15.3.1～15.3.2 等腰三角形与等边三角形的性质与判定 期末专项练习 2025--2026学年人教版八年级数学上册

期末复习题--等腰三角形与等边三角形的性质与判定 题型1含30度角的直角三角形 1.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上的-点，PMLOB于点M,PN IOB交OA于点 N.若PM=3,则ON的长是 M B 2.将两块全等的含30°的直角三角板如图放置，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=30°， AD=16,则BD的长为() A.13 B.14 C.15 D.16 3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD,∠ABD=30°，AC=AE,且满足 ∠CAE=∠ABD,若S△ABC=100,则AB=一· D 题型2格点图中画等腰三角形 4.如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C,使△ABC是等腰三角 形(AB是其中一腰)，则图中符合条件的格点有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图是由小正方形组成的7×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，如图，A、B、C均 为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线， (1)在图中，画出△ABC的中线BD; (2)在图中，画△ABC的高CE; (3)在图中，在CE上找一点G,使得∠ABG=45°； 6.如图，在8X8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A,B,M,N均落在格点 上，请按下列要求作图， 图1 图2 (1)在图1中的格点上确定一点C,画一个以AB为腰的等腰Rt△ABC; (2)在图2中的格线MN上确定一点P,使PA+PB最小. 题型3找出图中的等腰三角形 7.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，E,F分别是对角线BD,AC的中点. (1)求证：EF⊥AC; (2)若∠ADC=45°，请判断EF与AC的数量关系，并说明理由. 8.如图，BD平分∠ABC,点E在BC上，且DE‖AB;找出图形中的等腰三角形，并加以证明. A E 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE是角平分线，则图中的等腰三角形共 有() D A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 题型4求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 10.如图，小明将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A,B对应的数分别为一5,5，从点C, D两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰△CDE,若点C对应的数为一2，则点D在数轴上对应 的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2： 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能. 四个同学谁的说法正确？() E A C D B -5 -2 0 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.如图，已知直线PQ⊥MN于点O,点A,B分别在MN,PQ上，OA=3,OB=4,在直 线MN或直线PQ上找一点C,使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有() B M 0 ol A.3个N B.4个 C.7个 D.8个 12.如图，以点A,B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个 A B 题型5等腰三角形的性质和判定 13.已知直线1上有B,C两点，以BC为底边作等腰△ABC,点D是直线1上不与B,C重合 的一点，连接AD,以AD为边在AD的右侧作等腰△ADE,使∠DAE=∠BAC,连接CE. B C D B 图1 备用图1 备用图2 (1)如图1，若点D在线段BC上，且∠BAC=60°. ①求证：△ABD≌△ACE; ②求∠BCE的度数； (2)若点D在直线BC上，且∠BAC=Q,则∠BCE=(用含a的式子表示). 14.如图，在△ABC中，ED‖BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G,若 FG=3,ED=8,则DB+EC的值为」 FG 15.△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90,点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三 角形DCE,且∠DCE=90°，连接BE A D (1)求证：△ADC≌△BEC; (2)若AD=4,BD=10,求△BDE的面积. 题型6等边三角形的判定和性质 16.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上， △A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若0A1=1,则△A2025B2025A2026的 边长为 B M B2 B o- N A A2 A3 A 17.如图，D是等边三角形ABC外部一点，连接AD,CD,且AD=CD,过点D作DE‖AB交 AC于点F,交BC于点E· (1)求证：△EFC是等边三角形； (2)连接BD,若BC=10,CF=4,求DE的长. 18.完成下列各题： B B D (1) (2) (3) (1)问题的提出：如图(1)，在△ABC中，AB=AC,请你运用所学的全等知识，证明： ∠B=∠C (2)知识的运用：如图(2)，已知△ABC是等边三角形，若D是BC边的中点，点P在射线AC上， 若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为_· (3)拓展延伸：如图(3)，已知△ABC是等边三角形，若D在BC边上，∠ADG=60°，DG与 ∠ACB的外角平分线交于点G,GH⊥AC于点H,求AH、AC、CD之间的关系. 题型7大（小）边对大（小）角定理 19.综合与实践： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小 关系是怎样的呢？ 【观察猜想】(1)在△ABC中，若AB>AC,猜想∠C与∠B的大小关系； 【操作证明】(2)如图1，某同学发现在△ABC中，若AB>AC,可将△ABC折叠，使边 AC落在AB上，点C落在边AB上的E点，折线交BC于点D,连接ED,发现 ∠AED=∠B+∠EDB,…,请用上述思路证明(1)中猜想的结论； 【操作发现】(3)同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图 1中的四边形AEDC,满足AE=AC,DE=DC.查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四 边形叫作“筝形”.如图3，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点E、F分别是边AB、 BC上的动点，当四边形AEFC为“筝形”时，请直接写出∠BFE的度数. 图1 图2 图3 20.如图，在△ABC中，点D在边BC上，下面两个问题中请你选择一个加以证明（写出推理过 程). B D C (1)求证：AC+CB>AD+DB; (2)若∠C=100°，试比较AD与AB的大小. 解：我选择的是_（填序号） 证明： 21.(1)如图1，在△ABC中，已知AB>AC. 如图1，通过定理“在三角形中， ”可以证明∠C>∠B; 如图1，若D是BC边的中点，连接AD,求证：∠BAD<∠CAD (2)如图2，在△ABC中，已知AB=AC,且D是△ABC内的一点，∠ADB>∠ADC.求 证：DC>DB. B 图1 图1备用 图2 题型8最短路径问题 22.如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然后回到B地.牧民到河边的什 么地方饮马可使所走的路程最短？ B B' 图① 图② 图③ 图④ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线1的对称点B,连 接AB与直线1交于点P,点P就是饮马的位置. 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线1的对称点B,连接AB与直线1交于点P,在直线1上任取 一点P(与点p不重合)，连接BP