15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 作业 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习聚焦等边三角形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、综合创新三层设计，实现从单一知识点到跨情境应用的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（8题）|等边三角形性质（内角、高）、判定（基本构造）|单选1尺规作图直观感知，填空5直接应用三线合一，夯实概念理解| |提升层（4题）|性质与判定综合应用（全等、角度计算）|解答9结合中线与等腰求角度，11通过全等证等边，培养推理能力| |综合层（3题）|跨知识整合（旋转、新定义）|13等边三角形与旋转综合，14新定义“准等边三角形”，发展创新意识|

15.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 作业 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共4题) 1．如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以点B为圆心,BO的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为(   ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 2．图2是从图1的时钟抽象出来的图形,已知△ABC是等边三角形,∠A=60°,当时针OP正对点A时恰好是12:00.若时针OP与△ABC的一边平行时,时针所指的时间不可能是(   ) A. 1:00 B. 3:00 C. 5:00 D. 8:00 3．如图，在 中， ，将 以点 为中心顺时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 4．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　） A. 34cm B. 32cm C. 30cm D. 28cm 二、填空题(共4题) 5．如图,在等边三角形ABC中,AD是边BC的高,则∠BAD的度数为       .  6．如图,这是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆CD部分的长度与支杆BC相等,且∠BCE=120°.若CD的长度为55 cm,则此时B,D两点之间的距离为       cm.  7．如图，已知等边 以 为旋转中心，按逆时针方向旋转 ，得到 ，若 ，等边三角形边长为 ，则点 的运动路径长为 ______ . 8． 一副三角板按如图1所示的方式摆放,把三角板AOB绕点O顺时针旋转至如图2所示的位置,当AB∥OD时,∠1的度数为               °.  三、解答题(共7题) 9．如图,AD是等边△ABC的中线,AE=AD,求∠EDC的度数. 10．如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,∠A=60°. 求证:△ABD是等边三角形. 11．如图,在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ. (1)求证:AP=AQ. (2)△APQ是什么形状的三角形?请判断并说明理由. 12．课本再现:(1)如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形. 课本中给出一种证明方法如下: 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE= ∠AED, ∴△ADE是等边三角形. “想一想,本题还有其他证法吗?” 给出的另外一种证明方法,请补全: 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=∠A=60°. ∵DE∥BC, ∴∠B=∠ADE,∠C=①    ,  ∴②   =③   ,  ∴AE=AD,(④    )  ∴△ADE是等腰三角形. 又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形. (2)如图2,等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D,点E在BD的延长线上,且AE=AD,求证:△ADE是等边三角形. 13．如图,C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F,连接EF. (1)求证:AN=BM. (2)求证:△CEF为等边三角形. 14．定义:如果三角形有两个内角的差为60°,那么这样的三角形叫作“准等边三角形”. 【理解定义】 (1)顶角为120°的等腰三角形    (填“是”或“不是”)“准等边三角形”.  【巩固新知】 (2)已知△ABC是“准等边三角形”,其中∠A=36°,∠C>90°,求∠B的度数. 15．如图，在 中，D为 延长线上的一点， ．求证： 是等边三角形． 试卷答案 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】根据旋转的性质证 是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合平行线的判定求解即可． ∵将 以点 为中心顺时针旋转得到 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故此题答案为D． 4．【答案】C 5．【答案】30° 6．【答案】55 7．【答案】 【解析】解： 等边 以 为旋转中心， ， ， ， ， 点 的运动路径长 ， 故答案为 由旋转的性质可得 ，由等边三角形的性质可得 ，由弧长公式可求解． 本题考查了轨迹，等边三角形的性质，旋转的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．【答案】75 9．【答案】15°. 【解析】∵AD是等边△ABC的中线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°, ∴∠ADC=90°. ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED==75°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. 10．【答案】证明见解析 【解析】∵AB∥DC,∠A=60°, ∴∠ADC=120°. ∵DB平分∠ADC, ∴∠ADB=∠ADC=60°=∠A, ∴△ADB是等边三角形. 11．【答案】(1)证明见解析. (2)△APQ是等边三角形. 【解析】(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC. 在△ABP和△ACQ中, ∴△ABP≌△ACQ(SAS), ∴AP=AQ. (2)△APQ是等边三角形. 理由:由(1)知△ABP≌△ACQ, ∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ, ∴∠BAP+∠CAP=∠CAQ+∠CAP,即∠BAC=∠PAQ. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60°,∴∠PAQ=60°. 又∵AP=AQ,∴△APQ是等边三角形. 12．【答案】(1)①∠AED;②∠ADE;③∠AED;④等角对等边. (2)证明见解析. 【解析】(1)①∠AED;②∠ADE;③∠AED;④等角对等边. (2)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°. ∵BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线, ∴∠ABD=∠ABC=30°,∠BAD=∠BAC=30°. ∵∠ADE为△ABD的外角, ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°. ∵AE=AD,∴△ADE是等边三角形. 13．【答案】证明见解析. 【解析】(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形, ∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°, ∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN, 即∠ACN=∠MCB. 在△ACN和△MCB中, ∵AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC, ∴△ACN≌△MCB(SAS), ∴AN=BM. (2)由(1)可知△ACN≌△MCB, ∴∠CAN=∠CMB. 又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°, ∴∠MCF=∠ACE. 在△CAE和△CMF中, ∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF, ∴△CAE≌△CMF(ASA), ∴CE=CF. 又∵∠ECF=60°, ∴△CEF为等边三角形. 14．【答案】(1)不是. (2)48°或42°. 【解析】(1)不是. (2)∵△ABC是“准等边三角形”,∠A=36°,∠C>90°, ∴分两种情况:当∠C-∠A=60°时,∴∠C=∠A+60°=96°, ∴∠B=180°-∠C-∠A=48°; 当∠C-∠B=60°时,∵∠A=36°,∠C+∠B=180°-∠A=144°, ∴2∠B=144°-60°=84°, ∴∠B=42°. 综上所述,符合题意的∠B的度数为48°或42°. 15．【答案】见详解 【解析】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键． 由 ，可得 ，结合 ，即可判定 是等边三角形． 证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $