3.1《勾股定理的探究》暑假预习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理探究，融合赵爽弦图、勾股树等文化素材与劳技搭建、容器倾斜等实际情境，梯度设计适配暑假预习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|直角边与斜边计算、图形面积转化|含“3,4,5”模型应用（第2题）、折叠问题（第10题）| |填空题|10题|中点性质、最短路径、垂美四边形|结合“少走捷径”生活情境（第12题）、旋转问题（第15题）| |解答题|10题|定理证明、动态几何、跨学科探究|含赵爽弦图证明（第28题）、动点等腰三角形分类（第29题）|

3.1《勾股定理的探究》暑假预习 一、单选题 1.若直角三角形的两边长分别为3,4，则第三边长可以是() A.4 B.5 C.5 D.v11 2.劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根 和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是() A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在R△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是边BC上一点.若BD=1,CD=7,则AD的长 为() B D A.7 B.6 C.5 D.4 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以AB为一边向外作正方形ABDE,则正方 形ABDE的面积为() O B E A.5 B.10 C.25 D.50 5.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形！ 设直角三角形的两条直角边长分别为mn伽>).若小正方形面积为7，(m+m=31,则大 正方形的边长为() A.√14 B.5 C.16 D.V19 6.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是() B A D A.13 B.29 C.47 D.94 7.如图，在R△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S,S2,S3S3+S2-S1=20 ，则图中阴影部分的面积为() B A.5 B.2 C.4 . 8.如图，AB=BC=CD=DE=山∠ABC=∠ACD=∠ADE=90°，则线段AE的长为() D A.5 B.2 C.5 D.√6 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,AB=10,AD平分∠BAC交BC于D, DEAB于E,则CD为（） CD B A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕EF.若∠1=60°，EF=2, 则阴影部分的面积为() B 3 A.2 B.2 C.5 D.25 二、填空题 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=3,BC=4,则CD= D 12.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了 一条“路”.他们仅仅少走了m,却踩伤了花草. 6m “路” C 州B 8m 13.将∠C=60°的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点D,E表示的刻度分 别为2cm,6cm,当AC⊥DE时，线段AE的长为cm. D E 14.在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12Cm,则AB边上的中线长是 cm 15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 D 36 1 16.如图，Rt△ABC中，乙ACB=90,BC=6,分别以点A,B为圆心，大于21B的长为半径 画弧，两弧相交于点D,E.过D,E两点作直线，分别交AB,AC于点F,G,连接CF. 若CF=5,则AG= 17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC的一部分折叠，点C落在边AB上的点E处，折 痕交BC于点D,测得△BDE的周长为12，BE=4,则边AC= B 18.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD, 若AD=3,BC=5,则AB2+CD2= B 19.如图，一长方体容器，长、宽均为3，高为7，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱 进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器， 则CD= D 图1 B 图2 20.如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5,AC=4,E是△ABC内一点且BE平分∠ABC,若 ABCE的面积为2，则。ABE的面积为 B 三、解答题 21.如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ A 6 200 22.如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度 DE=5cm ,当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度 F=7cm ，且与摆锤在最低点时的 水平距离为BC=10cm, C E 图1 图2 (1)图2中CD=cm; (2)求钟摆AD的长度. 23.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AB=20,BC=21,AC=13,求AD的长. B D 24.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,求BC. (2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13,BC=5,求AB的长. 25.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90,BC=16,AB=20,CD1AB,垂足为D,AF平分∠CAB 交CD、BC分别于点E、F,点N为EF的中点，过点N作MN∥AB交AC于M, M (1)求证：CE=CF; (2)求MN的长. 26.已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB,BE⊥AC,CD与BE相交于点F. D E B (1)求证：△ADC≌AFDB, (2)若BD=12,AC=13,求AD的长. 27.如图，已知△ABC, B (备用图) (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点A作BC的垂线I,在1上求作点P，使得 PA=PB :(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=5,BC=10,Sc=20,则点P到AB的距离为·（如需画草 图，请使用备用图) 28.出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建.“令出入相补，各从 其类，因就其余不移动也.”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转 换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积， b b b a 图1 图2 图3 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(+b),如果 把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2b+b2 (1)由此得到等式 ； (2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、b, 斜边长为C,这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为℃的正方形. 运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、C的等式，整理后发现， a2+b2=c2 请说明此等式成立； 【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b，斜边c都存在 。+=〔的等量关系，利用此发现，解决下面问题： (3)如图3，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC大于BC,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得 △MDE点8的对应点为D,点C的对应点为E,连接BD,若 BC=x AC=2y AB=z x+2y=6△ABD 的面积为10，求△1BC 的面积. 29.如图，在RtACD中，∠ADC=90,AD=2,CD=1,点B在AD的延长线上，BD=L,连接BC, A D (1)求BC的长； (2)动点P从点A出发，沿射线AB运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒. ①当t为何值时，△PDC≌△BDC: ②当t为何值时，△PBC是等腰三角形？ 30.综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题： 如图1，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm, DE=1.7cm BE cm 的长为 【变式思考】 (2)如图2，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥BC,AD⊥CE于D,CD=V5,∠BEC=60°，求BE 的长； 【拓展运用】 (3)如图3，在△ABC中，BC=6,CD是高.若AB=2CD,求AC长的最小值. E (图1) (图2) (图3) 参考答案 一、单选题 1.C 解：当3,4是直角边长时，由勾股定理得第三边长=V3+4=5: 当4是斜边长时，由勾殷定理得第三边长=④-3=V万 2.C 解：两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， 由勾股定理，得到斜边需要：】 32+4=5(根)， 故选：C. 3.C 解：过点A作AE⊥BC于点E, B D ∠BAC=90°，AB=AC, :BE=EC=)BC=1+7)=4 2 .AE=BE=4,ED=BE-BD=4-1=3 AD-VAE+ED3=5 故选：C 4.C 解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, :.AB=VAC2+BC=V32+4=5 ∴.正方形ABDE的面积=AB2=52=25, 故选：C. 5.D 解：小正方形面积为7， :(m-mj}=7 ∴.m2+n2-2mn=7① 又(m+n=31 ∴.m2+n2+2mn=31② .①+②得，2m2+2n2=38 .m2+n2=19, ∴.大正方形的面积为m2+n2=19, 大正方形的边长为V9. 故选：D 6.C 解：如图 B A S E 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S,C、D的面积和为S,S+S,=S, .S3=S,+S2=32+52+22+32=47 故选：C. 7.A 解：在Rt△ABC中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S,S,S, 由勾股定理得：BC2-AC2=AB2,即S3-S=S2, S3+S2-S=20 S2=10 ”阴影部分的面积为23， .阴影部分的面积为5， 故选：A. 8.B 解：：AB=BC=CD=DE=l,∠ABC=∠ACD=∠ADE=90° :在a1BC中，由勾股定理可得：4C=VB+BC=巨， 同理可得： AD=CD+AC-3 AE=DE+AD-2 故选B. 9.B 解：AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,DC⊥AC, .DE=DC 在RtACD和Rt△AED中， AD=AD DC=DE, ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴.AE=AC=6 .∴.BE=AB-AE=10-6=4 设CD=x,则DE=,BD=8-x, 在Rt△BDE中，x2+42=(8-x)2, 解得x=3, 即CD=3. 10.C 解：如图，过点F作FG⊥AB于点G, D' B' H D EG B 依题意，CD∥AB .∠AEH=∠I=60°，∠FHE=∠AEH, .∴∠HEB=120° 折叠 ·<HEF=∠FEG-5HB=60 ∴.∠FHE=∠AEH=60°， 又.∠FHE=∠1=60° .∴.∠FHE=∠HEF=60° ∴.△HEF是等边三角形， ∴.FH=EF=2, 在RtAEFG中，∠FEG=60° ∴.∠EFG=30° EG-IEF=1 2 FG-EF2-EG=3 ·阴影都分的面9为FHxFG=-2x5=5, 故选：C 二、填空题 11.2.5 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, 小由勾股定理得4B=VAC+BC=5 点D是AB的中点， 60-号0=25 12.4 解：由勾股定理可得： “捷径”长度=V6+8=10(m) ,6+8-10=4(m) 即他们仅仅少走了4m,却踩伤了花草. 13.45 解：由题可知∠A=90°-∠C=30°， :AC⊥DE ∴.∠AED=90° .D E 2cm 6cm ，”的刻度分别为 .DE=6-2=4(cm) ∴.AD=2DE=8(cm) ·在RIADE中，AE=VAD-DE=4N5(cm) 故答案为：4W3. 14.6.5 解：：在RtAABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12, :.AB=VAC2+BC=V52+12=13 3=6.5, AB边上的中线长为： 故答案为：6.5. 15.72 解：根据勾股定理知：S正方E+S正方F=36,S正方形C+S正方形D=S正方形E,S正方形1+SE方形8=SE方形F, :.E方+S正为s+SEc+SE方0+SE方E+SE方=2(SE方E+SE方形F）=72 故答案为：72. 25 16.4 解：连接BG, 由作图可得DE是AB的垂直平分线， ∴点F是AB的中点，AG=BG, .∠ACB=90°，CF=5, ∴.AB=2CF=10, ∴在Rt△ABC中，AC=VAB2-BC=V02-6=8 设AG=BG=x,则CG=AC-AG=8-x, 在RtABCG中，BC2+CG2=BG, :6+(8-x=r 解得23 4 :G=25 4· 17.6 解：将△ABC的一部分折叠，点C落在边AB上的点E处，折痕交BC于点D, .AC=AE CD=DE .'△BDE 的周长为12， .BD+DE+BE=12 .·BE=4 ..BD+DE=8 BD+CD=8,即8C=8 设AC=x,则AE=x,AB=AE+BE=x+4, 在R△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2 .+8=(x+4,解得：x=6, .AC=6 18.34 解：由题意可得：AC⊥BD, .'.AB2=AE2+BE2,CD2=DE2+CE2,BC2=BE2+CE2,AD=AE2+DE2, ∴.AB2+CD2 =AE2+BE2+CE2+DE2 =(AE2+DE2)+(BE2+CE2） AD2+BC =32+52 =9+25 =34 19.5 解：如图所示： D B 设DE=x,则AD=7-x, 根据题意得：-x+7)k3x3=3x3x5, 解得：x=4, .DE=4, ∠E=90°， 由勾股定理得：CD=VDE+CE=V平+3=5 20.2 解：作ED⊥BC,EF⊥AB,垂足分别为D和F, 以E B .BE ∠ABC 平分 ∴，DE=EF ∠C=90°AB=5AC=4 :BC=V52-42=3 3 'SABCE=2 ×BCxDE=3 1 2, ∴，DE=1 .EF DE=1 1 ×ABxEP-号×5x15 5 SAABE=2 故答案为：2· 三、解答题 21.解：三角形是直角三角形， 小两直角边的平方和等于斜边的平方， 即S4+64=200 .S4=200-64=136 故答案为：136. 22.(1)解：由题意可知：CE=BF=7cm, CD=CE-DE=7-5=2(cm) 故答案为：2； (2)解：设MB=1D=Cm,依题意得： BC=10cm,AC=AD-CD=(x-2)(cm) .∠ACB=90°， 4B=4C+BC,即x-2y°+10=r 解得：x=26, 答：钟摆AD的长26cm. 23.解：.AD⊥BC, .'AD2=AB2-BD2,AD2=AC2-CD2. .'AB2-BD2=AC2-CD2, AB=20,BC=21,AC=13 :202-(21-CD/=132-CD2 解得CD=5, :.D=VAC2-CD=13-5=12 24.解：(1)Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12, .BC=V4B-AC-12=5 (2)Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13,BC=5, :.4B=VAC2-BC2=32-5=12 25.（1)证明：∠ACB=90°，CD1AB, ∴.∠ADC=∠ACB=90°， ∴.∠AED+∠DAE=90°，∠CAF+∠AFC=90°， ,AF平分∠CAB, ∴.∠DAE=∠CAF, ∴.∠AED=∠AFC, .'∠AED=∠CEF, ∴.∠AFC=∠CEF, ∴.CE=CF; (2)解：如图，连接CN, ,CE=CF,点N为EF的中点， .CN⊥AF, AF平分∠CAB, .ZDAE=ZCAF, .MN∥AB, ∴.∠DAE=∠ANM, ∴.∠CAF=∠ANM, ∴.AM=MN, .∠CAF+∠ACN=90°，∠AWM+∠CNM=90° ∴.∠ACN=∠CNM, .CM=MN, w-4c, .∠ACB=90°，BC=16,AB=20 AC=AB2-BC=12 :MN=)4C=6. 2 26.(1)证明：.CD1AB, ∴.∠ADC=∠FDB=90°， ∴.∠A+∠DBF=∠A+∠ACD=90° ∴.∠DBF=∠ACD .∠ABC=45°， ∴.∠BCD=∠ABC=45° ∴.DB=DC 在△ADC和△FDB中， [∠ADC=∠FDB DC=DB ∠ACD=∠DBF, 、△ADC≌△FDB(ASA) (2)解：.△ADC≌△FDB .AD=DF,AC=BF=13. 在RtAFDB中，BD=I2, ∴.DF=VBF2-BD2=5, ∴AD=5. 27.(1)如图，直线1，点P即为所求； (2)解：连接PB,设直线I交BC于点H. :AH⊥BC △ABC面积=2 C.AH=20,BC=10 ∴.AH=4 :AB=5 BH=VAB2-AH2=V52-42=3 :PT 直平分线段B, 4T-TB=AB=21 2 设1P=PB=x,则有=(4-+32 解得x25 83 PA=25 8, PF-F 15 :点P到AB距离为8： 28.(1)解：由题意得a+b}=a2+2ab+ (2)解：图2中大正方形的边长为a+b,因此大正方形的面积为(a+b), 1 拼成图2的五部分的面积和为2bx4+c, 所以有(a+b=c2+4×)ab, 2 即a2+2ab+b2=c2+2ab, .a2+b2=c2 (3)解：△ABC是直角三角形，∠C=90°， .x2+4y2=z2 由旋转可知，AB=AD=z,∠BAD=90°， S.D=5AB·AD=10 即z2=20, .x+2y=6 .(x+2y)2=62=36 即x2+4y+4y2=36. x2+4y2=z2=20 .20+4xy=36 .y=4 S.xeBCC 29.(1)解：∠BDC=180°-∠ADC=90,CD=1,BD=1, BC-CD+BD (2)解：①aPDC≌aBDC,AP=6,AD=2, .'PD=BD=1,PD=AD-AP=2-1=1, 解得t=1, 所以当t=1时，△PDC≌△BDC; ②当PC=BC时，△PBC是等腰三角形， ∴.PD=BD=1, ∴.AP=AD-PD=1, 此时t=1; 当PB=BC=V2时，△PBC是等腰三角形， .AP=AB-PB=3-2, 此时1=3-V2; 当点P与点D重合时，△PBC是等腰三角形， .'AP =AD=2, 此时t=2; 当点P在线段AB的延长线上时，当PB=BC=V2时，△PBC是等腰三角形， ∴.AP=AB+PB=3+√2， 此时1=3+V2. ■■ D B 所以当1=1或3-V2或2或3+V2时，△PBC是等腰三角形. 30. 解：(I)AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°， ∴.∠EBC+∠BCE=90°， ∠BCE+∠ACD=90°， ∴.∠EBC=∠DCA, 在△CEB和△ADC中， ∠E=∠ADC ∠EBC=∠ADC BC=AC ACEB≌AADC(AAS) .'BE=DC,CE=AD, AD=2.5cm,DE =1.7cm ∴.CE=2.5cm, .DC=CE-DE, .DC=2.5-1.7=0.8(cm) ∴.BE=0.8cm, 故答案为：0.8； (2)如图，过点B作BN⊥CE于点N, D AD⊥CE, .∠CNB=∠ADC=90°， ∴.∠BCN+∠ACD=90°，∠BCN+∠CBN=90°， ∴.∠CBN=∠ACD, 在△CNB和△ADC中， ∠CNB=∠ADC ∠CBN=∠ACD BC=AC △CNB≌△ADC(AAS) .BN DC=3, ∠BEC=60°， .∠NBE=30°， 设EN=x,则BE=2x, EN2+BN2=BE2, +3=(2x .x=1, ∴.BE=2; (3)过点B作BG⊥BC,使BC=BG=6,过点G作GM⊥AB于点M,连接CG,AG,则 ∠CGB=∠CDB=∠BMG=90° M B D G :.CG=VCB+BG=6N2,∠CBD+∠DCB=90、∠MBG+∠CBD=90° .∠DCB=∠MBG, 在△CDB和△BMG中， I∠CDB=∠BMG ∠DCB=∠MBG BC=BG 、△CDB≌△BMG(AAS) 。。 .CD=BM .AB=2CD, ∴.AM=BM, ∴.AG=BG=6, .AC≥CG-AG, .AC≥6N2-6, ∴.AC长的最小值为6W2-6.