3.2勾股定理的逆定理（同步练习）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年苏科版数学八年级上册 3.2勾股定理的逆定理 （同步练习） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，下列各组数据能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14 3.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 4.三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 6.如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 7.在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 8.如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是 ． 10. 已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 11. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 12. 下列条件：①；②；③，；④，则能确定是直角三角形的条件有 个． 13.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　　． 14. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 15.同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个． 16.如图，O为等腰直角（）内一点，连接，，，，， ，则的长为 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    18. 如图， 在中， 于点， ，，， (1) 求AB，AC2； (2)求的度数． 19.如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 19. 如图，在五边形中，，，，，，，，连接、． (1) 求和的长； (2)求五边形的面积．    21.如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当t＝2时，CD＝　　，AD＝　　；（请直接写出答案） （2）当t＝　　时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案） （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由． 23.【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 24.定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 2.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，下列各组数据能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14 【答案】A 3.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 4.三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（　　） A．4 B．3 C．5 D．4.5 【答案】B 6.如图，在2×3的正方形网格中，（   ） B． B． C． D． 【答案】A 7.在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 8.如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是 ． 【答案】直角三角形 13. 已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 14. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数 ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 15. 下列条件：①；②；③，；④，则能确定是直角三角形的条件有 个． 【答案】4 13.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　　． 【答案】36 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 15.同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个． 【答案】8 16.如图，O为等腰直角（）内一点，连接，，，，， ，则的长为 ． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    【答案】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图， 在中， 于点， ，，， (2) 求AB，AC2； (2)求的度数． 【答案】（1）解：∵，∴， ∴，； （2）解：由（）得，，，∴，， ∵，∴，∴，∴． 19.如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． (1)填空：_______，_____，_____； (2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 20.如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．(1)求和的长；(2)求五边形的面积．    【答案（1）解：，，，， ，， ，，，，，，，； （2）解：，，， 五边形的面积为： ． 21.如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． (1)求证：； (2)求三角形花园的面积． 【答案】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当t＝2时，CD＝　　，AD＝　　；（请直接写出答案） （2）当t＝　　时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案） （3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由． 【答案】解：（1）t＝2时，CD＝2×2＝4， ∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴， AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21； （2）①∠CDB＝90°时，S△ABCAC•BDAB•BC， 即25•BD20×15， 解得BD＝12， 所以， t＝9÷2＝4.5（秒）； ②∠CBD＝90°时，点D和点A重合， t＝25÷2＝12.5（秒）， 综上所述，t＝4.5或12.5秒； 故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒； （3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E， 则CE＝BE， CD＝ADAC25＝12.5， t＝12.5÷2＝6.25； ②CD＝BC时，CD＝15，t＝15÷2＝7.5； ③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， 则CF＝9， CD＝2CF＝9×2＝18， t＝18÷2＝9， 综上所述，t＝6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形． 23.【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 24.定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $