专题07 与等腰三角形有关的常用思想方法（举一反三专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形，以方程、整体、分类讨论三大思想为主线，构建“题型-方法-变式”三维训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程思想|例1+3变式|设未知数列方程，利用内角和定理建立等量关系|基于等腰三角形等边对等角性质，将角度关系转化为方程求解| |整体思想|例2+3变式|整体代换角度，简化多角关系计算|结合等腰三角形性质与角平分线、垂直平分线性质，构建角的整体关系| |分类讨论思想|6题型（例3-10+18变式）|按腰底、高位置、中线分周长等情境分类，避免漏解|围绕等腰三角形不确定性（边、角、图形位置），通过分类构建完整解题逻辑链|

专题07 与等腰三角形有关的常用思想方法（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 方程思想求等腰三角形中的角度】 1 【题型2 整体思想求等腰三角形中的角度】 5 【题型3 分类讨论思想求等腰三角形的个数】 9 【题型4 腰与底不明时利用分类讨论思想解决】 12 【题型5 】 15 【题型6 高在形内或形外不明时利用分类讨论思想解决】 18 【题型7 遇中线时利用分类讨论思想解决】 22 【题型8 遇垂直平分线时利用分类讨论思想解决】 25 【题型9 遇动点时利用分类讨论思想解决】 28 【题型10 构造等腰三角形时利用分类讨论思想解决】 33 【题型1 方程思想求等腰三角形中的角度】 【例1】如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解答的关键．设，根据等腰三角形的等边对等角的性质得到，再根据三角形的内角和为求得x值即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得，即， 故选：C 【变式1-1】如图，在中，，，分别是，上一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可以设．利用三角形的内角和构建方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 设． ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题根据新定义，结合等腰三角形性质分类讨论，再利用三角形内角和定理计算，结合锐角三角形的条件舍去不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：设等腰中，，顶角为，底角．根据新定义，分情况讨论如下： 情况1：二分角是顶角的角平分线与一腰的夹角，由定义得， 解得， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 情况2：二分角是底角的角平分线与一腰的夹角． 子情况2.1：二分角是底角的角平分线与该底角所在腰的夹角，可得， 解得， 顶角， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 子情况2.2：二分角是底角的角平分线与另一腰的夹角，即夹角为 设，则，底角平分线分得的角为， 由三角形内角和定理，得， 代入整理得，无符合题意的正解； 若该夹角的邻补角为， 解得，为钝角三角形，不符合题意，舍去． 综上，等腰顶角的度数为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知为等腰三角形，且，为腰边的高，为的角平分线，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分为锐角和为钝角进行讨论，再结合高的位置分情况讨论，结合等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余和角平分线的定义计算的度数． 【详解】设， ∵， ∴． 情况1：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 情况2：为锐角，高在内部，且，在边上时，如图， ∵， ∴， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得，不符合题意； 情况3：为钝角，高在外部，在的延长线上，如图， ∵， ∴，， 在中，，则， ∵平分， ∴， 由，得： ， 解得， 即． 综上，的度数为或． 【题型2 整体思想求等腰三角形中的角度】 【例2】如图，点在内部，，点在上，垂直平分，若，则__． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和已知得到，得到，进而得到，最后等腰三角形的三线合一的性质可求得． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握已经学过的定理性质． 【变式2-1】如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内部一点，DB＝DC，点E是边AB上一点，若CD平分∠ACE，∠AEC＝100°，则∠BDC＝_____°． 【答案】80 【分析】设∠ACD=∠DCE=x，∠ECB=y，利用三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题． 【详解】解：设∠ACD=∠DCE=x，∠ECB=y， ∵AB=AC，DB=DC， ∴∠ABC=∠ACB=2x+y，∠DCB=∠DBC=x+y， ∵∠AEC=∠ECB+∠EBC， ∴2x+2y=100°， ∴∠BDC=180°-（∠DCB+∠DBC）=180°-2（x+y）=80°． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【变式2-2】如图，在和中，，，，连接，若点、D、在同一直线上，则的度数为______°． 【答案】50 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先判断出，得出，，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：50． 【变式2-3】如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（     ） A．118° B．128° C．126° D．136° 【答案】B 【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA=CB，CE=CD，判定，可得∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=α，则∠BDE=72°−α，∠CEB=92°−α，∠BED=∠DEC−∠CEB=72°−(92°−α)=α−20°，即可得到△BDE中，∠EBD=180°−(72°−α)−(α−20°)=128°． 【详解】如图，连接CE， ∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C， ∴CA=CB，CE=CD， ∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC， ∴∠ACB=∠ECD=36°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，即∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中， CA=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴∠AEC=∠BDC， 设∠AEC=∠BDC=α，则∠BDE=72°−α，∠CEB=92°−α， ∴∠BED=∠DEC−∠CEB=72°−(92°−α)=α−20°， ∴在△BDE中，∠EBD=180°−(72°−α)−(α−20°)=128°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【题型3 分类讨论思想求等腰三角形的个数】 【例3】如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有___个． 【答案】10 【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图所示： ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想． 【变式3-1】如图，直线a、b相交于点O，，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有_____个. 【答案】4 【分析】以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为,从这三方面考虑点B的位置即可. 【详解】解：①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个；③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，所以B点总共有4个. 故答案为4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键. 【变式3-2】如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有________个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先说直线上的所有点都能使一定是等腰三角形；再分、、三种情况确定点P即可解答． 【详解】解：∵直线是边的垂直平分线， ∴直线上存在点到点A、B的距离相等，即直线上的所有点都能使一定是等腰三角形； ∵是等腰三角形， ∴如图：当时，点P为线段的垂直平分线与直线l的交点； 如图：当时，以A为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 如图：当时，以C为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 综上，满足条件的点的个数共有5个， 故答案为：5． 【题型4 腰与底不明时利用分类讨论思想解决】 【例4】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时，则， ∵， ∴ 如图所示，当时，则； 综上所述，的度数为或或， 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东聊城·期末）已知是等腰三角形，若，则的周长是 _______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形定义分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，底边长为，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，底边长为，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时的周长为． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）若等腰的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分边长8为腰长和底边长两种情况，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件判断能否构成三角形，并计算对应的底边长与其腰长的比值． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰三角形周长为， ∴底边长为， ∴此时三边长为， ∵， ∴能构成三角形，符合题意 ∴底边长与腰长的比值为； ② 当为底边长时， ∵等腰三角形周长为， ∴腰长为 ， ∴此时三边长为， ∵ ∴能构成三角形，符合题意， ∴底边长与腰长的比值为； 综上，底边长与腰长的比值为或． 【变式4-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【题型5 】 【例5】（25-26七年级上·山东威海·期中）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是______． 【答案】或 【分析】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 设，顶角为，或设三角形的底角为，顶角为，根据三角形的内角和为，得出答案． 【详解】解：①设，顶角为，则， 解得：； ②设三角形的底角为，顶角为，则， 解得：， ； 三角形的“可爱角”应该是或． 故答案为：或． 【变式5-1】若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】40°或80° 【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数． 【详解】解：①当较大的角为顶角，设这个角为x°， 则：x+2(x-30)=180 x=80； ②当较大的角为底角，设顶角为y°，则： y+2(y+30)=180 y=40， 答：等腰三角形的顶角为80°或40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角，需分情况进行讨论，这是解答问题的关键． 【变式5-2】若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）． A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解． 【详解】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且， 情况一：当∠B是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°， 此时可爱角为∠A=72°， 情况二：当∠C是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴4∠C=180°，即∠C=45°， 此时可爱角为∠A=45°， 故选：C． 【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°． 【变式5-3】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【分析】 设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】 解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 【题型6 高在形内或形外不明时利用分类讨论思想解决】 【例6】等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____． 【答案】65°或115° 【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时，②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出其顶角的大小． 【详解】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知，， ； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知，， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，设等腰三角形的底角为，根据题意，腰上的高与另一腰的夹角也为，由于等腰三角形两底角相等，可分为两种情况：①锐角三角形；②钝角三角形讨论即可得到答案． 【详解】解：设等腰三角形的底角为，由题可得：腰上的高与另一腰的夹角也为， ∵等腰三角形两底角相等，可分为两种情况： ①锐角三角形： 由图可知，此时不满足题意，故舍去； ②钝角三角形： 由图可得：，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 【变式6-3】等腰三角形的顶角是，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况：当高在等腰三角形内时；当高在等腰三角形外时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当高在等腰三角形内时，如图：    在中，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当高在等腰三角形外时，如图：    在中，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于， 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，分两种情况讨论是解题的关键． 【题型7 遇中线时利用分类讨论思想解决】 【例7】在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵腰上的中线，可设，则， 由题意得：当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， 当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个三角形的底边长为或， 故答案为：或． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握利用等腰三角形的性质，分情况讨论中线所分周长的两部分，结合三角形三边关系验证结果是解题的关键． 本题的解题思路是设出腰长和底边长，分两种情况列方程求解． 【详解】由题意得：，即． 分两种情况： ①若，则， ， 即； 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； ②若，则， ， 即， 与联立， 解得， 三边长，，满足三角形三边关系； 综上所述，的底边长为或． 故答案为：或． 【变式7-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为______． 【答案】18cm或12cm 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的腰长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm. 根据题意得 ，或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此三角形的腰长为18cm或12cm. 故答案为：18cm或12cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【题型8 遇垂直平分线时利用分类讨论思想解决】 【例8】（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 【答案】或 【分析】由于交直线，点的位置不确定，需分情况讨论求解． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， 点在线段上， ； ②当点在的延长线上时，如图2， 是的垂直平分线， ， 又， 在中，由三角形内角和定理得， ， ； 综上所述，的度数为或． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 【变式8-2】已知中，，的垂直平分线交于，和的周长分别是和，则的腰和底边长分别为_____． 【答案】， 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得到，可知两三角形周长差为，结合条件可求得腰长，再由周长可求得，可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在线段的垂直平分线上， ， ， 且， ， ， ， 即等腰三角形的腰为，底为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【变式8-3】如图，中，是的垂直平分线，若的周长为，且一边长，求的周长． 【答案】的周长为或． 【分析】根据线段垂直平分线的性质来进行周长的转换，将的周长转换为的一条腰的长度加上底边的长，之后分腰长为6和底长为6两种情况来计算即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 若， 则， ∴的周长． 若， 则， ∴的周长． 综上，的周长为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形和线段的垂直平分线，解题的关键是是等腰三角形的边长这里需要分情况讨论． 【题型9 遇动点时利用分类讨论思想解决】 【例9】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为___________． 【答案】或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、解一元一次方程．解决本题的关键是根据等腰三角形中有两条边相等把几何问题转化为方程求解，本题中还要注意运用分类讨论的思想上，要分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论．当点在点的左侧时，根据可得方程，解方程求出值即可；当点在点的右侧时，根据，可知是等边三角形，所以也有，可得方程，解方程求出即可． 【详解】解：如下图所示， 当点在点的左侧时，设运动时是等腰三角形， ， ， 若是等腰三角形， 则有， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 如下图所示， 当点在点的右侧时，设运动时是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【变式9-1】如图，中，，，．有一动点P从点C开始沿方向以的速度运动到点A后停止运动，当运动时间为________秒时，是等腰三角形．    【答案】4或 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 当点在上时，没有可能；当点在上时，分两种情况进行讨论． 【详解】解：中，，，， ； 当点P在上时，不存在满足条件的等腰三角形； 当点在上时，时， ；    当时，如图所示，    ∵ ∴， ， ， ， ， 综上所述，或秒时，是等腰三角形． 【变式9-2】如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为_______． 【答案】2.4或4 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分以下两种情况： （1）当点在线段上时，，， 当是等腰三角形时， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，即， 解得； （2）当点在的延长线上时，此时，，， 当是等腰三角形时，只能， ∴， 解得， 故答案为：2.4或4． 【题型10 构造等腰三角形时利用分类讨论思想解决】 【例10】如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则__________； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是__________． 【答案】 或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）过D作于G，于H，先由角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定与性质，结合四边形的内角和为求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故答案为：； （2）过D作于G，于H，则，， 如图，若，，则， ∴， ∵， ∴； 若，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，符合条件的的度数为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质以及四边形的内角和定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【变式10-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或 【分析】先得出，，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在两个全等的等腰三角形和中，， ∴，， ①如图1，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ③如图3，当时，为等腰三角形， ∴， ∴， ∴，此时与重合，不符合题意，舍去； 综上，的度数为或． 【变式10-2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论：当时，得到，求出；当时，得到，求出；当时，此时P与B重合，因此，于是得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 此时P与B重合，因此， 综上所述，当夹角或，是等腰三角形． 【变式10-3】如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①当点P在上，时， ∵，， ∵， ∵， ∴， ∴； ②当点P在上，时， ∵，， ∵， ∵， ∴， ∴； ③当点P在上，时， 连接，过点D作于点M，于点N， ∵，， ∵， ∵， ∴， ∴，   ∵为的中点，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ④当点P在上，时， 由③可得，， ∴， 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握“等边对等角”，三角形的一个外角等于于它不相邻的两个内角之和，三角形的内角和为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 与等腰三角形有关的常用思想方法（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 方程思想求等腰三角形中的角度】 1 【题型2 整体思想求等腰三角形中的角度】 2 【题型3 分类讨论思想求等腰三角形的个数】 3 【题型4 腰与底不明时利用分类讨论思想解决】 4 【题型5 】 4 【题型6 高在形内或形外不明时利用分类讨论思想解决】 5 【题型7 遇中线时利用分类讨论思想解决】 5 【题型8 遇垂直平分线时利用分类讨论思想解决】 5 【题型9 遇动点时利用分类讨论思想解决】 6 【题型10 构造等腰三角形时利用分类讨论思想解决】 7 【题型1 方程思想求等腰三角形中的角度】 【例1】如图，在中，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，分别是，上一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【变式1-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知为等腰三角形，且，为腰边的高，为的角平分线，若，则的度数为________． 【题型2 整体思想求等腰三角形中的角度】 【例2】如图，点在内部，，点在上，垂直平分，若，则__． 【变式2-1】如图，△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内部一点，DB＝DC，点E是边AB上一点，若CD平分∠ACE，∠AEC＝100°，则∠BDC＝_____°． 【变式2-2】如图，在和中，，，，连接，若点、D、在同一直线上，则的度数为______°． 【变式2-3】如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=92°，则∠EBD的度数为（     ） A．118° B．128° C．126° D．136° 【题型3 分类讨论思想求等腰三角形的个数】 【例3】如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有___个． 【变式3-1】如图，直线a、b相交于点O，，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有_____个. 【变式3-2】如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有________个． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【题型4 腰与底不明时利用分类讨论思想解决】 【例4】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，D为直线上异于B，C的一点．若是等腰三角形，则的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东聊城·期末）已知是等腰三角形，若，则的周长是 _______． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）若等腰的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（     ） A． B． C．或2 D．或 【变式4-3】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【题型5 】 【例5】（25-26七年级上·山东威海·期中）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是______． 【变式5-1】若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为______． 【变式5-2】若中刚好有 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）． A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式5-3】等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【题型6 高在形内或形外不明时利用分类讨论思想解决】 【例6】等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角恰好等于等腰三角形的底角，那么这个三角形顶角的大小为______． 【变式6-2】若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 【变式6-3】等腰三角形的顶角是，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（　　） A． B． C． D． 【题型7 遇中线时利用分类讨论思想解决】 【例7】在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为______． 【变式7-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，边上的中线将的周长分为和的两部分，则的底边长为______． 【变式7-3】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为______． 【题型8 遇垂直平分线时利用分类讨论思想解决】 【例8】（25-26八年级上·湖北荆门·阶段检测）等腰，线段的垂直平分线交于点D，交直线于点E，若，则的度数是_____________ ． 【变式8-1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为________． 【变式8-2】已知中，，的垂直平分线交于，和的周长分别是和，则的腰和底边长分别为_____． 【变式8-3】如图，中，是的垂直平分线，若的周长为，且一边长，求的周长． 【题型9 遇动点时利用分类讨论思想解决】 【例9】（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为___________． 【变式9-1】如图，中，，，．有一动点P从点C开始沿方向以的速度运动到点A后停止运动，当运动时间为________秒时，是等腰三角形．    【变式9-2】如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为_______． 【题型10 构造等腰三角形时利用分类讨论思想解决】 【例10】如图，在等腰三角形中，，，为的中点． （1）连结，则__________； （2）点在上，，若点是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是__________． 【变式10-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将两个全等的等腰三角形和的顶角顶点重合，且．点、分别在的两侧，与交于点，分别与、交于点、．当为等腰三角形时，的度数为______． 【变式10-2】（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在等腰三角形纸片中，，，将一块含角的直角三角形纸片（，）按如图所示的方式放置，顶点在线段上滑动（不与点重合），的斜边始终经过点，直角边交于点，将与的夹角记为（）．在点滑动的过程中，当夹角________，是等腰三角形． 【变式10-3】如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $