第02讲 集合之间的关系（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第02讲 集合之间的关系（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集 知识点02：真子集 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：判断两个集合的包含关系 题型02：判断集合的子集(真子集)的个数 题型03：求集合的子集(真子集) 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：空集的性质及应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【例1】已知集合，，判断是否成立，并写出集合的所有子集。 【知识点02】真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 4．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 【例2】设集合，，判断与的关系，并写出的所有真子集。 【题型01】判断两个集合的包含关系 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 【典例1-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是：_________（写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【变式1-2】用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【题型02】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例2-1】已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【典例2-2】集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【典例2-3】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）集合的真子集个数为_____. 【变式2-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 【变式2-2】已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 【变式2-3】已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【题型03】求集合的子集(真子集) 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为________． 【典例3-2】写出集合的所有子集_____． 【典例3-3】已知集合，则集合的所有子集为_______. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 【变式3-2】写出集合的所有子集和它的真子集. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，，，则______. 【典例4-2】（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【典例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【变式4-1】已知集合满足，则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【变式4-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【变式4-3】（24-25高一上·上海松江·阶段检测）已知集合． (1)若集合，且，求实数的值； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【题型05】空集的性质及应用 【典例5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C．⊂ D．⊂ 【典例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【典例5-3】在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为______（填写所有正确的序号）． 【变式5-1】设集合，，若，则的值为______． 【变式5-2】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【变式5-3】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 知识点01核心知识体系梳理 本讲主要掌握集合两种核心包含关系：子集与真子集，明确二者定义、符号、性质及区别，是集合运算、后续函数定义域值域学习的基础核心知识点。 （一）子集知识总结 1. 严格定义 设任意两个集合，若集合中的每一个元素都属于集合，则称为的子集。 符号表示： 或 读法：包含于、包含 2. 两条硬性规定（必考） ① 空集是一切集合的子集：（为任意集合） ② 任何集合都是自身的子集： 3. 核心本质 子集只要求元素全部包含，允许两个集合完全相等，即相等的集合互为子集。 （二）真子集知识总结 1. 严格定义 若满足，且集合B中存在元素不属于集合A，则称是的真子集。 符号表示： 或 读法：真包含于、真包含 2. 核心性质 ① 空集是所有非空集合的真子集； ② 真子集具有不可逆性：若，则必然； ③ 真子集绝对不包含集合本身。 知识点02子集与真子集核心区别（易错点梳理） 1. 包含范围区别 子集：包含「集合完全相等」和「集合真包含」两种情况； 真子集：仅包含「集合真包含」一种情况，两个集合绝对不相等。 2. 逻辑关系 （真子集一定是子集） （子集不一定是真子集） 知识点03必考公式结论（万能公式） 若有限集合中含有个元素（），则有固定结论： 1. 子集总个数： 2. 真子集总个数： 3. 非空子集总个数： 4. 非空真子集总个数： 知识点04高频易错点课堂总结 1. 空集误区：空集没有真子集，空集是所有集合的子集、所有非空集合的真子集； 2. 符号误区：（子集）与（真子集）不可混用，填空题书写错误直接扣分； 3. 计数误区：计算子集个数必须包含空集和集合本身，真子集必须剔除集合本身； 4. 关系误区：集合相等时，只能用子集符号，不能用真子集符号。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合________ 2．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）满足条件的集合的个数有__________个. 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的值是______． 6．满足的集合A共有______个 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 8．已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 9．（24-25高一·上海·暑假作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______． 10．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 11．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是________ 12．（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 二、单选题 13.（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 14．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 15．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 三、解答题 17．已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 18．判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)若且，则； (2)若且，则； (3)若且，则． 19．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合之间的关系（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：子集 知识点02：真子集 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：判断两个集合的包含关系 题型02：判断集合的子集(真子集)的个数 题型03：求集合的子集(真子集) 题型04：根据集合的包含关系求参数 题型05：空集的性质及应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 【例1】已知集合，，判断是否成立，并写出集合的所有子集。 解：第一步：判断包含关系 集合中的元素均属于集合，满足“任意元素都在中”，根据子集定义可得： 第二步：按元素个数枚举的全部子集 含0个元素： 含1个元素： 含2个元素： 答案：成立；的所有子集为。 【知识点02】真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅；(2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 4．与子集、真子集个数有关的4个结论 假集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 【例2】设集合，，判断与的关系，并写出的所有真子集。 解析：第一步：判断真子集关系 集合中所有元素均在中，满足；且存在元素、，符合真子集定义，因此： 第二步：枚举的所有真子集（真子集不含集合本身） 含0个元素： 含1个元素： 答案：；的所有真子集为。 【题型01】判断两个集合的包含关系 【典例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 【典例1-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）下列关系式错误的个数为：（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对①：空集不含任何元素，故①错误； 对②：空集是任何集合的子集，故②正确； 对③：是自然数，故③正确； 对④：，故错误，故④错误； 故错误的个数为． 故选：B． 【典例1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是：_________（写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 【变式1-2】用符号“”“”或“”连接集合A与B： (1)； (2)是8的正约数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求集合，进而可得两集合间的关系； （2）根据题意求集合，进而可得两集合间的关系. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为是8的正约数， 所以. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【详解】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 【题型02】判断集合的子集(真子集)的个数 【典例2-1】已知集合，集合的子集个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的子集定义，即可求得. 【详解】集合的子集分别是：，，，共有4个. 故选：. 【典例2-2】集合的真子集的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】依题意，，即，而，因此，， 所以集合的真子集个数为. 故选：C 【典例2-3】（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）集合的真子集个数为_____. 【答案】7 【分析】解不等式得出集合中元素，由公式求真子集个数即可. 【详解】因为， 所以真子集的个数为， 故答案为：7 【变式2-1】（2025高一·上海·专题练习）已知集合，，，则集合的子集个数为__________. 【答案】8 【分析】求出集合的元素个数即可得答案. 【详解】因，， 则， 故集合的子集个数为个. 故答案为：8. 【变式2-2】已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是_________ 【答案】511 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 【变式2-3】已知集合，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 【答案】子集8个，真子集7个，非空真子集6个 【分析】非空集合中有个元素，则它的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为. 【详解】集合，有3个元素， 所以子集有个；真子集有个；非空真子集有个. 综上，集合，子集有8个，真子集有7个，非空真子集有6个. 【题型03】求集合的子集(真子集) 【典例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为________． 【答案】，， 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 【典例3-2】写出集合的所有子集_____． 【答案】，，， 【分析】根据子集的概念进行求解即可 【详解】集合的所有子集有，，，. 故答案为：，，， 【典例3-3】已知集合，则集合的所有子集为_______. 【答案】，，， 【分析】明确集合，根据子集的概念可得集合的所有子集. 【详解】由或，所以. 所以集合的子集为：，，，. 故答案为：，，， 【变式3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是________． （2）已知集合，则集合的真子集依次是________． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【分析】（1）根据列举法和子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举； （2）根据列举法和真子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举． 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 【变式3-2】写出集合的所有子集和它的真子集. 【答案】答案见解析. 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】集合的所有子集为； 集合的所有真子集为. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各集合的一个子集 (1)三角形； (2)； (3)． 【答案】(1)直角三角形（答案不唯一） (2)或 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）（2）（3）根据所给集合写出其一个子集即可. 【详解】（1）集合三角形的一个子集为直角三角形（答案不唯一）； （2）集合的子集为或； （3）集合的一个子集为（答案不唯一）. 【题型04】根据集合的包含关系求参数 【典例4-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，，，则______. 【答案】5 【详解】因为，，所以且， 又，所以. 【典例4-2】（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 【典例4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】由可知是的子集，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 【变式4-1】已知集合满足，则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合. 【详解】因为，且， 当时，符合题意； 当时，又，所以或，解得或， 综上可得实数的取值集合为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】将集合化简，再由可得或或或，分别代入计算，即可求解. 【详解】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 【变式4-3】（24-25高一上·上海松江·阶段检测）已知集合． (1)若集合，且，求实数的值； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)0或或2 (2) 【分析】（1）可得，根据包含关系分、和三种情况运算求解； （2）根据包含关系分、和三种情况运算求解，注意检验. 【详解】（1）因为集合， 若，且集合，则有： 若，可得； 若，则，可得； 若，则，可得； 所以实数的值为0或或2. （2）因为，且集合，则有： 若，显然，则，可得； 若，则，可得， 此时，不合题意； 若，则，此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【题型05】空集的性质及应用 【典例5-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）以下几个关系中正确的是（    ）. A． B． C．⊂ D．⊂ 【答案】C 【分析】对于ABC，根据空集的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以⊂，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：C 【典例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 【典例5-3】在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为______（填写所有正确的序号）． 【答案】② 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 【变式5-1】设集合，，若，则的值为______． 【答案】0或1或 【分析】由，按集合的可能情况分类讨论求解可得． 【详解】由， 方程至多1个解，故. ， 或或， ①若，则； ②若，则； ③若，则，解得； 综上可得，或1或. 故答案为：0或1或. 【变式5-2】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【变式5-3】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）0或1. 【分析】(1)根据给定条件可得，再借助一元二次方程根的判别式列式作答； (2)根据给定条件确定方程只有一个根或者有两个等根即可得解. 【详解】（1）因为集合A的子集只有一个，则，即方程无实数根， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）因为集合A中有且只有一个元素，则方程只有一个实数根或者两个相等实根， 当时，集合满足题意，则， 当时，则，，集合满足题意，即， 所以实数a的值为0或1. 知识点01核心知识体系梳理 本讲主要掌握集合两种核心包含关系：子集与真子集，明确二者定义、符号、性质及区别，是集合运算、后续函数定义域值域学习的基础核心知识点。 （一）子集知识总结 1. 严格定义 设任意两个集合，若集合中的每一个元素都属于集合，则称为的子集。 符号表示： 或 读法：包含于、包含 2. 两条硬性规定（必考） ① 空集是一切集合的子集：（为任意集合） ② 任何集合都是自身的子集： 3. 核心本质 子集只要求元素全部包含，允许两个集合完全相等，即相等的集合互为子集。 （二）真子集知识总结 1. 严格定义 若满足，且集合B中存在元素不属于集合A，则称是的真子集。 符号表示： 或 读法：真包含于、真包含 2. 核心性质 ① 空集是所有非空集合的真子集； ② 真子集具有不可逆性：若，则必然； ③ 真子集绝对不包含集合本身。 知识点02子集与真子集核心区别（易错点梳理） 1. 包含范围区别 子集：包含「集合完全相等」和「集合真包含」两种情况； 真子集：仅包含「集合真包含」一种情况，两个集合绝对不相等。 2. 逻辑关系 （真子集一定是子集） （子集不一定是真子集） 知识点03必考公式结论（万能公式） 若有限集合中含有个元素（），则有固定结论： 1. 子集总个数： 2. 真子集总个数： 3. 非空子集总个数： 4. 非空真子集总个数： 知识点04高频易错点课堂总结 1. 空集误区：空集没有真子集，空集是所有集合的子集、所有非空集合的真子集； 2. 符号误区：（子集）与（真子集）不可混用，填空题书写错误直接扣分； 3. 计数误区：计算子集个数必须包含空集和集合本身，真子集必须剔除集合本身； 4. 关系误区：集合相等时，只能用子集符号，不能用真子集符号。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合________ 【答案】 【分析】根据包含关系写出所有可能得集合即可. 【详解】由题设集合的包含关系知：是的真子集， 所以集合可能为. 故答案为： 2．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上) ①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅是{0}的真子集． 【答案】④ 【分析】根据空集的定义、空集是任何非空集合的真子集可以判断. 【详解】∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，故①不对； 又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以②③不对，④正确． 故答案为：④ 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）满足条件的集合的个数有__________个. 【答案】 【分析】依题意可得，，且，求出集合的非空子集个数，即可得解. 【详解】因为， 所以，，且，即中除了元素和外至少还有一个元素， 则问题转化为求集合的非空子集个数， 又的非空子集有个， 所以满足条件的集合有个. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）设集合A满足，则满足条件的A有__________个. 【答案】7 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，得含有元素的集合的真子集为： ， 所以满足条件的A有7个. 故答案为：7 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的值是______． 【答案】2或3 【分析】由子集的定义易得结果. 【详解】由集合，，，可得或3. 故答案为：2或3. 6．满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 7．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合个数有__________个． 【答案】 【详解】因为，则中一定含有元素，又， 所以符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数，故有个. 8．已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 9．（24-25高一·上海·暑假作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则______． 【答案】8 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 10．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 11．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】分类讨论以确定集合是否是空集，再根据从而解得的取值范围． 【详解】当时，集合满足； 当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为； 综上，当时，实数的取值范围为． 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期末）设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 【答案】 【分析】由集合间的包含关系确定中的元素都在中，进而讨论的取值即可. 【详解】由题意得，因为， 当时，，符合题意， 当时，，则或，解得或， 综上，实数组成的集合为. 二、单选题 13.（25-26高一上·上海·期中）满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 14．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可. 【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集， 当时，，满足条件； 当时，有，即，集合是空集，满足条件， 综上所述，集合的子集只有一个时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质. 15．已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 16．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【分析】先求出集合，根据分、讨论求得，进而判断各选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A 三、解答题 17．已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 【答案】实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【解析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得集合为单元素集 （1）当时，此时集合的两个子集是， （2）当时则解得，此时集合的两个子集是， 实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用． 18．判断下列说法是否正确，并简要说明理由： (1)若且，则； (2)若且，则； (3)若且，则． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)不正确，理由见解析； (3)正确，理由见解析. 【分析】由已知结合元素与集合，集合与集合的关系判断各命题即可求解. 【详解】（1）正确，根据元素与集合可知，若，则集合中的元素全属于集合， 故，则成立. （2）不正确，若且，则不一定成立， 例如. （3）正确，由子集与真子集的概念可得若且，则一定成立. 19．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $