1.3 勾股定理的应用（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过装修师傅检测装饰板垂直的实际问题导入，先回顾勾股定理及逆定理内容，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生将实际问题转化为直角三角形数学模型。 其亮点在于融入《九章算术》“葭生池中”、秦九韶沙田面积等数学文化案例和物理滑块实验跨学科内容，通过折叠、最短路径等问题培养学生数学眼光（抽象能力、空间观念）和数学思维（推理能力）。采用“问题导入-典例精析-举一反三”教学方法，课堂小结结构化梳理应用场景，帮助学生建立知识体系，也为教师提供丰富素材提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 2026年7月30日 1.3 勾股定理的应用 韦东奕介绍：韦东奕，1991 年生，北大长聘副教授，人称 “韦神”。曾连续两届国际数学奥林匹克满分夺金，保送北大本博连读。主攻偏微分方程，深耕流体数学研究，多篇论文刊发国际顶刊。生活简朴淡泊名利，潜心治学，是国内极具天赋的青年数学研究者... 通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题 通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题 渗透数学建模的思想．教学重难点教学重点,立体图形、平面图形中的最短路径问题 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？ 直角三角形 → a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 → 直角三角形 2.勾股定理的逆定理是什么？ A C B a b c 03 问题导入 装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB (1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？ （2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？ （3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？ 03 问题导入 （1）可以完成。具体方法是分别测量AD、AB及BD的长度，若满足AD² + AB² = BD²，则AD垂直于AB；同理测量BC、AB及AC的长度，判断是否满足勾股定理。 （2）能。计算得：30² + 40² = 900 + 1600 = 2500，而50² = 2500，满足勾股定理，因此△ABD是直角三角形，A=90°，故AD垂直于AB。 （3）能。虽然刻度尺仅20cm。例如：AB上取一点E,使AE=12cm,在AD上取一点F,使AF=16cm，在量出EF之间的距离，如果EF=20cm,则AD垂直于AB,因为12² + 16² = 20² ，故AD垂直于AB 同理检测BC和AB是否垂直。 知识点1 勾股定理的应用 （第1题） 1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条 长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 6 （第2题） 2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为 ，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中， 设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( ) B A.9 B.11 C.12 D.14 返回 举一反三 7 04 尝试与思考 如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？ 04 尝试与思考 解：E是AD的中点，DE=4cm. 设DF=xcm，则CF=(8-x)cm 根据翻折的性质EF=CF=8-x 根据勾股定理 即 求得x=3 所以DE=3cm 3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计 算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列 方程为____________________。 返回 举一反三 10 4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，，，则的长为___ 。 9 返回 举一反三 11 05 典例精析 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 05 典例精析 【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得x2+52=(x+1)2， x2+25=x2+2x+1， 24=2x， x＝12. 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗 杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面 点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又 将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ， 量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高 度。 解：设旗杆的高度为，则 ， 在中，由勾股定理得，解得 。 答：旗杆的高度为 。 返回 举一反三 14 知识点2 利用直角三角形的判定条件解决实际问题 6.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是 , 和 ，则这个教具______（填“合格”或“不合格”）。 合格 返回 举一反三 15 7.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，胜 利号、智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固 定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别 航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号 A A.北偏东 B.北偏西 C.北偏东 D.北偏西 两轮船分别位于点， 处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北 偏西 方向航行，那么智能号轮船的航行方向是( ) 返回 举一反三 16 8. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记 载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二 里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田， 三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？1里按 计算，则该沙田的面积为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 17 （第9题） 9.［教材复习题 变式］ ［2025西安高新区期 中］ 如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角， 已知滑杆长，顶端在 上运动，滑杆下 端距点的距离为，当端点向右移动 至处时，滑杆顶端下滑了____ 。 0.5 返回 举一反三 18 10.［2024常州中考］如图，在中， ， ， ，是边的中点，是边上一点，连接，。将 沿翻折，点落在上的点处，则 __。 （第10题） 返回 举一反三 19 11. 物理课上，老师带 着科技小组进行物理实验。同学们将一 根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ，一端 拴在滑块上，另一端拴在物体 上， 滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体 的升降。实验初始状态如图①所示，物体静止在直轨道上，到滑块 的水平距离是，到定滑轮的垂直距离是 。（实验过程中， 绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） 举一反三 20 （1）求绳子的总长度； 解：由题意得，， 。 所以，所以 ， 所以 ， 即绳子的总长度为 。 举一反三 21 （2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离。 解：由题意得，， 。 所以,所以 。 所以，所以 ， 所以 ， 即滑块向左滑动的距离为 。 返回 举一反三 22 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS $