专题06 指数函数与对数函数（14大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题06 指数函数与对数函数 【人教A版】 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单4 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单5 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单6 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单7 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【知识清单8 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单9 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识清单10 函数的零点】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识清单11 二分法】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识清单12 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（25-26高一上·云南红河·月考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】由题意得，故A正确. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 【变式1.2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【解答过程】当时，则. 故选：B. 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，所以A错误； 对于B选项：由，所以B错误； 对于C选项：由指数幂的运算性质，可得，所以C正确； 对于D选项：当时，， 当时，， 显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误. 故选：C. 【题型2 指数幂的化简、求值】 【例2】（25-26高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解题思路】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，利用完全平方公式即可计算出结果；选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断. 【解答过程】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 故选：. 【变式2.1】（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【解题思路】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【解答过程】（1）； （2）； （3）， ，则， . 【变式2.3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）利用分数指数幂的性质化简求值可计算结果； （2）利用根式的性质以及分数指数幂的运算性质化简式子，再代入求值计算即可. 【解答过程】（1） . （2） ， 因为，，所以原式. 【题型3 指数式与对数式的互化】 【例3】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数式和对数式的互化可得结果. 【解答过程】因为，所以，. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【解题思路】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解. 【解答过程】因为，所以，又因为， 所以，所以， 则. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答过程】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 【变式3.3】（24-25高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得. 【解答过程】由，得，即，而， 所以. 故选：C. 【题型4 对数的运算】 【例4】（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·河北保定·期中）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）､燃料的质量M（单位：）和火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系式为则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据： A．134 B．269 C．539 D．540 【答案】B 【解题思路】将代入得到，再利用指对互化公式计算即可. 【解答过程】由题意可得，则，则． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·山西吕梁·月考）求下列各式的值： (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用指数和对数的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用对数的运算，即可求解； 【解答过程】（1）原式. （2）由，可知，解得， 所以． 【变式4-3】（2025高一上·内蒙古赤峰·专题练习）计算： (1) (2)设，用表示的值. 【答案】(1)10 (2) 【解题思路】（1）利用对数运算性质以及指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据对数运算性质以及换底公式求解出结果. 【解答过程】（1） ； （2）因为，所以. 【题型5 指数（型）函数的图象问题】 【例5】（25-26高一上·山东枣庄·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【解答过程】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【解答过程】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【解答过程】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【题型6 指数（型）函数的单调性问题】 【例6】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【解答过程】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【解答过程】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式6-3】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解答过程】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析已知函数的奇偶性及单调性，再利用性质求解题设不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即 ，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】得出在上单调递增，，然后将不等式等价变形为即可求解. 【解答过程】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 【变式7-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【解答过程】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏宿迁·月考）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)判断在上的单调性并用定义法证明. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用特值法求得，代回的解析式用定义证明是奇函数即可； （2）易判断函数在上单调递增，用定义证明即可； （3）利用函数的单调性分析不等式，可得对任意时不等式恒成立，分离参数，可得实数的取值范围.. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.所以. 当时，函数. 函数的定义域为， ，. 所以函数是定义在上的奇函数. 所以. （2）函数在上单调递增. 证明：设. 因为是定义在上的增函数，所以，所以，所以. 即，所以函数在上单调递增. （3）由（1）知，所以. 由题可得，对任意，不等式恒成立. 因为函数在上单调递增，所以对任意，不等式，即恒成立. 由恒成立，可得， 因时，，故， 令. 当且仅当，即时，等号成立. 所以当且仅当时，函数取得最小值，最小值为. 所以，所以实数的取值范围是. 【题型8 指对幂比较大小】 【例8】（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知，，，则，，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的单调性 可判断，的取值范围，根据对数函数的单调性，可判断的取值范围，最终得出正确选项. 【解答过程】令，因为，所以单调递增，，所以； 令，因为，所以单调递减，，所以； 令，因为，所以单调递增，，所以； 综上所述：，，，所以； 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数函数的图象与性质，求得，再由指数函数的图象与性质，可得，即可得到答案. 【解答过程】由对数函数的图象与性质，可得，即， 又由，所以， 又由，指数函数为单调递增函数，可得，所以， 又由，所以， 综上可得：. 故选：D. 【变式8.2】（25-26高一上·重庆·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用中间值法比较大小. 【解答过程】，， ， ， ，， . 故选：B. 【变式8.3】（25-26高一上·北京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由指数函数与对数函数的单调性可求得的范围，即可得解. 【解答过程】由指数函数单调性可知，，，且易知，故有， 由对数函数单调性可知，，即， 因此有， 故选：B. 【题型9 对数（型）函数的单调性问题】 【例9】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数定义域，再将函数转化为对数函数与二次函数的复合形式，分析内层二次函数的单调性，结合外层对数函数的单调性，得到原函数的单调递增区间. 【解答过程】由且，解得函数定义域为. 函数化简为. 令，其为开口向下的抛物线，对称轴为，故在上单调递增. 又在时单调递增，根据复合函数“同增异减”， 原函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·山西运城·月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，转化为内层函数在上单调递增，且，即可求解. 【解答过程】函数由，构成， 外层函数在是减函数， 则由函数在上单调递减， 则内层函数在上单调递增，且函数值大于0， 所以，得， 所以 取值范围是. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数函数和二次函数的单调性求解即可. 【解答过程】令，因为函数是单调递减的， 所以要求的单调递减区间，即求的单调递增区间. 要使函数有意义，则，即， 解得，所以的定义域为. 而，的单调递增区间为， 结合定义域，可得在上单调递增. 即的单调递减区间为， 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解. 【解答过程】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【题型10 对数型复合函数及其应用】 【例10】（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高一上·湖南娄底·月考）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质求出函数的值域，可判断BD选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，A错； 当时，， 因为，则，所以，则， 故当时，的值域为，B错； 当时，内层函数在上为减函数，外层函数为减函数， 由复合函数法可知，若，则在上单调递增，C错； 若，因为，则，即函数的值域为，D对. 故选：D. 【变式10-2】（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为； (3). 【解题思路】（1）分和两种情况分析函数单调性即可求解； （2）由（1）单调性结合对数函数定义即可求解； （3）由（1）单调性结合对数函数定义域即可解不等式. 【解答过程】（1）当时，函数为减函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的减函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，所以符合题意； 当时，函数为增函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的增函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，不符合； 综上，； （2）由（1）可得函数为减函数， 令， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； （3）由（1）可得函数为减函数， 则令. 所以解集为. 【变式10-3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断函数的单调性（不需要证明）； (3)若，求实数x的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递增 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质进行运算判断即可； （2）根据函数单调性的定义，结合对数的运算性质进行运算证明即可； （3）利用函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【解答过程】（1）由可知，， 所以该函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： , 设是内任意两个实数，且，则有， 则， ， 因为， 所以，所以， 所以 ， 因此， 所以在上单调递增； （3）因为是奇函数， 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以， 解得，所以x的取值范围为. 【题型11 指数函数与对数函数综合】 【例11】（25-26高一上·安徽蚌埠·月考）已知函数 (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，函数的值域为，求的值； (3)在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）代入，再结合对数函数的定义域即可得解； （2）分与讨论判断，即可得解； （3）先确定的定义域与单调性，根据函数值的大小确定自变量大小，再对进行分类讨论，即可得解. 【解答过程】（1）若，， ，，即， 即，解得， 即函数的定义域为. （2）若，设，令， 则可转化为关于的函数. 为开口向下的二次函数， 在对称轴处取到最大值， 若（即时），恒成立，则的定义域为空集，不符题意； 若（即时），存在最大值且最大值大于， 则存在最大值，与值域为矛盾，故舍去； 若，则， 当时，，，符合题意. 综上所述，. （3）若，则，，解得， 故，定义域为. 易知为单调递增函数，且定义域为， 故由， 可得， 其中若与成立，则成立， 因此解即可， 而可整理为， 因此即解. ①若，即时，可解得，即； ②若，即时，可解得或， 即； ③若，即时，可解得或， 即. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 【变式11-1】（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 (3)2 【解题思路】（1）利用奇偶性的判定方法即可求解； （2）由（1）可得，由对数函数定义域可得，然后分，两种情况，即可求解； （3）由题化简可得，令，则可得，，再结合二次函数性质及最小值，即可求解. 【解答过程】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 由， 则， 所以是偶函数. （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 【变式11-2】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【解答过程】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对 恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 【变式11-3】（25-26高一上·海南·期中）已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解题思路】（1）通过求得，验证即可； （2）由题知方程无解，利用指数函数和对数函数的性质求得函数的值域即可； （3）由题知，，利用换元法得，，最后分类讨论求函数最值即可. 【解答过程】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意， 所以 （2）由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 【题型12 函数的零点问题】 【例12】（25-26高一上·福建厦门·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用零点存在性定理确定零点所在区间即可. 【解答过程】由题意得， ，则， 而结合幂函数与指数函数性质可得是单调递增函数， 由零点存在性定理得函数的零点所在的一个区间是，故A正确. 故选：A. 【变式12.1】（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】令解得或，结合分段函数分别求解，即可得到零点个数. 【解答过程】令，解得或， 当时， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时， 当时，，解得或， 当时，，解得. 所以，函数的零点个数为. 故选：C. 【变式12.2】（25-26高一上·河南·月考）已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围. 【解答过程】由， 得，所以或. 作出的图象，如图. 因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点. 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式12.3】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】探讨给定函数的性质，将函数零点问题转化为直线与函数图象的交点问题，作出图形数形结合求出范围. 【解答过程】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 由，得或；由，得或或， 函数恰有3个零点， 即直线与的图象有3个交点，且交点的横坐标为， 在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象得，， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故选：C. 【题型13 二分法】 【例13】（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【解题思路】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【解答过程】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【变式13.1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【解答过程】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B. 【变式13.2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 【变式13.3】（25-26高一上·浙江·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【解答过程】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C. 【题型14 函数模型的应用】 【例14】（25-26高一上·河北廊坊·月考）在有声世界里，声强级是表示声强相对大小的指标，其值（单位：dB）定义为，其中I为某点的声强（单位：W/m2），W/m2为基准值.则声强级为80dB时的声强是声强级为60dB时的声强的（   ） A．10倍 B．100倍 C．1.2倍 D．12倍 【答案】B 【解题思路】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【解答过程】由题意可得： ，解得，即； ，解得，即； 所以， 故选：B. 【变式14.1】（25-26高一上·河南周口·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A．1.09 B．1.35 C．1.54 D．1.73 【答案】D 【解题思路】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可． 【解答过程】已知初始时，在培养皿中放入5个变形虫，则， 又时，种群数量为126；环境容纳量， 则，则， 因此， 所以， 解得． 所以变形虫种群的增长率约为1.73． 故选：D． 【变式14.2】（25-26高一上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 【答案】(1)选用模型①，理由见解析， (2)分钟 【解题思路】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可求得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求得的值即可. 【解答过程】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①， 代入前三组数据，解得， 所以函数模型解析式为； （2）由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感. 【变式14.3】（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由见解析； (2)； (3)第16个月. 【解题思路】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【解答过程】（1）由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 一、单选题 1．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【解答过程】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得，所以，又，所以 . 故选：D． 3．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【解答过程】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C. 4．（25-26高一上·山西运城·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】确定函数的奇偶性排除B；由可得排除D；利用函数单调性定义确定在上的单调性排除C即可. 【解答过程】函数的定义域为R， ， 则函数是R上的奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，，排除D； 任取，则，， ，而，因此， 即，则函数在上单调递增，排除C，A符合题意. 故选：A. 5．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较. 【解答过程】因为，，， 所以， 故选：B. 6．（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【解题思路】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【解答过程】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C. 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【解答过程】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 8．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出分段函数的图象，确定零点的位置和关系式，进而求出结果. 【解答过程】令，则，由于函数， 所以画出的图象，如图所示，结合图象可知，即. 不妨设， 则，由得，又， 所以，则. 根据对勾函数在上单调递增，可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，则指数函数 的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【解题思路】根据指数函数的性质判断即可； 【解答过程】因为选项中函数单调性相同，所以或， 当，则当时，， 即指数函数①的图象在②的图象的上方，A选项正确，B选项错误； 当，则当时，， 即指数函数①的图象在②的图象的下方，D选项正确，C选项错误； 故选：AD. 11．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数满足，若时，，则下列选项正确的有（   ） A．满足 B．的图象关于对称 C． D．函数在区间上所有的零点之和为2 【答案】ABC 【解题思路】利用已知条件结合函数奇偶性即可推出选项A，利用函数周期性与对称性分析即可得出选项B，利用已知条件结合函数的周期性和对数运算性质即可得出选项C，令函数，问题转化为函数图象交点问题，结合函数对称性、单调性、奇偶性分析得出即可. 【解答过程】因为定义在上的函数满足， 所以， 又定义在上的函数满足， 即，所以函数为奇函数， 所以， 所以，故A选项正确； 由，所以函数的周期为， 所以， 即， 所以的图象关于对称，故B选项正确； 由函数的周期为，， 当时，函数， 所以 ，故C选项正确； 当时，函数单调递增且值域为， 因为， 所以函数的图象关于对称， 所以函数在上单调递减且值域为， 又因为函数是奇函数， 所以函数在上的图象关于对称且值域为， 令函数， 则函数与函数在区间上有两个不同交点， 且两个交点的横坐标关于对称， 所以， 即函数在区间上所有的零点之和为，故D选项不正确； 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高一上·天津·期末） . 【答案】6 【解题思路】先运用指数式与对数式的恒等变形，以及换底公式的运算性质，分别对各项进行化简，然后再进行计算即可. 【解答过程】因为：， 所以： . 故答案为：6. 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据复合函数的单调性和对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【解答过程】易知在定义域上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以解得，且，解得， 综上可知，a的取值范围为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【解答过程】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以 可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏宿迁·月考）化简与求值： (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由对数运算的性质即可得解； （2）利用完全平方公式可依次求出与，即可得解. 【解答过程】（1） （2）若，两边平方可得，则； ，两边平方可得，，则， 故. 16．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知且，函数是指数函数，且. (1)求m和a的值； (2)求的解集. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据指数函数的定义求解即可； （2）设，先将不等式利用换元法化为， 结合二次不等式和指数不等式的解法可得答案. 【解答过程】（1）由题意得，，解得或（不符合题意，舍去） 由且，得. （2）由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为，解得或， ，得， 原不等式的解集为. 17．（25-26高一上·上海·月考）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【答案】(1)11460 (2)83 【解题思路】（1）设，根据题意得到，即，令，再解方程即可； （2）设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为，无误差时对应衰减时间为，再分别计算出，比较即可． 【解答过程】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史； （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年． 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由奇函数条件导出关于的方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果； （2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小； （3）将不等式分离出，构造关于的函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围； 【解答过程】（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. （2）由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. （3）对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，对都有，且时，，其中. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并根据单调性的定义证明； (3)若对任意，总存在，使得不等式成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)2 (2)在R上单调递减，证明见详解； (3) 【解题思路】（1）赋值法令，代入运算得解； （2）结合条件按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）由题问题转化为，即结合在R上为减函数，原问题等价于对任意的，总存在，使得成立，令，，等价于，分别求出得解. 【解答过程】（1）令，得，又，得. （2）函数在R上为减函数，理由如下： 对，不妨设，即，所以， 令，，得， 即，所以， 所以函数在R上为减函数. （3）不等式等价于， 所以，由（2）知在R上为减函数， 故原问题等价于对任意的，总存在，使得成立， 令，， 原命题等价于对任意，都有成立，这进一步等价于， 对于，令， 由对勾函数的性质得在上单调递减，在上单调递增， 又，所以； 对于，令， 记，对称轴为， 当即时，，所以； 当即时，成立，所以； 综上，实数的取值范围为. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 指数函数与对数函数 【人教A版】 【知识清单1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 【注】：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【知识清单2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂ax(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 3．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识清单3 指数函数的概念】 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【知识清单4 指数函数的图象与性质】 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近 y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【知识清单5 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【知识清单6 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识清单7 对数的实际应用】 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【知识清单8 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【知识清单9 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 4．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识清单10 函数的零点】 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零 点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 2．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【知识清单11 二分法】 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度ϵ，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ϵ：若|a-b|<ϵ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【知识清单12 函数模型的应用】 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型1 分数指数幂与根式的互化】 【例1】（25-26高一上·云南红河·月考）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2025高一·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数幂的化简、求值】 【例2】（25-26高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式2.1】（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【变式2.2】（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【变式2.3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）（1）； （2）若，，求的值. 【题型3 指数式与对数式的互化】 【例3】（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，，则（   ） A．0 B．2 C．-1 D．1 【变式3.2】（25-26高一上·全国·课前预习）若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·北京东城·期末）已知，，则的值为（    ） A．15 B． C． D． 【题型4 对数的运算】 【例4】（25-26高一上·贵州黔东南·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河北保定·期中）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）､燃料的质量M（单位：）和火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系式为则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据： A．134 B．269 C．539 D．540 【变式4-2】（25-26高一上·山西吕梁·月考）求下列各式的值： (1)计算：． (2)若，求的值． 【变式4-3】（2025高一上·内蒙古赤峰·专题练习）计算： (1) (2)设，用表示的值. 【题型5 指数（型）函数的图象问题】 【例5】（25-26高一上·山东枣庄·月考）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 指数（型）函数的单调性问题】 【例6】（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·福建厦门·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型7 指数型复合函数及其应用】 【例7】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【变式7-3】（25-26高一上·江苏宿迁·月考）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)判断在上的单调性并用定义法证明. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【题型8 指对幂比较大小】 【例8】（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知，，，则，，的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·重庆·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.3】（25-26高一上·北京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型9 对数（型）函数的单调性问题】 【例9】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·山西运城·月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型10 对数型复合函数及其应用】 【例10】（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·湖南娄底·月考）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 【变式10-2】（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 【变式10-3】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断函数的单调性（不需要证明）； (3)若，求实数x的取值范围. 【题型11 指数函数与对数函数综合】 【例11】（25-26高一上·安徽蚌埠·月考）已知函数 (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，函数的值域为，求的值； (3)在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式． 【变式11-1】（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【变式11-2】（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【变式11-3】（25-26高一上·海南·期中）已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【题型12 函数的零点问题】 【例12】（25-26高一上·福建厦门·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【变式12.1】（25-26高一上·河北廊坊·月考）已知函数，若函数，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式12.2】（25-26高一上·河南·月考）已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12.3】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型13 二分法】 【例13】（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【变式13.1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式13.2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【变式13.3】（25-26高一上·浙江·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型14 函数模型的应用】 【例14】（25-26高一上·河北廊坊·月考）在有声世界里，声强级是表示声强相对大小的指标，其值（单位：dB）定义为，其中I为某点的声强（单位：W/m2），W/m2为基准值.则声强级为80dB时的声强是声强级为60dB时的声强的（   ） A．10倍 B．100倍 C．1.2倍 D．12倍 【变式14.1】（25-26高一上·河南周口·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A．1.09 B．1.35 C．1.54 D．1.73 【变式14.2】（25-26高一上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 85.00 79.00 73.60 68.74 64.36 60.42 设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：） 【变式14.3】（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 一、单选题 1．（25-26高一上·山东枣庄·月考）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知，，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西运城·月考）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 7．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·陕西汉中·期中）已知，则指数函数 的图象为（   ） A．   B．   C．   D．   11．（25-26高一上·陕西商洛·月考）已知定义在上的函数满足，若时，，则下列选项正确的有（   ） A．满足 B．的图象关于对称 C． D．函数在区间上所有的零点之和为2 三、填空题 12．（24-25高一上·天津·期末） . 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为 . 14．（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏宿迁·月考）化简与求值： (1) (2)已知，求的值. 16．（25-26高一上·河北衡水·月考）已知且，函数是指数函数，且. (1)求m和a的值； (2)求的解集. 17．（25-26高一上·上海·月考）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数为奇函数，且不为常函数. (1)求的值； (2)若，用定义法证明：在上单调递减； (3)若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，对都有，且时，，其中. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并根据单调性的定义证明； (3)若对任意，总存在，使得不等式成立，求实数t的取值范围. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $