15.1.2 线段的垂直平分线 专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦垂直平分线性质应用，通过计算、作图、证明题型构建从概念理解到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|第1-5、7、12-14题|周长/角度计算、选择判断|以垂直平分线性质为核心，从线段相等转化到周长与角度计算，强化几何直观| |作图实践|第11、15、16题|尺规作图（作垂直平分线）|通过作图操作理解垂直平分线的生成原理，培养空间观念| |综合证明|第6、10题|证明点在垂直平分线上|结合全等或等腰三角形性质，构建“线段相等→垂直平分线”的推理链条，发展推理意识|

1. 在中，，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点 ，连结，，求(用含 的代数式表示). 2. 如图，、关于直线对称，点是上一点，线段的垂直平分线交于点 ，连接、． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）如图，连接交于点，若 ，求证： ． 图 （ 3 ）如图，若，且点在的垂直平分线上， ， ，直接写出的长为 ． 图 3. 已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知:如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，. （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的周长. 5. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的长． 6. 如图，垂直平分线段，连接、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）在中，点、在直线上，且点、分别是线段、垂直平分线上的点．如图，若，求的度数．1 2 学科网（北京）股份有限公司 如图，点在的延长线上，假设，，则 （直接用、表示）．2 1. 已知：是的平分线上一点，，，垂足分别为、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：是的垂直平分线． 2. 如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接 、，交于点． （ 1 ）判断与的数量关系，并说明理由． （ 2 ）求证：过点、的直线垂直平分线段． 3. 如图，点是的中点，垂直平分，垂足为，是的中点，求证：是的垂直平分线． 4. 如图，在四边形 中， ， ， ，是 的中点， 与 交于点 ， 于，交 于． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）求证： 是线段 的垂直平分线． 1. 如下图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆 （图中的点）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）． （ 高中楼 ） （ 临建楼 ）（ 图书馆 ） A. 在 、 两边高线的交点处 B. 在 、 两边中线的交点处 C. 在 、 两内角平分线的交点处 D. 在 、 两边垂直平分线的交点处 2. 、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （ 1 ）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （ 2 ）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，要求利用尺规作图，并保留作图痕迹． 4 学科网（北京）股份有限公司 3. 已知：如图，及两点 、．求作：在平面内找一点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等． 4. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知 ， ，用尺规作图的方法在 上取一点 ，使得 . 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下： 甲同学的作法：如图甲，以点 为圆心， 点． 长为半径画弧，交 于点 ，则点 就是所求的 乙同学的作法：如图乙，作线段 的垂直平分线交 于点 ，则点 就是所求的点． 丙同学的作法：如图丙，以点 为圆心， 点． 长为半径画弧，交 于点 ，则点 就是所求的 丁同学的作法：如图丁，作线段 的垂直平分线交 于点 ，则点 就是所求的点． （ 1 ）请你判断哪位同学的作法正确 ； （ 2 ）这位同学作图的依据是 ． 5. 已知，点是边上一点． （ 1 ）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线分别交、于点、．②在上截取，使 ，连接、． （ 2 ）判断和的位置关系，并给出证明． 6. 小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线与的夹角度数，即直线，所成角的度数． （ 1 ）请写出这种做法的理由． （ 2 ）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线，于点，．②连结并延长交直线于点，请直接写出图中所有与 相等的角． （ 3 ）请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹． $ 1. 在中，，边的垂直平分线交边于点，边的垂直平分线交边于点 ，连结，，求(用含 的代数式表示). 如图所示，当 时， ∵垂直平分 ， ∴， ∴ ， 同理可得， ， ∴ ， ∴ 2. 如图，、关于直线对称，点是上一点，线段的垂直平分线交于点或 分两种情况： ； 如图所示，当 时， ∵ ∴ ∴ 垂直平分 ， ， ， 同理可得， ∴ ∴ ， ， ． 故答案为： 或 . 【知识点】三角形内角和的应用 ，连接、． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）如图，连接交于点，若 ，求证： ． 图 （ 3 ）如图，若，且点在的垂直平分线上， ， ，直接写出的长为 ． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） （ 1 ）连接 ， ∵ 线交 ∴ ∴ 、 于点 关于直线 对称，线段 的垂直平分 ， ． ． （ 2 ）由（ ）可知： 易证： ，即 ， ， ， 又∵ ∴ ∴ （ 3 ）过点 为 的平分线， （角平分线定理）， ． 作 于 ， ， 设 ， ，则 ， ， ， 过点 ∴ ∴ ∴ ∴ 作 于 ， ， ， ， ， ， ， ． 【能力】分析和解决问题能力 【能力】运算能力 【能力】推理论证能力 【知识点】角分线性质定理 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】相似三角形的性质与判定综合 【知识点】相似三角形的性质 3. 已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证： ． 证明见解析． ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】角分线性质定理 4. 已知:如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，. （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的周长. （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）连结 ， ∵ ∴ ∵ 在 的中垂线上 ， 平分 ∴ 在 和 中， ， ∴ ∴ （ 2 ）由 ∴ ∴ ≌ ． 可得， ， ≌ ， ， 的周长 ， ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】角分线性质定理 【知识点】HL 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】对应边 【能力】推理论证能力 5. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）连接 、 ， ∵点 在 的垂直平分线上， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ， 解得 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】HL 6. 如图，垂直平分线段，连接、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）在中，点、在直线上，且点、分别是线段、垂直平分线上的点．如图，若，求的度数．1 如图，点在的延长线上，假设，，则 （直接用、表示）．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）1 ． 2 （ 1 ）∵ ∴ ∴ 垂直平分 ， ． ， （ 2 ）1 ∵ 、 分别为 、 的垂直平分线上， 【知识点】对称型全等 2 ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 2 同①理 ． ． 1. 已知：是的平分线上一点，，，垂足分别为、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：是的垂直平分线． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析 （ 1 ）∵ ∴ ∴ （ 2 ）在 平分 ， ， 于 ， 于 ， ． 和 ， 中， ∴ ∴ ∴点 ≌ ， ． 在 的垂直平分线上． 同理，点 在 的垂直平分线上， 故 是 的垂直平分线． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 【知识点】HL 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】角分线性质定理 2. 如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接 、，交于点． （ 1 ）判断与的数量关系，并说明理由． （ 2 ）求证：过点、的直线垂直平分线段． （ 1 ）相等，证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ） 在 ． 和 中， ， ∴ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ≌ ， ． ， ， 由（ ）可知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴点 、 均在线段 的垂直平分线上，即直线 垂直平分线段 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】推理论证能力 3. 如图，点是的中点，垂直平分，垂足为，是的中点，求证：是的垂直平分线． 10 学科网（北京）股份有限公司 证明见解析． 连接 ， ∵ 垂直平分 ， ∴ ∵点 ∴ ∴在 是 ， 的中点， ， ， 与 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ， 是 ， 的垂直平分线． 【知识点】SSS 4. 如图，在四边形中，，，，是的中点，与交于点 ，于，交于． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证：是线段的垂直平分线． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ． （ 2 ） ∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， 11 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ，且 ，即 是线段 的垂直平分线． 【知识点】ASA 1. 如下图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点），临建楼（图中的点）和图书馆 （图中的点）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点，点和点的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）． （ 高中楼 ） （ 临建楼 ）（ 图书馆 ） A. 在、 两边高线的交点处 B. 在 、 两边中线的交点处 C. 在、 两内角平分线的交点处 D. 在 、 两边垂直平分线的交点处 D 到 ， ， 的距离相等， （高中楼） （临建楼） （图书馆） 物资应放在 ， ， 的垂直平分线上， 且画出其中的两线段的垂直平分线即可．故选 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 2. 、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水． （ 1 ）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （ 2 ）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，要求利用尺规作图，并保留作图痕迹． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 1 ）如图所示： 点 即为所求． （ 2 ）如图所示： 点 即为所求． 【知识点】造桥问题 3. 已知：如图，及两点 、．求作：在平面内找一点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等． 见解析． 因为是两边所在的直线，所以有两个答案． 答案一： 内角平分线与线段 的垂直平分线的交点，如左图；答案二： 外角平分线与线段 的垂直平分线的交点，如右图. 【知识点】作角平分线 【知识点】作线段的垂直平分线 4. 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知 ， ，用尺规作图的方法在 上取一点 ，使得 . 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下： 甲同学的作法：如图甲，以点 为圆心， 点． 长为半径画弧，交 于点 ，则点 就是所求的 乙同学的作法：如图乙，作线段 的垂直平分线交 于点 ，则点 就是所求的点． 丙同学的作法：如图丙，以点 为圆心， 点． 长为半径画弧，交 于点 ，则点 就是所求的 丁同学的作法：如图丁，作线段 的垂直平分线交 于点 ，则点 就是所求的点． （ 1 ）请你判断哪位同学的作法正确 ； （ 2 ）这位同学作图的依据是 ． （ 1 ）丁 （ 2 ）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等量代换 （ 1 ）根据中垂线的性质可得丁同学的做法正确. （ 2 ）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换． 【知识点】作图依据 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 5. 已知，点是边上一点． （ 1 ）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作线段的垂直平分线分别交、于点、．②在上截取，使 ，连接、． （ 2 ）判断和的位置关系，并给出证明． （ 1 ）如图所示． （ 2 ）∵ ∴ 垂直平分 ， ． ． ∴ ∴ ． ． ∴ ， ． ∴ ∵ ， ． ． ∴ ∴ ∴ ≌ ． ． ． 6. 小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画，量出直线与的夹角度数，即直线，所成角的度数．（ 2 ） ． （ 1 ）如图所示． 【知识点】AAS （ 1 ）请写出这种做法的理由． （ 2 ）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线，于点，．②连结并延长交直线于点，请直接写出图中所有与 相等的角． （ 3 ）请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹． （ 1 ）两直线平行，同位角相等． （ 2 ） （ 3 ）画图见解析． ． （ 1 ）两直线平行，同位角相等． （ 2 ） ． （ 3 ）作线段 的垂直平分线 ， 则 是所求作的图形． 【知识点】圆周角定理以及应用 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】平行线的性质 【能力】推理论证能力 $ 1. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于 、． （ 1 ）若的周长为，则． （ 2 ）若，则 度． （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ）∵ ∴ ∵即 ∴ ∴ 、 ， 的周长为 分别垂直平分 ， ， ， 和 ， ． ． （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ 又∵则 垂直平分 ，垂直平分 ， ， ， ， ， ， ∴ ． 【知识点】三角形内角和的应用 10 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图，、分别是的、边的垂直平分线，连接、，已知， ，则的周长是 ． ∵ 、 ， ， 分别是 ， ， 的 、 边的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ 的周长 ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 3. 如图，的两边和的垂直平分线分别交线段于、两点（在左边），若边的长为，则的周长为 ． 边 和 ， 的周长 的垂直平分线分别交线段 ， 于 、 两点， ∴ ∴ ， 故答案为： ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 4. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （ 1 ）若 ，求 的度数． （ 2 ）若 周长 ， ，求 长． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 垂直平分 ， ， ， ， ， 垂直平分 ， ． （ 2 ）∵ ∴即 ∴ 周长 ， ， ， ， ． 【知识点】作三角形的高，中线和角平分线 5. 的两边和的垂直平分线分别交于点、． （ 1 ）若 ，求 的周长． （ 2 ）若 ，求 ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵边 、 ∴ ， 的垂直平分线分别交 ， 于 、 ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴即 的周长 的两边 ， ， ． ， 的垂直平分线分别交 ， ． ，① ． ， ， ．② 于 ， ， 由①②组成的方程组 ． 解得 故答案为： ， ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 6. 在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于 ， 的垂直平分线 交 于．求证： ． 证明见解析． ∵ ∴ ∵于 ∴ 连接 ， 、 ， ， 的垂直平分线 ， ， ， 交 于 ， 的垂直平分线 交 ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【知识点】等边三角形的构造 7. 如图，的两边和的垂直平分线分别交于、两点，已知， ．则的周长为 ． 略. 【知识点】三角形的周长与面积问题 1. 如图，点在的边上，且，则点在线段（ ）． A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 B ∵ ， ∴ ∴点故选 在 ． ， 的垂直平分线上． 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 2. 如图，点是内的一点，若，则下列结论一定成立的（ ）． A. 点在 的平分线上 B. 点在 的平分线上 C. 点在边 的垂直平分线上 D. 点在边 的垂直平分线上 D 因为 ，根据垂直平分线的判定可知： 点 在边 的垂直平分线上．故选 ． 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 3. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点．求证：点在的垂直平分线上． 思考：要证点在的垂直平分线上，只需要证明 = ． ; 连接 、 、 ． ∵ 垂直平分 ∴ 同理 ∴ ． ． ． ． ∴点 在 的垂直平分线上． 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理 4. 阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段 求作：线段 ． 的垂直平分线． A B 小红的作法如下： 如图， ①分别以点 和点 为圆心，大于径作弧，两弧相交于点 ； ②再分别以点 和点 为圆心，大于 C 的长为半 D 的长为 半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点 ，使点 与点 在直线 的同侧； A B ③作直线 ． 老师说：“小红的作法正确．” 请回答：小红的作图依据是 ． 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【知识点】作线段的垂直平分线 1. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交于点，连接，若的周长为，，则的长为（ ）． A. B. C. D. A ∴ ∴ ∵ ∴ 故选 由题意可知， ， 是 的中垂线， ， ， ． ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 2. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，交于点，连接．若的周长为，的周长，则为 ． 故 ∵ ∴ ∵ ∴ 由作图的过程知，直线 ， 为线段 的垂直平分线， 的周长为 ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， 的周长为 ， ， ． 【知识点】三角形的周长与面积问题 3. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作 弧，两弧相交于点 ，；②作直线 交 于点，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）． A. B. C. D. D 依题可知，尺规画图作的 ， ， ， ， 是线段 的垂直平分线， ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ． 【知识点】作线段的垂直平分线 4. 尺规作图（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）： （ 1 ）作． （ 2 ）作线段的垂直平分线． A B （ 3 ）作的角平分线． （ 4 ）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）画图见解析． （ 3 ）画图见解析． （ 4 ）画图见解析． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 【知识点】作一个角等于已知角 【知识点】作角平分线 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】过一点作已知直线的垂线 5. 如图，中， ， ． （ 1 ）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （ 2 ）连接，求证：平分． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）如图所示， 就是要求作的 边上的中垂线． （ 2 ）∵ 是 ∴ ∴ 边上的中垂线， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】角平分线判定定理 $ 1. 如图，在中，、分别垂直平分和，交于 、． （ 1 ）若 的周长为 ，则 ． （ 2 ）若 ，则 度． 2. 如图，、分别是的、边的垂直平分线，连接、，已知， ，则的周长是 ． 3. 如图，的两边和的垂直平分线分别交线段于、两点（在左边），若边的长为，则的周长为 ． 4. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （ 1 ）若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）若周长，，求长． 5. 的两边和的垂直平分线分别交于点、． （ 1 ）若 （ 2 ）若 ，求 的周长． ，求 ． 6. 在交 于 中， ．求证： ， ， ． 的垂直平分线 交 于 ， 的垂直平分线 7. 如图，的两边和的垂直平分线分别交于、两点，已知， ．则的周长为 ． 1. 如图，点在的边上，且，则点在线段（ ）． A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 2. 如图，点是内的一点，若，则下列结论一定成立的（ ）． A. 点在 的平分线上 B. 点在 的平分线上 C. 点在边 的垂直平分线上 D. 点在边 的垂直平分线上 3. 如图，在中，、的垂直平分线、相交于点．求证：点在的垂直平分线上． 思考：要证点在的垂直平分线上，只需要证明 = ． 4. 阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段 求作：线段 ． 的垂直平分线． A B 小红的作法如下： 如图， ①分别以点 和点 为圆心，大于径作弧，两弧相交于点 ； ②再分别以点 和点 为圆心，大于 C 的长为半 D 的长为 半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点 ，使点 与点 在直线 的同侧； A B ③作直线 ． 老师说：“小红的作法正确．” 请回答：小红的作图依据是 ． 1. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交于点，连接，若的周长为，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，交于点，连接．若的周长为，的周长，则为 ． 3. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作 弧，两弧相交于点 ，；②作直线 交 于点，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 尺规作图（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）： （ 1 ）作． （ 2 ）作线段的垂直平分线． A B （ 3 ）作的角平分线． （ 4 ）经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 5. 如图，中， ， ． （ 1 ）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （ 2 ）连接，求证：平分． $