第16讲 用二分法求函数零点与反函数（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第16讲 用二分法求函数零点与反函数 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：用二分法求函数的零点 知识点02：反函数 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：用二分法求近似解的条件 题型02：二分法求方程近似解的过程 题型03：二分法求函数零点的过程 题型04：求反函数 题型05：反函数的性质应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间 []D，使与异号，即＜0，零点位于区间中. 第二步：取区间 []的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算)和)，并判断： ①如果)=0，则就是f(x)的零点，计算终止； ②如果＜0，则零点位于区间[]中，令； ③如果＞0，则零点位于区间[]中，令； 第三步：取区间 []的中点，则此中点对应的坐标为 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果＜0，则零点位于区间[]中，令； ③如果＞0，则零点位于区间[]中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间[]，函数的零点总位于区间[]上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度. 【例1】用二分法求函数在区间内精确度为的零点近似值。 【知识点02】反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=(y)。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y=(x) 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与y=(x)图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在y=(x)图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如y= （5）y=f(x)与y=(x)互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[(x)]=x (x∈A), [f (x)]=x (x∈D), （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), y=(x), x=(y)与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 x=(y) y是自变量 和y=f(x)的图像相同 y=(x) x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与y=(x)图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【例2】求函数的反函数。 【题型01】用二分法求近似解的条件 【典例1-1】下面关于二分法的叙述，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 【变式1-1】关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（    ） A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值 B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值 C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值 【变式1-2】下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【题型02】二分法求方程近似解的过程 【典例2-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【变式2-2】若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【变式2-3】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)． 【题型03】二分法求函数零点的过程 【典例3-1】已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【变式3-2】函数的零点为______.（精确到0.1） 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【题型04】求反函数 【典例4-1】函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（　　） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则的反函数为__________ 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3)． 【题型05】反函数的性质应用 【典例5-1】下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 【变式5-3】已知函数. （1）求的反函数的值域； （2）若是的图像上一点，求的值域. 知识点01用二分法求函数的零点 1. 二分法定义 对于在闭区间上连续不断，且端点函数值异号的函数，通过不断将区间二等分，逐步筛选出包含零点的子区间，不断缩小零点取值范围，从而得到零点近似值的方法，称为二分法。 2. 二分法适用充要条件 ① 函数在区间上图象连续不间断； ② 。 满足条件可判定：在开区间内至少存在一个零点。 3. 二分法标准迭代步骤 步骤1：确定初始区间 找到区间，验证连续性与。 步骤2：求取区间中点 计算中点坐标：，计算函数值。 步骤3：判定零点区间 若，则为精确零点； 若，零点在，令； 若，零点在，令。 步骤4：终止迭代 当区间长度（为题目给定精确度），停止计算，区间内任意数值均可作为零点近似值。 知识点02反函数 1. 反函数核心定义（沪教版标准） 若函数的定义域为，值域为，且该函数为一一映射，即对任意，在定义域内有且仅有一个与之对应，则由此确定的以为因变量、为自变量的函数，称为原函数的反函数。 标准记法：。 2. 反函数存在条件 ① 严格单调函数一定是一一对应函数，必有反函数； ② 非单调函数若满足一一对应，也存在反函数； ③ 多对一函数无反函数。 3. 反函数核心性质（必考） ① 定义域值域互换：定义域、值域；定义域、值域； ② 图像对称性：原函数与反函数图像关于直线对称； ③单调性一致：原函数与反函数单调性完全相同； ④ 恒等运算公式： 4. 求反函数规范步骤 ① 观察原函数单调性，确认存在反函数； ② 由解出关于的解析式； ③ 互换变量，得到反函数解析式； ④ 标注反函数定义域（原函数的值域）。 知识点03本节高频易错点 1.求解反函数遗漏定义域，答案不完整； 2.混淆对称直线，反函数对称轴仅为； 3.单调函数一定有反函数，有反函数的函数不一定单调。 4.二分法只能求近似零点，无法直接求解精确零点； 5.时，区间内可能存在偶数个零点，不能判定无零点，不可用二分法； 6.不连续函数无二分法求解条件。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海虹口·期末）指数函数的反函数的表达式为___________． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的图象和函数的图象关于直线对称，则______. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为________． 4．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_____． 5．（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 6．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 7．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②③；④．其中不存在反函数的是________（填序号）． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则________． 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 11．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 二、单选题 13．若函数的反函数为，则方程（    ） A．有且只有一个实数解 B．至少一个实数解 C．至多有一个实数解 D．可能有两个实数解 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的一个为正数的零点（结果精确到0.1）． 18．判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度) 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3) 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知． (1)求它的反函数； (2)若，求a的值． 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 用二分法求函数零点与反函数 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：用二分法求函数的零点 知识点02：反函数 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：用二分法求近似解的条件 题型02：二分法求方程近似解的过程 题型03：二分法求函数零点的过程 题型04：求反函数 题型05：反函数的性质应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间 []D，使与异号，即＜0，零点位于区间中. 第二步：取区间 []的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算)和)，并判断： ①如果)=0，则就是f(x)的零点，计算终止； ②如果＜0，则零点位于区间[]中，令； ③如果＞0，则零点位于区间[]中，令； 第三步：取区间 []的中点，则此中点对应的坐标为 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果＜0，则零点位于区间[]中，令； ③如果＞0，则零点位于区间[]中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间[]，函数的零点总位于区间[]上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度. 【例1】用二分法求函数在区间内精确度为的零点近似值。 解：第一步：验证初始区间端点符号 满足，且函数为多项式函数，图象连续，可用二分法。 初始区间：，区间长度，需迭代。 第二步：第一次二分迭代 中点： 由，零点新区间： 区间长度：，达到精确度要求，停止迭代。 答：该函数精确度为的零点近似值可取或或区间内任意数值，常用近似值：。 【知识点02】反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=(y)。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y=(x) 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与y=(x)图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在y=(x)图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如y= （5）y=f(x)与y=(x)互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[(x)]=x (x∈A), [f (x)]=x (x∈D), （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), y=(x), x=(y)与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 x=(y) y是自变量 和y=f(x)的图像相同 y=(x) x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与y=(x)图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【例2】求函数的反函数。 解：第一步：由原函数解析式解出 由，移项变形得： 第二步：互换变量 第三步：确定定义域 原函数定义域为，值域为，因此反函数定义域为。 答：原函数的反函数为 【题型01】用二分法求近似解的条件 【典例1-1】下面关于二分法的叙述，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 【答案】B 【分析】根据二分法的概念对进行判断,可以排除,从而选B. 【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错； 二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错； 求方程的近似解也可以用二分法，故D错. 故选B. 【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题. 【变式1-1】关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（    ） A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值 B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值 C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值 【答案】D 【分析】根据二分法求函数零点的原理依次判断即可得答案. 【详解】解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误； 对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误； 对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误； 对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确. 故选：D 【变式1-2】下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 【变式1-3】下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 【题型02】二分法求方程近似解的过程 【典例2-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【变式2-2】若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 【变式2-3】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)． 【答案】0.687 5 【分析】根据题意，设函数，分析可得(1)，函数在区间上有零点，由二分法依次分析即可得答案． 【详解】解：令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算， f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点c f(a) f(b) (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0.75) 0.6875 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.6875)<0 由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1， 所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 【题型03】二分法求函数零点的过程 【典例3-1】已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据二分法找零点的逻辑过程可得求参数a、b，再由已知写出零点即可. 【详解】由在上单调递增得：，，又恒成立， ∴，解得， ∴的零点为， 故选：C. 【变式3-1】用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 【变式3-2】函数的零点为______.（精确到0.1） 【答案】 【分析】由零点有且，结合在上递增，利用二分法求零点所在区间，进而确定零点近似值. 【详解】令，则，且， 而在上递增，且，增长速度逐渐变快， 又，，即函数零点在区间内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 所以. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【答案】2.1 【分析】令，设函数的零点为，因为，，所以，再由精确度为0.1时，利用二分法确定. 【详解】令，设函数的零点为， 因为，，所以， 由二分法得到下表， 中点 所在区间 2.5 2.25 2.125 2.1875 2.15625 2.140625 2.1484375 因为在精确度为0.1时，，， 所以在精确度为0.1时， ． 【题型04】求反函数 【典例4-1】函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先反解得，，再交换与，并写出原函数的值域即反函数的定义域． 【详解】解：因为，所以 由得，， 交换与得，， 故选：． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数没有反函数的是（　　） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据与之间是否一一对应逐个分析判断即可. 【详解】对于①，当时，，所以没有反函数； 对于②，当时，，所以没有反函数； 对于③，与一一对应，所以有反函数； 对于④，当时，或，所以没有反函数． 故选：B 【变式4-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，则的反函数为__________ 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用反函数定义求解即得. 【详解】由，得，即，因此， 所以的反函数为. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）（2）（3）根据所给关系式，反解出的表达，即可求解. 【详解】（1）∵，，∴，∴． ∵，∴， ∴相应的反函数为，． （2）∵，且，∴，， ∴，，∴相应的反函数为，． （3）由得，∴， ∴， ∵，解得， ∴， 故相应的反函数为，． 【题型05】反函数的性质应用 【典例5-1】下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可. 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 【变式5-1】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【分析】根据反函数的性质可得，列方程求即可. 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象关于对称，求的值． 【答案】1 【分析】求出原函数的反函数，根据函数图象本身关于直线对称知，原函数与它的反函数相同，从而比较系数求得值． 【详解】由得， ∴， 由函数的图象关于对称知， 即， ∴． 【变式5-3】已知函数. （1）求的反函数的值域； （2）若是的图像上一点，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求原函数的定义域即可得出结果. （2）由题意可得点在函数的图象上，代入原函数求出，再利用分离常数法即可求解. 【详解】（1）的值域即为的定义域，原函数的定义域为， 所以反函数的值域为. （2）由题知点在函数的图象上， 则，， 从而得到值域为. 知识点01用二分法求函数的零点 1. 二分法定义 对于在闭区间上连续不断，且端点函数值异号的函数，通过不断将区间二等分，逐步筛选出包含零点的子区间，不断缩小零点取值范围，从而得到零点近似值的方法，称为二分法。 2. 二分法适用充要条件 ① 函数在区间上图象连续不间断； ② 。 满足条件可判定：在开区间内至少存在一个零点。 3. 二分法标准迭代步骤 步骤1：确定初始区间 找到区间，验证连续性与。 步骤2：求取区间中点 计算中点坐标：，计算函数值。 步骤3：判定零点区间 若，则为精确零点； 若，零点在，令； 若，零点在，令。 步骤4：终止迭代 当区间长度（为题目给定精确度），停止计算，区间内任意数值均可作为零点近似值。 知识点02反函数 1. 反函数核心定义（沪教版标准） 若函数的定义域为，值域为，且该函数为一一映射，即对任意，在定义域内有且仅有一个与之对应，则由此确定的以为因变量、为自变量的函数，称为原函数的反函数。 标准记法：。 2. 反函数存在条件 ① 严格单调函数一定是一一对应函数，必有反函数； ② 非单调函数若满足一一对应，也存在反函数； ③ 多对一函数无反函数。 3. 反函数核心性质（必考） ① 定义域值域互换：定义域、值域；定义域、值域； ② 图像对称性：原函数与反函数图像关于直线对称； ③单调性一致：原函数与反函数单调性完全相同； ④ 恒等运算公式： 4. 求反函数规范步骤 ① 观察原函数单调性，确认存在反函数； ② 由解出关于的解析式； ③ 互换变量，得到反函数解析式； ④ 标注反函数定义域（原函数的值域）。 知识点03本节高频易错点 1.求解反函数遗漏定义域，答案不完整； 2.混淆对称直线，反函数对称轴仅为； 3.单调函数一定有反函数，有反函数的函数不一定单调。 4.二分法只能求近似零点，无法直接求解精确零点； 5.时，区间内可能存在偶数个零点，不能判定无零点，不可用二分法； 6.不连续函数无二分法求解条件。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海虹口·期末）指数函数的反函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】根据反函数的定义求解即可. 【详解】因为指数函数，根据反函数的定义， 由，可得，故反函数为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的图象和函数的图象关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】根据两函数图象的位置关系求解即可得，由此即可得解. 【详解】设在图象上，则点关于直线对称点在图象上， 则，即，所以 . 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为________． 【答案】 【分析】根据反函数的定义求解即可. 【详解】由， 得， 将互换得，， 且函数的值域为R， 因此，函数， 故答案为：． 4．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_____． 【答案】9 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 5．（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先求出函数过定点，再根据反函数性质得到答案. 【详解】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 6．（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【分析】利用零点存在定理可求答案. 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②③；④．其中不存在反函数的是________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据反函数的定义求解判断即可. 【详解】对于①，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于②，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于③，，对应区间上均单调，故存在反函数； 对于④，，求出． 由于,，则一个解出可能两个，故不存在反函数. 故答案为: ④. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则________． 【答案】或 【分析】数形结合可得. 【详解】由已知函数的图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数， 则函数在其定义域上不同的处的取到的函数值也不相同. 如图,结合反比例函数的图像和性质与旋转情况可得, 当，可得函数，其存在反函数； 当，可得函数，其存在反函数； 当，且时， 将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数，必存在平行于轴的直线与函数的图象有两个交点（例如下图情况中的）， 即函数，在其定义域上存在，，使. 故不存在反函数，不满足题意. 综上所述，若将函数图像绕原点逆时针旋转角后得到的函数存在反函数，则或. 故答案为：或. 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则=______． 【答案】 【分析】根据二分法，计算函数值的正负即可作答. 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 11．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出是区间的中点，即可得出答案. 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 【答案】 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 二、单选题 13．若函数的反函数为，则方程（    ） A．有且只有一个实数解 B．至少一个实数解 C．至多有一个实数解 D．可能有两个实数解 【答案】C 【解析】利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即得结果. 【详解】函数有反函数，可知是一个单射函数，设定义域为I， 故若，设，由函数定义知a有唯一值，故，且方程只有一实数解a； 若，无意义，故不存在x，使得，故方程无解. 故方程至多有一个实数解 故选：C. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据原函数与反函数图象和性质之间的关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【详解】当时，，， 此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误； ②若函数有反函数， 则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误 ③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时， 无意义； 当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确； 故不正确的命题的个数为3个， 故选：D． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理和二分法，不断将区间一分为二后计算即可求得. 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的一个为正数的零点（结果精确到0.1）． 【答案】1.7 【分析】利用二分法即可求解. 【详解】由于，， 可取区间作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算，列表如下： 端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间 ， ， 因此可以看出，区间内的所有值精确到0.1都为1.7， 所以1.7就是所求函数精确到0.1的零点． 18．判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度) 【答案】 【分析】首先由结合的单调性可知有且只有一个零点，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以在区间内有零点， 因为在上为增函数， 所以有且只有一个零点， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 因为， 所以零点的近似值可取为. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的反函数． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用指对数转化求出反函数即可； （2）结合范围求解出反函数即可； （3）结合范围求解出反函数即可； 【详解】（1）的值域为， ， ∴反函数为． （2）中，∵，∴，由得，则， ∴反函数为． （3）①当时，，∴，∴，； ②当时，，∴，∴，． ∴反函数为 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知． (1)求它的反函数； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）求出反函数即可； （2）由可得答案. 【详解】（1）由 得，即， 所以，， 因此，所求反函数为： ； （2）若，则， 整理得：， 解得或， 即a的值为1或． 21．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数是严格增函数，其反函数是． (1)若，求，并写出定义域； (2)对于（1）的和，设任意，，，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 也就是证 ， 因为， 所以， 则， 同理可得， 故成立， 则原不等式成立，即证． 【分析】（1）求出原函数值域，即为反函数的定义域，再根据反函数的求解过程，即可求得； （2）根据（1）中所求，用分析法将不等式进行不断转换，即可证明. 【详解】（1）因为在单调递增， 所以， 即的值域为， 由，可得， 又因为， 所以， 即，其定义域为， 故，定义域； （2）略. 1 学科网（北京）股份有限公司 $