系，由AB的长，及点是数轴上在点A左侧的一点，可求出点B表示的数； （2）利用1秒后，点P表示的数=点A表示的数为-点P运动的路程，即可解题； （3）当点与点相遇时，即点与点表示的数相同，据此列一元一次方程，解一元一次方程即可解题． 【详解】解：（1）点A表示的数为6，点是数轴上在点A左侧的一点，两点间的距离为10， 点B表示的数为610=4， 故答案为：4； （2）运动1秒时，点P表示的数为：66=0， 故答案为：0； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为：66t, 点Q表示的数为：44t, 点与点相遇时，即点与点表示的数相同， 66t=44t, 2t=10， t=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查数轴、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式、正确列出一元一次方程是解题关键． 8．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 9．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)40或或 【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案； （2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可． 【详解】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点， 所以， 所以点表示的数为； （2）解：分三种情况： ①若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ②若点是点，的“中点”则点表示的数是：； ③若点是点，的“中点”则点表示的数是：． 故点表示的数为40或或． 【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P碰到挡板时，t的值为______； (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6； (3)4，5； (4)或 ． 【分析】（1）由绝对值的非负性即可得出结论； （2）求出点A与点B之间的距离为，再根据，即可求解； （3）当时，点P表示的有理数为，当时，点P到达挡板后从B点出发运动了1秒，即点P表示的有理数为； （4）分两种情况讨论：当时， ，当时，点P表示的数是 ，则有，分别解方程即可 ． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解：点A表示的数为，点B表示的数为8， ， 点P碰到挡板时，t的值为， 故答案为：6； （3）解：当时，点P表示的有理数为， 当时，点P表示的有理数为； 故答案为：4，5； （4）解：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等，理由如下： 当时，点P表示的数为， ， 解得， 当时，点P表示的数是 ， 则有， 解得， 综上所述，t的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上动点问题，解题的关键是能用含t的代数式正确的表示出点运动后所表示的数． 11（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点示数． (1)、两点之间的距离等于______； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______； (4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长． 【答案】(1)16 (2)8 (3)或 (4) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解． （2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解． （3）由题意可知，点C距离点B点较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再根据等式，去绝对值即可求解． （4）根据题意分类讨论：当时；当时；当时即可求解． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点示数，， A、两点之间的距离等于， 故答案为：． （2）的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示的点的距离之和， 只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小，即时，距离之和最小， 当时，， 的最小值为， 故答案为：． （3）设点表示的数是， 在数轴上点表示数，点示数， ，， ， ， 或， 解得或， 点表示的数是或， 故答案为或． （4）当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ； 当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ； 当时，如图： 点表示的数是：，点表示的数是， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论解决问题是解题的关键． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期末）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为． (1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　． (2)若满足，求． (3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数． 【答案】(1)9 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意可得，，则AB=9； （2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解； （3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故． ，两点之间的距离是， 故答案为：9； （2）①当在A左侧时， ∵， ∴， 解得： ②在A和之间时， ∵， 点不存在； ③点在点右侧时， ∵， ∵ 解得： 综上所述，m的值为或． （3）依题意得： 点对应的有理数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 13．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 【答案】(1)8 (2)2 (3)8或-4 【分析】（1）根据图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小即可求解； （2）若点Q是线段AB的中点，则根据中点为A，B两点的值相加除以2即可求解； （3）分两种情况讨论：若点Q在点B的右侧，若点Q在点A的左侧，根据题意列方程可得； 【详解】（1）由图可知，点Q在A，B两点之间时， 点Q到点A和点B的距离和最小，最小值是2+6=8； 故答案为：8； （2）若点Q是线段AB的中点，则 ， 故答案为：2； （3）分两种情况讨论： 若点Q在点B的右侧，由题意可得 x-6+x-（-2）=12． 解得x=8． 若点Q在点A的左侧，由题意可得 6-x+（-2）-x=12． 解得x=-4． 综上所述，x的值是8或-4． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，数轴上两点的中点的表示，以及线段的和差计算；解题的关键是画出数轴，找等量关系，根据题意列方程． 14．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，数轴的原点为O，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数是1，AB＝6，BC＝2，动点P、Q同时分别从A、C出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 　； （2）求t为何值时，点P与点Q能够重合？ （3）是否存在某一时刻t，使点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧？若存在，请求出满足条件的t值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-5，3；（2）t=4；（3）存在，t=，理由见解析． 【分析】（1）由点B对应的数及线段AB、BC的长，可找出点A、C对应的数； （2）根据点P、Q的出发点、速度及方向，由追击的等量关系列出含t的方程，解方程即可； （3）由题意得OP=OQ，据此列一元一次方程，解此方程即可． 【详解】解：（1）1-6=-5，1+2=3 即点A表示的数为 -5，点C表示的数为3， 故答案为：-5，3； （2）若点P与点Q能够重合，则AP-CQ=AC， 即3t-t=8 2t=8 t=4 答：当t=4时，点P与点Q能够重合． （3）存在，理由如下： 若点O为PQ中点，且点P与点Q在原点的异侧,即OP=OQ 5-3t=3+t 4t=2 t= 答：当t=时，点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，难度一般，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．（24-25七年级上·北京西城·期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是的奇点． 例如，点A表示的数为，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点是的奇点；又如，表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的奇点，但点D是的奇点． （1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是的奇点；数_______所表示的点是的奇点； （2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，．现有一动点H从点M出发向右运动，当H点运动到数轴上的什么位置时，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】（1）4，；（2），，， 【分析】（1）由题意直接根据奇点的定义可得的奇点则有和的奇点则有，进而分析计算即可； （2）根据题意分H是的奇点、H是的奇点、N是的奇点、N是的奇点四种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）设奇点为W，奇点所表示的数为x， 的奇点则有，即，解得：， 的奇点则有，即，解得：， 故答案为：4，； （2）设H所表示的数为y， 当H是的奇点，得，即，解得：， 当H是的奇点，得，即，解得：， 当N是的奇点，得，即，解得：, 当N是的奇点，得，即，解得：. 综上可得当H点为，，，，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点. 【点睛】本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果． 16．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点表示的数是－4，点表示的数是6，点到点和点的距离相等，动点从点沿——运动，回到点时运动停止，当点在原点左边时，速度是每秒2个单位，当点在原点右边时，速度是每秒1.5个单位，每当点走到点时，都要停顿1秒，设点出发秒时，点表示的数是． （1）在图中标出点，点所表示的数是 ． （2）当＝4.5时，＝ ；当＝7时，＝ ． （3）当＝ 时，＝3． （4）当满足 时，；当满足 时，． 【答案】（1）1；（2），；（3）2或12；（4）t≤t≤或≤t≤或t=或t=；或． 【分析】（1）根据题意得到点C是AB的中点； （2）、（3）根据点P的运动路程和运动速度列出方程； （4）分两种情况：点P在点C的左边有右边． 【详解】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是：． 故答案为：1； （2）由题意可知点P运动到0点需要时间为： 秒， ∴当t=4.5时，可知点P在C0上， ∴ ∴当t＝4.5秒时，点P到达点处． ∴， 当t=7时，可知P在A0上， ∴ ∴当t＝4.5秒时，点P到达点A处， ∴， 故答案为：，； （3）点P表示的数是， ∴①当P由B到A时， ∴秒， ②当P由A到B时， 可知秒， 故答案为：2或12； （4）∵， ∴或， ①当时， 根据（3）可知，≤t≤或≤t≤时满足要求， ②当时， 可得t=或t=时满足要求 综上所述，当t≤t≤或≤t≤，或t=或t=时，满足． 当2＜x＜5时， 当P由B到A时， x=2时，， x=5时， ∴， 当P由A到B时， x=2时，， x=5时，， ∴， 故答案为：t≤t≤或≤t≤或t=或t=；或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时，利用了数形结合的数学思想． 17．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）． （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？ （3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-12；；（2）2．25秒或2．75秒；（3）长度不变，画图见解析，． 【分析】（1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可． （2）分两种情况：①点P、Q相遇之前；②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可． （3）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时；②当点在点的左侧时，分别列式求解即可． 【详解】解：（1）数轴上点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：-12；． （2）设秒后，之间的距离恰好等于2， ①点，相遇前，由题意可得： ，解得， ②点，相遇之后，由题意可得： ，解得． 答：若点，同时出发，2．25秒或2．75秒时，，之间的距离恰好等于2． 故答案为：2．25秒或2．75秒． （3）线段的长度不发生变化，都等于10， ①当点在，两点之间运动时， ， ②当点在点的左侧时， ， 综上可得长度不变，且． 【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 【答案】（1）①－1；②－4；（2）t的值1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】解：（1）已知点M表示数-7，点N表示数2，由题意可设N到美好点的距离为x，则(M，N)的美好点为2x+x=2-(-7)，3x=9，x=3 ∴①(M，N)的美好点为-7+2×3=-1；②(N，M)的美好点为-7+3=-4； （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP=2MN时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN=2MP时，NP=13.5，点P对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN=2MP时，NP=4.5，因此t=2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN=2MN时，NP=18，因此t=9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN=2PN时，NP=4.5，因此t=2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查了实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（24-25七年级上·四川·阶段练习）阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)2或； (3)当或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由点E是的2倍点构建方程，求解即可； （3）对动点H的位置分两种情况讨论：当点在之间时：，①若点H是的2倍点，②若点H是的2倍点，当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，对于三种情况分别构建方程求解． 【详解】（1）∵，，， ∴点A是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点， 故答案是，． （2）设点表示的数是，则，， ∵E是的2倍点， ∴. ∴． 得或 解得，或 ∴点E表示的数是2或． （3）由题知，， 当点在之间时： ①若点H是的2倍点，则,得， 解得； ②若点H是的2倍点，则,得， 解得； 当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，则,得， 解得． 综上，或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【点睛】本题主要考查了数轴两点间距离的表示、一元一次方程求解；掌握两点间距离的表示是解题的关键． 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）在数轴上有三个点，，，为原点，点表示数，点表示数，点表示数．且、满足． （1）填空：　　　　 ；　　　　． （2）点把线段分成两条线段，其中一条是另一条线段的3倍，则的值为：　　　　 ． （3）着为2，动点从点出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴负方向运动，同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度速度沿数轴正方向运动，求运动多少秒时点把线段分成两条线段且其中一条是另一条线段的3倍？ 【答案】（1）-6，3；（2）18或2；（3） 【分析】（1）根据非负性即可得出答案； （2）先求出OA的长度，再分情况进行讨论①当OA=3OB时；②当OB=3OA时求出OB的值即可得出答案； （3）设时间为t，根据两点间的距离公式求出此时PB和QB的长度，分情况进行讨论①当PB=3QB时；②当3PB=QB时，解方程即可得出答案. 【详解】解：（1）∵ ∴ （2）由（1）可得OA=6 ①当OA=3OB时，OB=3×6=18，所以b的值为18； ②当OB=3OA时，OB=2，所以b的值为2； 故答案为18或2. （3）设运动时间为t秒，此时P的坐标为-6-2t，Q的坐标为3+3t 则PB=8+2t，QB=1+3t ①当PB=3QB时，即8+2t=3(1+3t)，解得：t= ②当3PB=QB时，即3(8+2t)=1+3t，解得：t=(不合题意，舍去) 故答案为. 【点睛】本题考查的是数轴的动点问题，难度较高，需要理解和记忆两点间的距离公式. 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动点模型 数轴中的动点问题属于七年级上册必考的压轴题型，主要是以数轴作为载体，运用分类讨论的方法和数形结合的做题思维，综合考查学生对数轴上的动点问题的分析与判断能力，从而掌握数形结合的基本思维；在做题时，需要我们掌握点移动的表示方法，例如左移减，右移加；然后针对含时间t的动点问题，学会用t表示距离和动点，最后根据题意列出等量关系，求解即可得到答案（要考虑求出来的t值是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 30 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2024·安徽合肥·一模）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示数﹣2，已知点A是数轴上的点，请参照图示，完成下列问题： (1)如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是______； (2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是______； (3)如果点A表示数a，将点A向左移动m（m＞0）个单位长度，再向右移动n（n＞0）个单位长度，那么终点表示数是多少（用含a、m、n的式子表示）？ （2024·浙江台州·一模）操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题： （1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点： （2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点． ①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ； ②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数； ③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．    （2024·浙江·模拟预测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． （1）折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是________； （2）如果数轴上两点之间的距离为12，经过（1）的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是____； （3）如图2，点表示的数分别是、4，数轴上有点，使得，那么点表示的数是__________； （4）如图2，若将此纸条沿两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数______．（用含的代数式表示） ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 例2（23-24七年级上·浙江杭州·期末）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2019．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是 ． 例3（2024·河北石家庄·二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为 ；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为 ． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·江西南昌·期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15． (1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____． (2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点． ①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示） ②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动. (1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇? (2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度; (3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.    例3（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知数轴上点，，对应的数分别为-2，0，6，点是数轴上的一个动点． （1）设点对应的数为. ①若点到点和点的距离相等，则的值是 ； ②若点在点的左侧，则 ， （用含的式子表示）； （2）若点以每秒1个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒12个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，点和点分别是和的中点，设运动时间为． ①求的长（用含的式子表示）； ②当时，请直接写出的值． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： （1）写出点所对应的数； （2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？ 例2（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，点，在数轴上表示的数分别为-2与+6，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为． （1）当点运动到点处时，求的值； （2）求的长（用含字母的代数式表示）． 例3（24-25七年级上·天津河西·期末）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4． （Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______； 数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______； （Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1) ______，______，______； (2)①动点从点运动至点时，求的值； ②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点为线段中点，当________秒时，． 例2（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB=，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40． 【综合运用】（1）点B表示的数是__________． （2）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离． （3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度； （4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT－MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．    模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·吉林·阶段练习）如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为8，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，当点P到达点B后立即返回，再以每秒3个单位长度的速度向左运动．设点P运动时间为t（s）． （1）当点P与点B重合时，t的值为 　 　； （2）当t＝7时，点P表示的有理数为 　 　； （3）当点P与原点距离是2个单位长度时，t的值为 　 　； （4）当BP＝3AP时，t的值为 　 　． 例2（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且． （1）求，，，的值； （2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 例3（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）已知数轴上点与点之间的距的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点移动，设移动时间为秒． （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ． （2）用含的代数式分别表示点到点和点的距离： ， ． （3）当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，立即以同样的速度返回点，在点开始运动后，当两点之间的距离为个单位长度时，求此时点表示的数． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·福建福州·期中）已知数轴上有ABC三点，分别表示有理数﹣12，﹣5，5，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，其中PA表示点P到A的距离，PB表示点P与点B的距离，PC表示P到点C的距离． （1）当t＜7时，用含t的代数式分别表示PA，PB，PC； （2）当P运动到点B与点C之间时，①PA+PB是定值，②PC+PB是定值这两个说法中有一个说法是正确的，请指出哪个说法是正确的，并说明理由． 例2（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝0． （1）a＝________，b＝_________； （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）． ①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究的值是否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示． ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值． 例3（24-25七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，记AB＝|a﹣b|． （1）求AB的值； （2）如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当BQ＝2BP时，P点对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M从原点与P、Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（1＜x＜2），若在运动过程中，2MP—MQ的值与运动的时间t无关，求x的值． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 例2（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 例3（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知数轴上A，B，C三点所对应的数分别是a，b，c．且a，b，c满足：，为正整数． (1)判定点A，B在数轴上所对应的数的关系，并说明理由． (2)设点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动秒． ①当时，试说明，并写出推理过程； ②在①的前提下，若点继续沿数轴向左运动，在运动过程中，是否存在有理数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 例1（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 例2（2022七年级上·浙江·专题练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题： (1)若数轴上数1表示的点与表示的点重合，则数轴上数表示的点与数 ___________表示的点重合． (2)若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ___________． ③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示） 例3（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______． A．（+3）+（+2）＝+5       B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5     D．（﹣3）+（+2）＝﹣1 ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是　　． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示　的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示　　B点表示　　． ③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 例2（23-24七年级上·天津南开·阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是_____（结果保留）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8 ①第_____次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留） 例3（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12． （1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________． （2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，． （3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间． 数轴动点234568 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（ ） A．159 B．-156 C．158 D．1 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，点A，P，Q，B在一条不完整的数轴上，点A表示数-3，点B表示数3，若动点P从点A出发以每秒1个单位长度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度向终点A匀速运动，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当BP=3AQ时，点P在数轴上表示的数是( )   A．2.4 B．-1.8 C．0.6 D．-0.6 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 5．（2024七年级上·山东·专题练习）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，动点A，B，C分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，若为常数，则k为 ． 7．（2024·河北保定·二模）如图，已知数轴上点表示的数为6，点是数轴上在点左侧的一点，且、两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点表示的数是 ； （2）运动1秒时，点表示的数是 ； （3）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点运动 秒时，点与点相遇． 8．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 9．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．    (1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数； (2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数． 10．（24-25七年级上·吉林·期中）已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）． (1)直接写出a、b的值，______，______； (2)点P碰到挡板时，t的值为______； (3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______； (4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由． 11（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点示数． (1)、两点之间的距离等于______； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______； (4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期末）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为． (1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　． (2)若满足，求． (3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数． 13．（24-25六年级下·山东威海·期末）已知数轴上的点A，B所对应的数分别为 -2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． (1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ； (2)若点Q是线段AB的中点，则x的值是 ； (3)若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值． 14．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，数轴的原点为O，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数是1，AB＝6，BC＝2，动点P、Q同时分别从A、C出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的数为 　 　，点C表示的数为 　 　； （2）求t为何值时，点P与点Q能够重合？ （3）是否存在某一时刻t，使点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧？若存在，请求出满足条件的t值．若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级上·北京西城·期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是的奇点． 例如，点A表示的数为，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点是的奇点；又如，表示的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是的奇点，但点D是的奇点． （1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是的奇点；数_______所表示的点是的奇点； （2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，．现有一动点H从点M出发向右运动，当H点运动到数轴上的什么位置时，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点？ 16．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，在数轴上，点表示的数是－4，点表示的数是6，点到点和点的距离相等，动点从点沿——运动，回到点时运动停止，当点在原点左边时，速度是每秒2个单位，当点在原点右边时，速度是每秒1.5个单位，每当点走到点时，都要停顿1秒，设点出发秒时，点表示的数是． （1）在图中标出点，点所表示的数是 ． （2）当＝4.5时，＝ ；当＝7时，＝ ． （3）当＝ 时，＝3． （4）当满足 时，；当满足 时，． 17．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）． （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？ （3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期末）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数-1，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数-7，点N表示数2． （1）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒，当点P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值． 19．（24-25七年级上·四川·阶段练习）阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 20．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）在数轴上有三个点，，，为原点，点表示数，点表示数，点表示数．且、满足． （1）填空：　　　　 ；　　　　． （2）点把线段分成两条线段，其中一条是另一条线段的3倍，则的值为：　　　　 ． （3）着为2，动点从点出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴负方向运动，同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度速度沿数轴正方向运动，求运动多少秒时点把线段分成两条线段且其中一条是另一条线段的3倍？ 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$