3.1.2 勾股定理的证明 同步练习-2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 练习以“赵爽弦图”为核心载体，分基础应用、综合计算、证明探究三层，覆盖勾股定理从概念理解到定理推导的完整巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|勾股定理直接应用（弦图边长计算）|选择填空为主，数据简单（如已知勾和弦求小正方形边长）| |综合计算|弦图变式与多知识点综合（图形变换、面积关系）|结合图形变换，需方程思想（如“数学风车”外围周长计算）| |证明探究|定理证明与逻辑推理（不同证法推导）|解答题呈现多种证法（总统证法、弦图证法），培养推理能力|

3.1.2 勾股定理的证明 一．选择题（共8小题） 1．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（　　） A．10 B．12 C．16 D． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 3．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D． 4．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 5．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．72 B．52 C．80 D．76 7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2＝64：②x﹣y＝3；③2xy＝55；④x+y＝11．其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于　 　 ． 10．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是　 　 ． 11．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是　 　 ． 12．在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　 　 ． 13．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为　 　 ． 14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE＝6，正方形ODCE的边长为2，则BD等于　 　 ． 三．解答题（共5小题） 15．观察、思考与验证 （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式　 　 ； （2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程． 16．如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形） 17．如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c，试利用图形证明勾股定理． 18．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形． （1）判断△ABE的形状，并证明你的结论； （2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积； （3）求证：a2+b2＝c2． 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：小正方形的边长等于直角三角形两条直角边之差，即b﹣a＝2， 则b＝a+2＝6+2＝8， ∴设勾a＝6，则弦c的长度是． 故选：A． 2．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4， ∴4ab+（a﹣b）2＝25， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3， 故选：D． 3．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， 又∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG． 设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG＝2x，FGx， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝xx， ∴BC2＝BG2+CG2， ∴． 故选：B． 4．【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 5．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， 即a2+b2＝9，a﹣b＝1， 所以ab[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]（9﹣1）＝4，即ab＝4． 解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8； 每个三角形的面积为2； 则ab＝2； 所以ab＝4 故选：A． 6．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169 所以x＝13 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76． 故选：D． 7．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形， ∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64， 故本选项正确； ②由图可知，x﹣y＝CE3， 故本选项正确； ③由2xy+9＝64可得2xy＝55， 故本选项正确； ④∵x2+2xy+y2＝64+55， 整理得，（x+y）2＝119， x+y11， 故本选项错误； ∴正确结论有①②③． 故选：B． 8．【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP， ∴∠ADG＝∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PG＝PC． ∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP． ∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴，即． 设AE＝BF＝HD＝x， ∴． ∴x＝1或x＝1（舍去）． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：∵AB＝10，EF＝2， ∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4ab＝96， ∴2ab＝96，a2+b2＝100， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196， ∴a+b＝14， ∵a﹣b＝2， 解得：a＝8，b＝6， ∴AE＝8，AH＝DE＝6， ∴AH＝8﹣2＝6． 故答案为：6． 10．【解答】解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10， ∴股DE8， ∴小正方形的边长＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面积＝22＝4． 故答案为：4． 11．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10， ∴股8， ∴小正方形的边长＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面积＝22＝4 故答案为：4 12．【解答】解：∵小正方形的面积是25， ∴EB＝5， ∵△HAG≌△BCA， ∴AH＝CB， ∵大正方形的面积为49， ∴BH＝7， ∴AB+AH＝7， 设AB＝x， 则AH＝7﹣x， 在Rt△ABC中：x2+（7﹣x）2＝52， 解得：x1＝4，x2＝3， 当x＝4时，7﹣x＝3， 当x＝3时，7﹣x＝4， ∵AB＜BC， ∴AB＝3，BC＝4， ∴， 故答案为：． 13．【解答】解：由“赵爽弦图”可知AE＝DH， 设EH＝x，则DH＝AE＝x， ∵AD的长为5，AE2+ED2＝AD2， ∴x2+（2x）2＝52， ∴， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 14．【解答】解：设正方形ODCE的边长为2， 则CD＝CE＝2， 设BD＝x， ∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO， ∴AF＝AE，BF＝BD， ∴AB＝x+6，AC＝6+2＝8，BC＝x+2， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（x+2）2+82＝（x+6）2， ∴x＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共5小题） 15．【解答】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下： ∵大正方形的边长为a+b， ∴大正方形的面积＝（a+b）2， 又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）证明：在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SSS）， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°； （3）证明：∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠B+∠D＝180°， ∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形， ∴四边形ABDE的面积（a+b）（a+b）abc2ab， 整理得：a2+b2＝c2． 16．【解答】证明：∵， ∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2， ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 17．【解答】证明：∵∠C＝90°，∠D＝90°，AC＝BD＝a，BC＝DE＝b，AB＝BE＝c， ∵Rt△ACB≌Rt△BDE， ∴∠ABC＝∠BED，∠BAC＝∠EBD， ∵∠ABC+∠DBE＝90°， ∴∠ABE＝90°， 三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2． 直角梯形的面积为（a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）ababc2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 18．【解答】（1）△ABE是等腰直角三角形， 证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE， ∴∠BAE＝90°， 又∵AB＝AE， ∴△ABE是等腰直角三角形； （2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积， ∴四边形ABFE的面积等于：b2． （3）∵S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE 即：b2c2（b+a）（b﹣a）， 整理：2b2＝c2+（b+a）（b﹣a） ∴a2+b2＝c2． 19．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2， ∴AB， ∴， 即30×CH， ∴CH， ∴AH， ∴S四边形AHIN＝AH•AN＝18，， ∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． ∴AC2＝AH•AB， 同理可得：BC2＝BH•AB， ∴AC2+BC2＝AH•AB+BH•AB＝AB2 学科网（北京）股份有限公司 $