第03讲 用公式法求解一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第03讲 用公式法求解一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一元二次方程中判别式的值 题型2 利用用公式法还原一元二次方程 题型3 用公式法求解一元二次方程 题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题 题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6 根据一元二方程根的情况求参数 题型7 一元二方程中参数与其他综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 公式法、求根公式、判别式、根的个数、通法。 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，体会配方法的应用。 2. 掌握根的判别式= b2 - 4ac的作用，能判别方程根的情况。 3. 能熟练运用公式法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。 4. 体会从一般到特殊的思想，感受数学公式的简洁美与通用性。 学习重点：求根公式 的运用，以及用判别式判断根的情况。 学习难点：求根公式的推导过程（配方法变形），以及当 < 0时对“方程无实数根”的理解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【易错提醒】 先化为一般式ax2+bx+c=0，准确确定a,b,c及符号。计算判别式=b2-4ac时，注意公式为x=，a在分母勿漏。 即时即练1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解答本题的关键． 根据公式法计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ，． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：． ∴， ∴ 解得  ，． 知识点02 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即； （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【易错提醒】 使用前提是方程为一元二次方程（即a ≠ 0）。=b2-4ac。 > 0时有两个不等实根；= 0时有两个相等实根；<0时无实数根。 即时即练1．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： （2）解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 题型1 求一元二次方程中判别式的值 【例1】一元二次方程方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据一元二次方程根判别式的定义式可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【例2】一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0，确定a,b,c。 2. 代公式：计算 = b2-4ac，注意符号与括号。 3. 化最简：结果保留根号或小数，无需开方判断。 【变式1-1】关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得， 即的值为． 故答案为：． 题型2 利用用公式法还原一元二次方程 【例3】在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 【例4】用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 【技巧归纳】 1. 反用求根公式：已知根x=，可设 a=1，由和x1+x2=-b，积x1x2=c还原方程。 2. 注意整数化：将系数化为整数，避免分母。 【变式1-1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 【变式3】在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 题型3 用公式法求解一元二次方程 【例5】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先求出的值，再代入求根公式求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例6】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 【技巧归纳】 1. 化为一般式：ax2+bx+c=0（a≠0）。 2. 计算判别式：=b2-4ac。 3. 代入求根公式：x=，<0时无实数根。 【变式1-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先将方程化简，得到，，，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， 方程化为：， ，，， ， ， ，． 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴∴， ∴， ∴， 解得． 题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【例7】嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根④ (1)嘉嘉解方程的方法是______；他的求解过程从第______步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)公式法，② (2)步骤见解析，， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，求解过程中，，，他的表示系数时错误，所以，从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； （2）解：， ，，， ， ， ，． 【例8】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程 的过程如下： 解：∵，， ∴ ∴此方程无解． 问题： (1)上述过程中，从 步开始出现了错误 （填序号）； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)； (2)过程见解析，，． 【分析】（）先把一元二次方程应化为一般形式，然后即可判断； （）根据公式法解一元二次方程即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤． 【详解】（1）解：由题意可得，一元二次方程应化为一般形式， ∴从步开始出现了错误， 故答案为：； （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【技巧归纳】 1. 定位错误：检查 a,b,c符号与计算 过程，找符号、括号或运算错误。 2. 对照正解：用正确公式重算，对比差异点。 3. 整理步骤：规范书写，避免跳步，复查分母2a及平方根处理。 【变式1-1】小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，．第四步 (1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 【答案】(1)一； (2)正确的解答见解析． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了； （2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的， 故答案为：一； （2）解：方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【变式3】发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】(1)⑤ (2)当为等边三角形时，的值为1． 【分析】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【例10】若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【技巧归纳】 1. 化标准式：ax2+bx+c=0（a≠0），计算 =b2-4ac。 2. 判断：>0 两不等实根；=0两相等实根；<0 无实根。 【变式1-1】关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式3】若，关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 题型6 根据一元二方程根的情况求参数 【例11】已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【例12】若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 1. 化标准式：整理为 ax2+bx+c=0，注意二次项系数含参数时不等于0。 2. 列不等式：根据根的情况（两不等、两等、无实数根）列 > 0、=0、< 0。 3. 解参数范围：解不等式或方程，注意二次项系数不为零。 【变式1-1】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出不等式解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 【答案】且 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可求出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得：， 又， 则a的取值范围是且， 故答案为：且． 题型7 一元二方程中参数与其他综合问题 【例13】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)时，方程的两根为， 【分析】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，熟记求根公式为是解题的关键． （1）先求出判别式的值，再根据的意义证明即可； （2）根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根． 【详解】（1）证明： ， 无论m取任何数，，即， 无论m取何值，该方程总有实数根； （2）解： ，由求根公式得： ，， 方程的两个根都是整数， 取时，方程的两根为，． 【例14】已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)12 (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 【技巧归纳】 1. 先判△：保证方程有实根（含参数时列 ≥0）。 2. 韦达定理：x1+x2、x1x2代入条件（如x12+x22、+）列方程。 3. 验取舍：检验参数是否满足≥ 0 及分母不为0。 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程，其中，，分别为的三边长． (1)如果方程的一个根为，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)， (3)为直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意将方程的根代入即可求出，二者关系，从而判断的形状． （2）利用等边三角形的性质可知，， 三者相等，将其代入一元二次方程中即可求出关于的一元二次方程，求出的值即可． （3）根据题意即可知道，从而求出，，三者关系， 利用勾股定理逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 将方程的一个根代入原方程得：， ． ，是的两边， 是等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ，． 这个一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． （3）解：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ． 为直角三角形． 【变式3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 一、单选题 1．关于的一元二次方程 ，判别式的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定一元二次方程的各项系数，再代入判别式公式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其判别式为 ， ∵方程 中，，， ∴，即判别式的值为． 2．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 3．方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 4．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴ 解得， 故D符合题意． 5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则，并且二次项系数不可以为0． 【详解】解：且， 即， 解得，且． 二、填空题 6．一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代入方程系数计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程中的，，． 则这个方程根的判别式的值是． 7．一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式，再利用求根公式 求解即可． 【详解】解： 移项，得 根的判别式 ∴ 即，． 8．已知方程根的判别式的值为124，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式公式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式公式，代入系数得到关于m的方程，然后求解即可． 【详解】解：由方程 可知，，，， 则根的判别式 ， ， ，解得 ， 则． 故答案为：． 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，当一元二次方程有两个不相等的实数根时根的判别式大于0求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， 即， 解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 即， 解得， 综上，的取值范围是且． 三、解答题 11．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 12．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明解答过程开始出错的是_______； (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第三步 (2)见解析 【分析】（1）将方程化为一般形式，再根据公式法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：小明的解答是从第三步开始出错的； （2）解：方程化为一般式为， ， ， ， ． 13．为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 14．已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 15．定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第03讲用公式法求解一元二次方程 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求一元二次方程中判别式的值 题型2利用用公式法还原一元二次方程 题型3用公式法求解一元二次方程 题型4用公式法解一元二次方程的错题复原问题 题型5根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6根据一元二方程根的情况求参数 题型7一元二方程中参数与其他综合问题 04过关检测→练考点：强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，体会配方法的应用。 公式法、求根公式、判 2.掌握根的判别式A=b2-4ac的作用，能判别方程根的情况。 别式、根的个数、通法。 3.能熟练运用公式法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。 4.体会从一般到特殊的思想，感受数学公式的简洁美与通用性。 学习重点：求根公式-64 23 的运用，以及用判别式判断根的情况。 学习难点：求根公式的推导过程（配方法变形），以及当△<0时对“方程无实数根”的理解。 02 教材全解 ◇ 知1识1框|架 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 先化一般式 公式法概念 定义 再找abc 解题口诀 依据 求根公式 计算判别式 化一般式 代入公式求 配方法推导 配方 a、b、c符号错误 求根公式的推导 开平方 △计算失误 高频易错点 公式结果 x=[-b±Jb2-4ac]/(2a) 忽略ar0条件 符号△ 定义 代入公式符号遗漏 用公式法求解一 △=b2-4ac 元二次方程 判别式 判别式计算 A>0 根的情况判断 高频考点 判别根情况 △=0 含参方程分析 △<0 解一元二次方程 化为一般式 判别根的情况 公式法应用 确定a、b、c 公式法解题步骤 确定参数范围 计算判别式A 代入公式求解 写出两根 知|识I精1讲 知识点01公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程ar2+x+c=0(a≠0），当△=62-4ac≥0时，x=b±8-4ac 2a 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号)；③求出b2-4c的值： ④考62-4c≥0，则利用公式x=-b±B-4ac求出原方程的解，若62-4ac<0,则原方程无实根 2a 【易错提醒】 先化为般式m24bx+c0,准确确定a,bc及符号。计算判别式△=b2.4ac时，注意公式为- 云，a在 分母勿漏。 即时即练1.解方程：3x2-8x+3=0. 2.解方程：2x2-3x-9=0. 知识点02一元二次方程根的判别式 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，b2-4aC叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别 式，通常用“△”来表示，即△=b2-4ac: (1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； (2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； (3)当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定α，b.c 的值；③计算b2-4ac的值；④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况. 2.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2+bx+c=0a≠0中， (1)方程有两个不相等的实数根→b2-4aC>0: (2)方程有两个相等的实数根→b2-4aC=0: (3)方程没有实数根→b2-4ac<0. 要点： (1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件： (2)若一元二次方程有两个实数根则b2-4ac≥0. 【易错提醒】 使用前提是方程为一元二次方程（即a≠0）。△=b2.4αc。△>0时有两个不等实根；△=0时有两个相等 实根；△<0时无实数根。 即时即练1.一元二次方程x2+x-6=0根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 2.已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2-5=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根， 03 题型突破 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型1求一元二次方程中判别式的值 【例1】一元二次方程方程3x2-x-1=0的根的判别式的值为 【例2】一元二次方程2x2-5x+1=0的根的判别式的值是」 【技巧归纳】 1.化标准式：整理为ax2+bx+c=0,确定a,b,c. 2.代公式：计算△=b2.4ac,注意符号与括号。 3.化最简：结果保留根号或划小数，无需开方判断。 【变式1-1】关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则m= 【变式3】若关于的一元二次方程，+(m-2)x+m2=0,其根的判别式的值为8，则m的值是 题型2利用用公式法还原一元二次方程 【例3】在用求根公式=b±6-4ac求一元二次方程的根时，小琚正确地代入了a,b,c得到 2a 3±V-3)2-4×2×(-1) x= ，则她求解的一元二次方程是() 2×2 A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-3x+2=0 D.-x2-3x+2=0 【例4】用公式法解一元二次方程的根为x= 2±4-4×3×-1， 该方程为() 2×3 A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.x2-2r+3=0 D.3x2-2x-1=0 【技巧归纳】 1,反用求根公试：已知根尝学， 可设a=1,由和1+x2=-b,积x12=c还原方程。 2.注意整数化：将系数化为整数，避免分母。 【变式1-1】在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到x 5±-5)2-4×2×(-， 则该一元二次方程 2×2 可能为() A.2x2+5x-1=0 B.2x2-5x-1=0 C.-2x2-5x+1=0 D.5x2-2x-1=0 【变式3】在用求根公式r:-b士2-4ac求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、、c,得到 2a 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x-3±3-4×2x(-D,则她求解的一元二次方程是（) 2×2 A.2x2+3x-1=0 B.2x2-3x-1=0 C.-2x2-3x+1=0 D.3x2-2x-1=0 题型3用公式法求解一元二次方程 【例5】解方程：3x2-10x+6=0 【例6】解方程：2x2+6x-5=0, 【技巧归纳】 1.化为般式：ax2+bx+c-0(a0)。 2.计算判别式：△=b2-4ac。 3代入求根公式：，△0时无实数根 【变式1-1】解方程： x-22-2x+2-0. 【变式3】解方程 (1)2x2+5x+2=0 (2)x2-2V2x-3=0 题型4用公式法解一元二次方程的错题复原问题 【例7】嘉嘉同学解一元二次方程2x2-x-1=0的过程如下. 解：2x2-x-1=0,① a=2,b=1,c=1,② △=b2-4ac=22-4=0,③ 方程有两个相等的实数根x=5=-力：-上④ 2a4 (1)嘉嘉解方程的方法是；他的求解过程从第步开始出现错误. (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根， 【例8】阅读材料，并回答问题： 嘉淇在学习一元二次方程时，解方程2x2-x=3的过程如下： 解：：a=2,b=-1,c=3① △=b2-4ac=(-1)-4×2×3② =-1-24=-25<0③ 5/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此方程无解， 问题： (1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）； (2)请写出正确的解答过程 【技巧归纳】 1.定位塔误：检查a,b,c符号与计算△过程，找符号、括号或运算错误。 2.对照正解：用正确公式重算，对比差异点。 3.整理步骤：规范书写，避免跳步，复查分母2a及平方根处理。 【变式1-1】小明在解方程x2-5x=-3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：a=1,b=-5,c=-3,…第一步 .b2-4ac=（-5)2-4×1×-3)=37,…第二步 x=5+V37 …第三步 2 5=5+37 .5-V37 2 -，X= …第四步 2 (1)问：小明的解答是从第 步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答， 【变式3】发现思考：己知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2-7x+10=0的两个根，求等腰三角形 ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错 误原因。 涵涵的作业： 解：x2-7x+10=0. a=1,b=-7,c=10. yb2-4ac=9>0,-① x=-b±vB-4ae_7±3 -(② 2a 2 .x=5,x2=2. -③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5,5,2 -④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2,2,5.⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是（填序号）· (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程2-x+四】0的两个实数根 "24 ①m=2时，求ABC的周长； 6/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当ABC为等边三角形时，求m的值. 题型5根据判别试判断一元二次方程根的情况 【例9】关于x的一元二次方程x2+2x-3=0的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【例10】若x=2是方程x2-3x+m=0的一个根，则此方程的根的情况是() A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.m<0时，没有实数根 【技巧归纳】 1.化标准式：ax2+bx+c-0(a0),计算△=b2.4ac。 2.判断：△>0两不等实根；△0两相等实根；△<0无实根。 【变式1-1】关于x的一元二次方程x2+mx-1=0的根的情况是() A.只有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 【变式3】若k<0,关于x的一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D,无法判断 题型6根据一元二方程根的情况求参数 【例11】已知关于x的一元二次方程mx2-2mx-1=0的两个实数根相等，则m= 【例12】若关于x的方程x2-3x+c=2无解，那么实数c的取值范围是一 【技巧归纳】 1.化标准式：整理为ax2+bx+c=0,注意二次项系数含参数时不等于0。 2.列不等式：根据根的情况（两不等、两等、无实数根）列△>0、=0、<0。 3.解参数范围：解不等式或方程，注意二次项系数不为零。 【变式1-1】若关于x的一元二次方程2x2-4x+a-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 【变式3】已知关于x的一元二次方程ax2-(2a-3)x+a-1=0有实数根，则实数a的取值范围是 题型7一元二方程中参数与其他综合问题 【例13】已知关于x的方程x2-(m-1)x-2(m+1)=0. 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：无论m取何值，该方程总有实数根； (2)若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根。 【例14】已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两个实数根. (1)若AB的长为6，求m的值： (2m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长. 【技巧归纳】 1.先判△：保证方程有实根（含参数时列△20）。 2.韦达定理：+w、代入条件（如2+只、房+安）列方程。 3.验取舍：检验参数是否满足△20及分母不为0。 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c=0,其中a,b,c分别为ABC的三边长， (1)如果方程的一个根为-1，试判断ABC的形状，并说明理由. (2)如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根， (3)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由. 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5， ①若k=3时，请判断ABC的形状并说明理由； ②若ABC是等腰三角形，求等腰三角形的周长. 04 过关检测 一、单选题 1.关于x的一元二次方程2x2-5x+3=0,判别式的值为（) A.-1 B.1 C.2 D.-2 2.下列一元二次方程的根可以根据x=-3±V-4x2x1计算得出的是（) 2×2 A.2x2+3x+1=0 B.2x2+3x-1=0 C.3x2+x-2=0 D.-2x2-x+3=0 3.方程x2-3x=6的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.若关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0无实数根，则a的值可以是() A.5 B.0 C.-2 D.-3 5.已知一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是() A.m<3 B.m≤3且m≠2C.m<3且m≠2 D.m>3 二、填空题 6.一元二次方程-x2+2x+1=0的根的判别式的值是 7.一元二次方程2x2-3x=1的根为 8.已知方程x2-4x-5=0根的判别式的值为124，则m= 9.若关于x的一元二次方程x2-4x+3m=0有两个相等的实数根，则m的取值是 10.若关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 三、解答题 11.用公式法解下列方程： 0+4-1=0: (2)6x2-4=3x; (3)3x2+6x-1=0. 12.小明在解方程x2-4x=2时出现了错误，解答过程如下： :a=1,b=-4,c=-2(第一步) ：b2-4ac=（-4)2-4×1×(-2)=24(第二步) x=-4±24 (第三步) x=-2+V6,x2=-2-√6（第四步） (1)小明解答过程开始出错的是 (2)写出此题正确的解答过程. 13.m为实数，关于x的方程为x2+(m-2)x+1=m. (1)判断方程根的情况。 (2)若方程的两根为x,x2,当2x-x2=3时，求m的值. 14.已知关于x的一元二次方程(a+cx2-2bx+(a-c)=0.其中a、b、c分别为ABC边的长. (1)如果x=1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由， (2)如果方程有两个相等的实数根.试判断ABC的形状，并说明理由. 15.定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,则称该方程为“和谐方程”. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)下列方程属于“和谐方程”的是_；（填序号） ①3x2+4x+1=0;②x2-2x-1=0;③2x2+2x=0 (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程ax2+b.x+c=0(a≠0)为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a,c的数量关系. 10/10