第14讲 函数的单调性与最值（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第14讲 函数的单调性与最值（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的单调性概念 知识点02：函数的单调区间 知识点03：具备奇偶性的函数的单调性的特点 知识点04：图象法求函数最值的一般步骤 知识点05：利用单调性求最值的一般步骤 知识点06：函数的最值与单调性的关系 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：根据函数的单调性解不等式 题型05：根据解析式直接判断函数的单调性 题型06：利用函数单调性求最值或值域 题型07：根据函数的最值求参数 题型08：函数不等式恒成立问题 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 【例1】根据单调性定义，证明函数在上是增函数。 【知识点02】函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【例2】求二次函数的单调递增区间与单调递减区间。 【知识点03】具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【例3】已知偶函数的定义域为，且在区间上单调递增，判断在上的单调性。 【知识点04】图象法求函数最值的一般步骤 【例4】已知函数，，用图象法求函数的最大值与最小值。 【知识点05】利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 【例5】已知函数，，利用单调性求函数的最值。 【知识点06】函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 【例6】已知函数在区间上单调递减，求函数的最大值和最小值。 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有________． ①；②； ③；④． 【变式1-3】若函数的定义域和值域分别为和，在满足该条件的所有函数中，是单调函数的有_________个. 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是________. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的严格减区间是________. 【变式2-3】求函数的单调区间. 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）函数在区间上为严格减函数，则的取值范围为______. 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【题型04】根据函数的单调性解不等式 【典例4-1】（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【变式4-1】（25-26高一上·上海静安·期末）用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数是定义在上的严格增函数，且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【题型05】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例5-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·上海黄浦·期末）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，在R上既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型06】利用函数单调性求最值或值域 【典例6-1】连续函数，，若最小值为m，最大值为n，则函数的值域为___________. 【变式6-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）已知，则的最小值为______． 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 【题型07】根据函数的最值求参数 【典例7-1】一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 【变式7-3】已知函数（且）. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，，且在上的最小值为，求的值. 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【变式8-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数，其中. 若对任意的恒成立，（    ） A． B． C．5 D．4 【变式8-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 知识点01函数的单调性概念 设函数的定义域为，区间。 1. 单调递增定义 任意，若，都有，则称在区间上单调递增。 2. 单调递减定义 任意，若，都有，则称在区间上单调递减。 核心要点：单调性是局部区间性质，描述单调性必须指明对应区间，不能脱离区间判断函数单调。 知识点02函数的单调区间 能够使函数保持单调递增或单调递减的区间，称为函数的单调区间。 核心规则（考试高频易错） 1. 一个函数可同时拥有多个单调递增、单调递减区间； 2. 多个单调区间禁止用并集符号∪连接，只能用“和”“或”隔开； 3. 区间端点的开闭不改变函数单调性，书写形式严格依据定义域判断。 知识点03奇偶性对应的单调性规律 针对定义域关于原点对称的函数，对称区间单调性存在固定规律，可直接秒杀题型： 1. 奇函数单调性规律 奇函数在关于原点对称的区间上单调性完全相同。 示例：若奇函数在单调递减，则在也单调递减。 2. 偶函数单调性规律 偶函数在关于原点对称的区间上单调性完全相反。 示例：若偶函数在单调递增，则在单调递减。 知识点04图象法求函数最值（标准解题步骤） 适用于一次函数、二次函数、简单分段函数，直观易懂，是基础解题方法。 步骤1：确定函数定义域，锁定图象有效取值范围； 步骤2：绘制函数在定义域内的大致图象； 步骤3：观察图象，图象最高点纵坐标为函数最大值，最低点纵坐标为函数最小值； 步骤4：标注对应自变量，规范写出最值结果。 知识点05单调性法求函数最值（通用解题步骤） 本章核心解题方法，适用于所有可判断单调性的函数，考试主流考点。 步骤1：明确函数定义域及求解的目标区间； 步骤2：利用定义或函数性质，判断/证明函数在区间内的单调性； 步骤3：根据单调性判定最值对应的自变量位置； 步骤4：代入对应自变量，计算得出函数最大值、最小值。 知识点06函数最值与单调性的核心必考关系 设函数在闭区间上连续，最值与单调性满足固定对应关系： 1. 区间单调递增 2. 区间单调递减 3. 非单调区间 函数在区间内先增后减、先减后增时，最值需对比区间极值点与区间端点的函数值，取最大、最小值。 知识点07本节核心公式速记（微软标准） 1. 增函数判定： 2. 减函数判定： 3. 闭区间递增最值： 4. 闭区间递减最值： 知识点08高频易错点汇总 1. 单调性必须搭配区间描述，无区间的单调性表述为错误答案； 2. 多个单调区间不能用并集连接，只能用文字分隔； 3. 奇偶函数对称区间单调性规律易混淆，奇函数同单调、偶函数反单调； 4. 开区间内的单调函数无最值，只有闭区间一定存在最值。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的单调减区间为__________. 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 3．（25-26高一上·上海·期末）函数的最大值是__________. 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______． 5．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数在上有最大值7，最小值6，则正数的取值范围是______. 6．（25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 7．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数（）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 8．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为______． 9．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________． 10．（24-25高一下·上海·阶段检测）函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为__________． 11．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若函数的定义域和值域分别为和，且是单调函数，则不同的函数的个数有___________个． 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是__________ 二、单选题 13．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 16．（24-25高一·上海·课堂例题）若定义域为的函数是偶函数，且在上是严格增函数，在上是严格减函数，又，则（    ） A．在上是严格增函数且有最大值2； B．在上是严格减函数且有最大值2； C．在上是严格增函数且有最小值2； D．在上是严格减函数且有最小值2． 三、解答题 17．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 18．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数在区间上的最小值为． (1)求函数的表达式； (2)若，求的值及此时函数的最大值． 20．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 21．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 函数的单调性与最值（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的单调性概念 知识点02：函数的单调区间 知识点03：具备奇偶性的函数的单调性的特点 知识点04：图象法求函数最值的一般步骤 知识点05：利用单调性求最值的一般步骤 知识点06：函数的最值与单调性的关系 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：根据函数的单调性解不等式 题型05：根据解析式直接判断函数的单调性 题型06：利用函数单调性求最值或值域 题型07：根据函数的最值求参数 题型08：函数不等式恒成立问题 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 【例1】根据单调性定义，证明函数在上是增函数。 解：步骤1：任取定义域内两个自变量 任取，且。 步骤2：作差化简 步骤3：判断符号 由，得，因此，即。 步骤4：下结论 由单调性定义可知，在上单调递增。 答案：该函数在上为增函数。 【知识点02】函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【例2】求二次函数的单调递增区间与单调递减区间。 解：步骤1：配方整理函数 步骤2：确定抛物线开口与对称轴 二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线。 步骤3：判定单调区间 开口向上的抛物线，对称轴左侧递减、右侧递增； 单调递减区间：； 单调递增区间：。 答案：单调递减区间为，单调递增区间为。 【知识点03】具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【例3】已知偶函数的定义域为，且在区间上单调递增，判断在上的单调性。 解：步骤1：回顾偶函数单调性性质 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 步骤2：结合已知条件推导 已知在上单调递增，根据偶函数单调性特点，可得在对称区间上单调递减。 答案：在上单调递减 【知识点04】图象法求函数最值的一般步骤 【例4】已知函数，，用图象法求函数的最大值与最小值。 解：步骤1：确定定义域：； 步骤2：分析图象：是开口向上、对称轴为的抛物线； 步骤3：观察区间内图象最值： 图象最低点在处，； 区间端点，，最高点在处。 答案：函数最小值为，最大值为。 【知识点05】利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 【例5】已知函数，，利用单调性求函数的最值。 解：步骤1：判断单调性 一次函数，斜率，故在上单调递增。 步骤2：确定最值点位 单调递增函数，区间左端点取最小值，右端点取最大值。 步骤3：代入计算 最小值： 最大值： 答案：函数最小值为，最大值为。 【知识点06】函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 【例6】已知函数在区间上单调递减，求函数的最大值和最小值。 解：步骤1：结合单调性与最值关系判定 函数在上单调递减，因此左端点取最大值，右端点取最小值。 步骤2：代入计算最值 最大值： 最小值： 答案：函数最大值为，最小值为。 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】利用单调性的定义及充分、必要条件的定义即可. 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有________． ①；②； ③；④． 【答案】①② 【分析】利用函数单调性的性质逐个判断即可. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 所以和同号，故①，②正确， 因为的大小关系无法判断，所以的大小关系也无法判断，故③④错误. 故答案为：①② 【变式1-3】若函数的定义域和值域分别为和，在满足该条件的所有函数中，是单调函数的有_________个. 【答案】4 【分析】根据A中有两个自变量取值对应同一个值，剩余的自变量取值对应剩余的值，据此再结合单调函数的定义求解． 【详解】由题意知：在A中有两个自变量取值对应同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 满足是单调函数的只能是： ①1和2对应1，3对应2； ②1对应1，2和3对应2； ③1和2对应2，3对应1； ④1对应2，2和3对应1；共这4种情况， 故答案为：4. 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是________. 【答案】 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________. 【答案】， 【分析】根据二次函数的性质求出函数在上的单调性，再由偶函数的性质求出函数在上的单调性，即可得解. 【详解】因为当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 又函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增； 综上可得的单调减区间为， 故答案为：， 【变式2-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的严格减区间是________. 【答案】和 【分析】画出函数图象，数形结合得到严格减区间. 【详解】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 【变式2-3】求函数的单调区间. 【答案】单调增区间为和，单调减区间为和. 【分析】利用函数单调性的定义即得. 【详解】记，则的定义域为，且显然是定义域上的奇函数. 不妨设、是区间上任意给定的两个实数，且，则 ，， . 当、时，，，故，因此函数在区间上是增函数； 当、时，，，故，因此函数在区间上是减函数. 由于函数为奇函数，易得在区间上是增函数，在区间上是减函数. 综上所述，函数的单调增区间为和，单调减区间为和. 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】当时，， ∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误； 当时，， ∵函数在区间上是严格增函数， 结合反比例函数的性质可知：，即. 故选项A，D错误，选项C正确. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性列式计算求解参数. 【详解】因为函数在单调递减，在单调递增， 又已知函数在区间上是严格增函数，所以， 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）函数在区间上为严格减函数，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据分段函数性质可知函数在区间上为单调递减函数，进而列不等式求解即可. 【详解】，则函数在区间上为单调递减函数， 在区间上为单调递增函数， 要使函数在区间上为严格减函数，则. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【答案】 【分析】先将函数进行变形，根据题中两个条件分别求得参数范围，最后求交集即为答案. 【详解】将函数进行变形，其单调性由分式决定， 该分式严格递减当且仅当分子，即， 因为分母在恒成立，故函数值符号由分子决定， 由函数值不恒为负，即存在使得成立， 当时，，满足条件， 当时，需存在使，即，解得， 综上，不恒为负的条件为， 联立两个条件，的取值范围为. 【题型04】根据函数的单调性解不等式 【典例4-1】（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 【变式4-1】（25-26高一上·上海静安·期末）用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为________． 【答案】 【分析】根据基本初等函数单调性，判断复合函数单调性，根据函数零点的性质，解不等式即可. 【详解】设函数，定义域为， 根据对数函数和一次函数单调性可得和都是上的增函数， 所以函数是上的增函数， 因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·期末）利用函数的单调性求解，关于的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】令，由题意得， 由，得函数的定义域为， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增， 且由反比例函数性质得在上单调递增， 所以在上单调递增， 可得不等式即， 由单调性可得，故所求的解集是. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数是定义在上的严格增函数，且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意赋值即可证明； （2）赋值可得，进而转化问题为，进而结合单调性及定义域求解即可. 【详解】（1）证明：由， 令，得. （2）令，则，即， 令，则， 由，则， 因为函数是定义在上的严格增函数， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 【题型05】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例5-1】下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 【变式5-1】（25-26高一下·上海黄浦·期末）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，在区间上为严格增函数，但不是奇函数，故A错误； 对于B选项，因为 ，所以为偶函数，故B错误； 对于C选项，在区间上为严格减函数，故C错误； 对于D选项，在区间上为严格增函数，且为奇函数，故D正确. 【变式5-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性进行判断，A选项为奇函数；B选项为偶函数，在上单调递增；D选项为非奇非偶函数；根据排除法可得C正确. 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，在R上既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，B，根据函数定义域不是R判断即可；对于C，D，根据一次函数与指数函数性质判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，满足，为奇函数， 在均为单调递减函数，在定义域上不是单调递减函数，故错误； 对于B，令得，即函数的定义域为， 满足，为奇函数， 因为在单调递减，函数在上单调递增， 所以，根据复合函数单调性得在单调递减， 故在为奇函数，且单调递减，故错误； 对于C，定义域为R，为奇函数，且在R上单调递减，故正确； 对于D，，定义域为R，且在R上单调递减，不具有奇偶性，故错误. 【题型06】利用函数单调性求最值或值域 【典例6-1】连续函数，，若最小值为m，最大值为n，则函数的值域为___________. 【答案】 【分析】根据最值即可求解值域. 【详解】由于的最小值为m，最大值为n，则函数的值域为， 故答案为： 【变式6-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）已知，则的最小值为______． 【答案】-3 【分析】分，和分类讨论，结合函数单调性求出最小值. 【详解】当时，令， 当时，， 当时，单调递减，最小值为， 综上，的最小值为-3. 故答案为：-3 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列选项正确的是（    ）． A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】利用基本不等式“一正、二定、三相等”的条件判断AB；借助对勾函数单调性判断CD. 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，A不正确； 对于B，当x为负数时，显然不成立，B不正确； 对于C，令，所以的最小值为3， 当且仅当时，取到最小值，C不正确； 对于D，，令，函数在上递增， 因此当，即时，取得最小值，D正确. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期中）已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 【答案】(1) (2) 当时，，函数在上单调递增. 证明：设是上任意两个实数，且， 则 ， 因为，所以，又，所以，， 所以，即，， 所以函数在上单调递增. 【分析】（1）利用基本不等式求函数的值域； （2）利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）略 【题型07】根据函数的最值求参数 【典例7-1】一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围. 【详解】因为一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是， 则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题. 【变式7-1】设，若是的最小值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，开口向上，对称轴为， 又是的最小值，， 所以，解得，故a的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 【变式7-3】已知函数（且）. (1)判断函数的奇偶性； (2)若，，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)奇函数(2)2 【分析】（1）由定义判断函数的奇偶性； （2）由求出，然后得到函数，利用换元法得到函数，并根据函数单调性求得的取值范围，然后讨论函数的对称轴得到对应的函数最小值，建立方程即可解得的值. 【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. （2），∴， 则， 令，∵函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴在上单调递增，即， 则函数，函数的对称轴为 当时，函数在上单调递增，∴， 即，解得，∵，∴舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，即，则，∴， 综上所述 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先由二次函数恒成立得到，再令，将所求分式变成关于的分式，然后利用基本不等式可求. 【详解】因为对任意实数，二次函数恒成立， 则，且， 令，则， 当且仅当时取等号. 故答案为：3． 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数，其中. 若对任意的恒成立，（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】B 【分析】令，求出方程、的根，假设，结合穿针引线法可得出，进而得出，分析可知对任意的恒成立，可求出的值，由此可得出的值. 【详解】由，得， 令，得或或，由，得， 而， 令， 令，得或或，则， 由，得， 若，取， 当时，，，此时，， 当时，由穿针引线法知，，矛盾， 因此，即，则， ， 由对任意的恒成立，得对任意的恒成立， 则，解得，所以. 故选：B 【变式8-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； （2），即， 整理得，则， 所以． （3），所以在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 知识点01函数的单调性概念 设函数的定义域为，区间。 1. 单调递增定义 任意，若，都有，则称在区间上单调递增。 2. 单调递减定义 任意，若，都有，则称在区间上单调递减。 核心要点：单调性是局部区间性质，描述单调性必须指明对应区间，不能脱离区间判断函数单调。 知识点02函数的单调区间 能够使函数保持单调递增或单调递减的区间，称为函数的单调区间。 核心规则（考试高频易错） 1. 一个函数可同时拥有多个单调递增、单调递减区间； 2. 多个单调区间禁止用并集符号∪连接，只能用“和”“或”隔开； 3. 区间端点的开闭不改变函数单调性，书写形式严格依据定义域判断。 知识点03奇偶性对应的单调性规律 针对定义域关于原点对称的函数，对称区间单调性存在固定规律，可直接秒杀题型： 1. 奇函数单调性规律 奇函数在关于原点对称的区间上单调性完全相同。 示例：若奇函数在单调递减，则在也单调递减。 2. 偶函数单调性规律 偶函数在关于原点对称的区间上单调性完全相反。 示例：若偶函数在单调递增，则在单调递减。 知识点04图象法求函数最值（标准解题步骤） 适用于一次函数、二次函数、简单分段函数，直观易懂，是基础解题方法。 步骤1：确定函数定义域，锁定图象有效取值范围； 步骤2：绘制函数在定义域内的大致图象； 步骤3：观察图象，图象最高点纵坐标为函数最大值，最低点纵坐标为函数最小值； 步骤4：标注对应自变量，规范写出最值结果。 知识点05单调性法求函数最值（通用解题步骤） 本章核心解题方法，适用于所有可判断单调性的函数，考试主流考点。 步骤1：明确函数定义域及求解的目标区间； 步骤2：利用定义或函数性质，判断/证明函数在区间内的单调性； 步骤3：根据单调性判定最值对应的自变量位置； 步骤4：代入对应自变量，计算得出函数最大值、最小值。 知识点06函数最值与单调性的核心必考关系 设函数在闭区间上连续，最值与单调性满足固定对应关系： 1. 区间单调递增 2. 区间单调递减 3. 非单调区间 函数在区间内先增后减、先减后增时，最值需对比区间极值点与区间端点的函数值，取最大、最小值。 知识点07本节核心公式速记（微软标准） 1. 增函数判定： 2. 减函数判定： 3. 闭区间递增最值： 4. 闭区间递减最值： 知识点08高频易错点汇总 1. 单调性必须搭配区间描述，无区间的单调性表述为错误答案； 2. 多个单调区间不能用并集连接，只能用文字分隔； 3. 奇偶函数对称区间单调性规律易混淆，奇函数同单调、偶函数反单调； 4. 开区间内的单调函数无最值，只有闭区间一定存在最值。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的单调减区间为__________. 【答案】 【分析】先判断函数为偶函数，进而结合幂函数的单调性求解即可. 【详解】由，， 而，则函数为偶函数， 而函数在上单调递增， 则函数的单调减区间为. 故答案为： 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 3．（25-26高一上·上海·期末）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求出函数的最大值. 【详解】因为, 所以函数在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，即. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】将命题转化为关于的不等式组，即可得到答案. 【详解】命题等价于和同时成立. 分别解不等式，得到，，从而的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）已知函数在上有最大值7，最小值6，则正数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数性质，结合最值情况求出范围. 【详解】函数，当且仅当时取等号， 由函数的最小值为6，得，则；而，函数的最大值为7， 因此，即，解得，则， 所以正数的取值范围是. 故答案为： 6．（25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数（）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由， 要使有最小值， 则函数在上为减函数或常函数，在上为增函数或常函数， 所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为： 8．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 9．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由 ，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·阶段检测）函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】由定义代入，可求出的值，代入可求出对应的的值，根据题意对不等式变形可得，根据单调性可列出关于的不等关系，结合定义域可求出结果. 【详解】解：令，则有，所以， 因为，所以，所以， 不等式等价于， 函数是定义在上的严格减函数，则， 即，又，且，所以. 故答案为： 11．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若函数的定义域和值域分别为和，且是单调函数，则不同的函数的个数有___________个． 【答案】 【分析】分为是增函数和减函数两种情况，结合函数的定义即可求出答案. 【详解】当是增函数时，必有，， 也可能，此时不同的函数的个数有个， 当是减函数时，必有，， 也可能，此时不同的函数的个数有个， 综上，不同的函数的个数有个. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【分析】分析可知函数在上的值域为函数在上的值域的子集，求出这两个函数的值域，可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，函数在上的值域为函数在上的值域的子集. 因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故当时，， 又因为，，故， 所以函数在上的值域为， 当时，函数在上为增函数，故， 由题意得，所以，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由基本初等函数的单调性与奇偶性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，为奇函数，但在定义域不具备单调性，故A错误； 对于B，由幂函数的性质可得为奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，的定义域为，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【详解】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B 15．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用偶函数及单调性的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数是定义在上的偶函数， 若在上为严格增函数，则在上为严格减函数， 因此在上的最大值为； 若在上的最大值为，不能得到在上为严格减函数， 如函数是上的偶函数，在上的最大值为， 而在上不单调，因此不能得到在上为严格增函数， 所以“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的充分非必要条件. 故选：B 16．（24-25高一·上海·课堂例题）若定义域为的函数是偶函数，且在上是严格增函数，在上是严格减函数，又，则（    ） A．在上是严格增函数且有最大值2； B．在上是严格减函数且有最大值2； C．在上是严格增函数且有最小值2； D．在上是严格减函数且有最小值2． 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质，结合函数的最值定义进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上偶函数，且在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是减函数，在上是增函数， 则， 又因为上是增函数，所以有； 在上是减函数，所以有； 因此当时，有最大值，最大值为， 而函数是实数集上偶函数， 因此函数在实数集上有最大值2 故选：B 三、解答题 17．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 【答案】证明见详解 【分析】根据函数单调性的定义证明. 【详解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 18．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数在区间上的最小值为． (1)求函数的表达式； (2)若，求的值及此时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得函数的单调性，可得函数的最小值的解析式； （2）由，可得的值，进而可得函数的解析式，再求出函数在上的最大值． 【详解】（1）因为， 所以在上单调递减， 所以； （2）因为，即，解得， 所以，则在上单调递减， 所以． 即函数在上的最大值为． 20．（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上是严格增函数，且． (1)求证：； (2)已知，且，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）依题意求得即可得证. （2）由题意求得，故可将不等式转化成，再根据函数定义域和单调性即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 21．（24-25高一上·上海金山·阶段检测）已知函数是定义域在R上的奇函数． (1)求实数a的值： (2)判断函数的单调性并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上是增函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）由求得，再检验是否为奇函数； （2）由单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再上单调性化简，用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）函数 是定义域在R上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合． （2）在上是增函数．证明如下： 设任意， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． （3）因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立， 又在R上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数 ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $