3.4.2 分段型模型解决实际问题（基础版）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 同步练（基础版）聚焦高中数学分段型模型实际应用，以"基础理解-综合应用"分层设计，通过生活情境题培养数学建模与运算能力，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|分段函数概念、解析式直接应用|单选1（行程距离）、填空10（水费计算）等基础题，强化概念辨析| |综合应用|多情境模型构建、逆向求解|解答题13（利润函数最值）、多选题7（促销策略比较），提升实际问题转化能力|

3.4.2 分段型模型解决实际问题 解析版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 1、 单选题 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 3．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，则元可得元购物券，再购物元可得元购物券，故可得结论． 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 4．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为，水价为元， 则， 整理得到：， 当时，；时，；时，. 故甲户本月缴纳的水费为54元，则用水量应满足， 令，解得，即甲用户该月的用水量为. 故选：D 5．（25-26高一上·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 【详解】因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象． 【详解】设行进的速度为 ，行走的路程为， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②． 故选：A． 2、 多选题 7．（24-25高三上·河南·阶段检测）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 8．（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【分析】根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出旅游的人数. 【详解】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 9．（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件，分，，三种情况，再结合题设条件，即可求解. 【详解】当万元时，由题知， 当万元时，由题知， 当元时， 由题知， 综上所述，A、B、C正确，D错误， 故选：ABC. 3、 填空题 10．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过，按每立方米m元收费；月用水量超过，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月交水费16m元，则该户这个月的实际用水量为________． 【答案】13 【分析】根据已知得出交费y元与实际用水量满足的分段函数，再根据水费代入求解. 【详解】由已知得，该户每月交费y元与实际用水量满足的关系式为 由，得，所以． 解得． 答案：13. 11．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 【答案】，且 【分析】根据题意，分析可得，变形后可得出答案 【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量， 则，且． 故答案为：，且 12．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元. 【答案】 【分析】由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，元现金可送元购物券，，可获得元购物券，，又可获得元购物券，故可得结论. 【详解】由题意可知，，元现金可送元购物券， 把元购物券当作现金加上元现金可送元购物券， 再把元购物券当作现金加上元现金可获送元购物券， 所以最多可获赠购物券(元). 故答案为： 四、解答题 13．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 14．（25-26高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 15．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4.2 分段型模型解决实际问题 试卷版（基础版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 1、 单选题 1．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 3．（24-25高一上·贵州铜仁·期中）国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过的部分但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 甲用户某月缴纳的水费为54元，则甲用户该月的用水量（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 5．（25-26高一上·北京·期中）“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 2、 多选题 7．（24-25高三上·河南·阶段检测）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 8．（25-26高一上·贵州遵义·期中）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 9．（25-26高一上·重庆·期中）某国超额累进税率分五档，年收入中不超过万元的部分，税率为，超过万元至万元的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万至万的部分，税率为，超过万的部分，税率为，纳税所得额的计算公式为：纳税所得额年收入税率.若张某年收入在到之间徘徊，下列函数可能可以计算他的交税数额的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 10．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过，按每立方米m元收费；月用水量超过，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月交水费16m元，则该户这个月的实际用水量为________． 11．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 12．端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计________元. 四、解答题 13．（25-26高一上·云南·阶段检测）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 14．（25-26高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 15．某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 试卷第1页，共3页 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