第15章轴对称【等边三角形与手拉手】题集2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形与全等综合，以题链形式构建从性质到判定再到动态应用的知识逻辑，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等与特殊三角形|6题|等边三角形共点/共线背景下的全等证明、中点连线性质、动态旋转问题|以等边三角形性质为基础，通过全等判定（SAS）推导线段/角关系，延伸至中位线与动态几何应用|

和均为等边三角形，三点共线． （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （）为等边三角形； （） ； （）平分． 1. 如图，已知和均为等边三角形，连接、，作于点， 于点，求证：为等边三角形． 2. 已知， 均为等边三角形，且在延长线上，连接，，取中点 ，中点，连接，， ． 证明：为等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证：． （ 3 ）判断的形状并说明理由． 4. 如图，点、、在同一直线上，， 都是等边三角形． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若 ，分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 5. 如图，和都是等边三角形， ≌，将绕点任意旋转一个角度得如图，分别取、的中点 、，连结 、 、．请判断的形状，并证明你的结论． 6. 如图，等边三角形与等边三角形共点于 ，连接 、，和的交点为和 的交点为 . FE （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． B A C 图 （ 3 ）如图， 是 中点，是中点，求证：是等边三角形． FE M N C B A 图 $ 和均为等边三角形，三点共线． （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （）为等边三角形； （） ； （）平分． 1. 如图，已知和均为等边三角形，连接、，作于点， 于点，求证：为等边三角形．证明见解析． ∵ 和 均为等边三角形， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ， ， ， 即 在 和 ， 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴在 ≌ （ ， ）， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ∴即 ∴ ≌ ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 【知识点】SAS 【能力】推理论证能力 2. 已知， 均为等边三角形，且在延长线上，连接，，取中点 ，中点，连接，， ． 证明：为等边三角形． 证明见解析． ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 手拉手模型易知 ， ， ， ， ≌ ， ， ， ≌ ， 绕点 旋转得 ，旋转角 ，故 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】旋转的性质 【知识点】SAS 3. 如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证：． （ 3 ）判断的形状并说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） 是等边三角形，证明见解析． （ 1 ）∵ ∴在 ， 和 ， 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴在 ≌ ≌ （ ）． ， ． ， ． 和 ， 中， ， ∴ ∴ （ 3 ）∵ ∴ ≌ （ ）， ． ， 是等边三角形． ， 【知识点】等边三角形与全等 4. 如图，点、、在同一直线上，， 都是等边三角形． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若 ，分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 是等边三角形． （ 1 ）∵ ∴ ∴在 、 ， 都是等边三角形， ， ，即 ， ， 和 中 ， ∴ ∴ ≌ （ ）， （ 2 ） ． 是等边三角形，理由为： 证明：∵ ∴ ∵ ∴在 ≌ ， ， ， 和 ． 、 分别是 、 的中点， 中 ， ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ， ． 是等边三角形． 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的判定 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 5. 如图，和都是等边三角形， ≌，将绕点任意旋转一个角度得如图，分别取、的中点 、，连结 、 、．请判断的形状，并证明你的结论． 为等边三角形． ∵ ≌ ， ∴ 且 ， ∵在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， 且 ， ， 为等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 6. 如图，等边三角形与等边三角形共点于 ，连接 、，和的交点为和 的交点为 . FE （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． B A C 图 （ 3 ）如图， 是 中点，是中点，求证：是等边三角形． FE M N C B A 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∴ 、 是等边三角形 ， ， ， ， ， 即 ∴ ∴ ≌ ， ， ， ． （ 2 ）又∵ ∴ ∴ （ 3 ）再证 ， ， ． ≌ ， ，即 是等边三角形． 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】SAS 【知识点】等边三角形的性质 【能力】推理论证能力 【能力】分析和解决问题能力 $ 和均为等边三角形，三点共线． （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （）为等边三角形； （） ； （）平分． 1. 如图，在中，，点 从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点 运动的过程中，连接，并以为边在射线上方，作等边，连接． 图 （ 1 ）当 时，． （ 2 ）请添加一个条件： ，使得为等边三角形． 如图，当为等边三角形时，求证：．1 10 学科网（北京）股份有限公司 如图，当点 运动到线段之外时，其他条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．2 图 （ 1 ） （ 2 ）1 2 证明见解析．成立． （ 1 ）当 时， ， ∴ ． （ 2 ）1 2 添加条件： ． ∵ 与 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ． 在 ， ∴ ≌ ， ∴ ． 成立． ∵ 与 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ． 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】30°特殊角的性质应用 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的性质 2. 如图，，，，、相交于点 ，连接． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）用含的式子表示的度数． （ 3 ）当时，取、的中点分别为点、，连接，，，如图，判断 的形状，并加以证明．图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ） ． 为正三角形，证明见解析． （ 1 ）如图 ， ∵ ∴ ， 在 和 ， 中， ， ∴ ≌ （ ）， 图 ∴ （ 2 ）∵ ∴在 ∴ ∴在即 （ 3 ） ． ≌ ， ， 中， ， ， 中， 为所求． 为正三角形， ， ：如图 ，由（ ）可得： ， ∵ ∴ ∵ ∴在 、 的中点分别为点 ， 、 ， ≌ 和 ， ， 中， ， 图 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ，且 ， ， ， ， 为正三角形． 【知识点】等边三角形的判定 3. 已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点、点重合）．以为边作等边，连接． （ 1 ）如图，当点在边上时， 图 求证：≌．1 直接写出、、之间的数量关系 ．2 （ 2 ）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出、、之间存在的数量关系，并写出证明过程． 图 （ 3 ）如图，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，直接写出、、之间存在的数量关系 ． 图 （ 1 ）1 2 （ 2 ） （ 3 ） 证明见解析． ，证明见解析． （ 1 ）1 ∵ ∴ ∴ ∴在 和 是等边三角形， ， ， ， ， 和 ． 中 ， ∴ ∵ ∴ ≌ 2 ≌ ． ， ， ∵ ， ∴ ． （ 2 ）∵ 和 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中 ， ∴ ≌ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． （ 3 ）∵ 和 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中 ， ∴ ≌ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 4. 已知：是等边三角形． （ 1 ）点在线段上（不包括、两点），，． 如图，当点是线段的中点时，判断线段与的数量关系，请直接写出结论1 （不必证明）． 图 如图，当点是线段上的任意一点时，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．2 图 （ 2 ）点在的延长线上，，．如图，若，时，求线段的长． 图 （ 1 ）1 ． 2 ． （ 2 ） ． （ 1 ）1 ． 2 ∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ． 又∵等边 ， ∴ ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）连接 ． ∵ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】作三角形的高，中线和角平分线 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】SAS 5. 如图，平面直角坐标系中， ， 为等边三角形． （ 1 ）如图，若，为等边三角形，，求的度数． （ 2 ）如图 ，若为 轴正半轴上一点，且在的右侧， 为等边三角形， 的延长线交 轴于，求 的值． （ 3 ）如图，若为 轴正半轴上一点，且在的右侧， 为等边三角形， 与交于 ，求证：． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）如图 ，∵ 和 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）如图 ，∵ 和 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． （ 3 ）如图 ，将 顺时针旋转 得到 ， 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即 ． 【知识点】旋转性质综合应用 6. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是． 是等边三角形，点在所在直线上运动，连接，在所在直线的右侧作，交的外角的角平分线所在直线于点． （ 1 ）如图，当点在线段上时，请你猜想与的大小关系，并给出证明． （ 2 ）如图，当点在线段的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）成立． （ 1 ）∵ 为等边三角形， ∴ ∴ ， ， ， ∵ ∴ 平分 ， ， ∵ ∴ ， ， ∴ ∴ ≌， ． （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∵ 为等边三角形， ， ， 平分， ， ∴ ， ∴ ∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ， ， ， ∴ ∴ ≌， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】对应边 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角分线性质定理 $ 和均为等边三角形，三点共线． （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （ ） ≌ ； （ ） ； （）为等边三角形； （） ； （）平分． 1. 如图，在中，，点 从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点 运动的过程中，连接，并以为边在射线上方，作等边，连接． 图 （ 1 ）当 时，． （ 2 ）请添加一个条件： ，使得为等边三角形． 如图，当为等边三角形时，求证：．1 1 学科网（北京）股份有限公司 如图，当点 运动到线段之外时，其他条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．2 图 2. 如图，，，，、相交于点 ，连接． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）用含的式子表示的度数． （ 3 ）当时，取、的中点分别为点、，连接，，，如图，判断 的形状，并加以证明．图 3. 已知为等边三角形，点为直线上一动点（点不与点、点重合）．以为边作等边，连接． （ 1 ）如图，当点在边上时， 图 求证：≌．1 直接写出、、之间的数量关系 ．2 （ 2 ） 如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出、、之间存在的数量关系，并写出证明过程． 图 （ 3 ）如图，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，直接写出、、之间存在的数量关系 ． 图 4. 已知：是等边三角形． （ 1 ）点在线段上（不包括、两点），，． 如图，当点是线段的中点时，判断线段与的数量关系，请直接写出结论1 （不必证明）． 图 如图，当点是线段上的任意一点时，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．2 图 （ 2 ）点在的延长线上，，．如图，若，时，求线段的长． 图 5. 如图，平面直角坐标系中，，为等边三角形． （ 1 ）如图，若，为等边三角形，，求的度数． （ 2 ）如图 ，若为 轴正半轴上一点，且在的右侧， 为等边三角形， 的延长线交 轴于，求 的值． （ 3 ）如图，若为 轴正半轴上一点，且在的右侧， 为等边三角形， 与交于 ，求证： ． 6. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是． 是等边三角形，点在所在直线上运动，连接，在所在直线的右侧作，交的外角的角平分线所在直线于点． （ 1 ）如图，当点在线段上时，请你猜想与的大小关系，并给出证明． （ 2 ）如图，当点在线段的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由． $