2.2.3 一元二次方程的解法(第3课时 公式法) 教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该教案聚焦公式法解一元二次方程，核心为求根公式推导与根的判别式Δ=b²-4ac。通过“速算擂台”呈现不同解法难度的方程引发认知冲突，以学生已掌握的配方法为基础，类比推导一般形式方程的求根公式，构建知识支架。 该教案以数学抽象、数学运算、逻辑推理为核心素养导向，采用问题驱动与分层教学。通过含参方程实例强调Δ应用及a≠0的隐含条件，结合思维导图梳理知识体系，分层练习与作业满足差异化需求。助力学生提升代数运算能力与推理严谨性，为教师提供结构化教学流程与丰富资源。

苏科版（2024）九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2.3 公式法 一元二次方程的解法（第3课时） 教 案 课 题 2.2.3 公式法 课 时 第3课时 课 型 新授课 教 材 苏科版（2024）九年级数学上册 学 段 九年级 上学期 一、教学内容分析 本课是苏科版（2024）九年级上册第2章第2.2节第3课时——公式法，核心为一元二次方程的求根公式与根的判别式 Δ=b²-4ac. 求根公式的推导本质是用配方法解一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)，体现从特殊到一般的数学抽象；判别式揭示根的情况与系数间的内在联系，是后续学习根与系数关系的基础. 图1 2.2 解法三课时定位 二、学情分析 学生已掌握配方法、因式分解法与直接开平方法，具备一定运算与代数变形能力；本课难点在字母运算的配方推导与含参判别式的隐含条件. 已有经验基础 可能遇到的困难 配方法：会配方为 (x+m)²=n 求根公式推导字母运算多，易在配方中出错 因式分解法：提公因式、平方差、完全平方 公式法步骤多，易在定系数符号、算 Δ 时出错 直接开平方法：解 (x+m)²=n (n≥0) 含参问题易忽略 a≠0 的隐含条件 三、教学目标（核心素养） 核心素养 目标描述 数学抽象 用配方法解一般形式 ax²+bx+c=0，推导出求根公式，体会从特殊到一般 数学运算 熟练用公式法解方程，规范「化一般式→定 a,b,c→求 Δ→代入公式」 逻辑推理 理解 Δ=b²-4ac 的意义，由 Δ 符号判断根的情况（含逆用） 数学建模 将含参方程根的问题转化为判别式不等式，体会建模与转化 四、教学重难点 ▶ 教学重点 1. 公式法解一元二次方程的步骤与求根公式的应用； 2. 根的判别式 Δ=b²-4ac 与方程根的情况的关系. ▶ 教学难点 1. 求根公式的推导过程（含字母的配方法运算）； 2. 含参数方程中利用判别式求参数取值范围（注意 a≠0 的隐含条件）. ▶ 难点突破策略 推导求根公式时，先回顾配方法解具体方程的步骤，再类比到一般形式，逐步推导；含参数问题中，引导学生先确定二次项系数不为零，再列判别式不等式，强调两个条件缺一不可. 五、教学方法与教具 教学方法 问题驱动 + 类比探究 + 讲练结合：回顾配方法 → 类比推导求根公式 → 例题示范 + 分层练习 教学思路 情境导入 → 公式推导 → 步骤归纳 → 判别式应用 → 分层巩固 教具准备 多媒体课件（推导动画、思维导图）；黑板/白板；分层练习单（A/B/C） 六、教学过程（共40分钟） 环节 教学内容 时长 师生活动 一、导入 速算擂台，引出通法需求 4分钟 师生互动 二、新授 求根公式推导 + 例题示范 22分钟 教师引导，学生探究 三、巩固 分层练习（基础/提升/拓展） 8分钟 学生独立完成，教师巡视 四、小结 知识梳理（思维导图） 3分钟 师生共同总结 五、作业 布置分层作业 3分钟 教师布置，学生记录 环节一 导入：速算擂台·寻找解二次方程的「万能钥匙」（约4分钟） 师：今天先来一场「速算擂台」. 请三位同学上黑板，限时1分钟，看谁先把方程的根求出来： ① x²-2x-8=0（可因式分解，较快）； ② 2x²-3x-2=0（配方也还行）； ③ x²-3x+1=0（既不好因式分解，配方也繁琐）. 学生尝试后，师追问： 前两题多数同学能较快解出，但第③题几乎都「卡壳」了——它不能轻松因式分解，配方又步骤繁琐； 有没有一把「万能钥匙」，不管系数是什么，只要把 a, b, c 代进去，就能直接「吐」出根来？ 若把系数换成字母，如 ax²+bx+c=0，还能配方解吗？能不能得到一个通用公式？ ▶ 设计意图 用「速算擂台」制造胜负张力，用第③题制造认知冲突，激发学生寻找「通法」的内驱力；回溯古巴比伦泥板、我国古代「开方术」对一元二次方程通解的追求，自然引出本课主题——公式法（求根公式）. 环节二 新授（约22分钟） 1. 求根公式的推导 师引导：用配方法解一般形式的一元二次方程 第一步：两边同除以 a（a≠0），移项得： 第二步：配方——两边加上一次项系数一半的平方： 第三步：左边写成完全平方式，右边通分合并： 第四步：当 b²-4ac ≥ 0 时，两边开平方： 第五步：移项整理，得到求根公式： ▶ 方法点拨 求根公式的推导就是用配方法解一般形式的一元二次方程. 关键步骤是「除以 a、配方、开方」. 公式中根号内的式子 b²-4ac 决定了方程是否有实数根，记为 Δ. 2. 公式法解一元二次方程的步骤 第1步：将方程化为一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)； 第2步：确定 a, b, c 的值（注意各项的符号）； 第3步：计算 Δ=b²-4ac 的值； 第4步：若 Δ≥0，代入求根公式求出根；若 Δ<0，则方程无实数根. 图2 公式法解题流程图 3. 根的判别式 式子 b²-4ac 叫做一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 根的判别式，用希腊字母 Δ 表示，即 Δ=b²-4ac. 判别式与根的情况的关系： Δ 的符号 方程根的情况 Δ > 0 两个不相等的实数根 Δ = 0 两个相等的实数根 Δ < 0 没有实数根 ▶ 易错警示 利用判别式求参数取值范围时，必须同时满足两个条件： (1) 二次项系数 a≠0（保证是一元二次方程）； (2) Δ 满足相应的不等式. 二者缺一不可！ 4. 例题示范 例1 用公式法解方程：3x²+2x-2=0（2025·西安三模） ▶ 审题与思路 方程已是一般形式. 确定 a=3, b=2, c=-2，先求 Δ，再代入求根公式. 解：这里 a=3, b=2, c=-2. Δ = 2² - 4 × 3 × (-2) = 4 + 24 = 28. 因为 Δ=28 > 0，所以方程有两个不相等的实数根. 代入求根公式： 例2 用公式法解方程：4x²-3=12x（2025·秦都区月考） ▶ 审题与思路 先化为一般式 4x²-12x-3=0. a=4, b=-12, c=-3. 注意 Δ 不是完全平方数时，结果保留根号. 解：移项，得 4x²-12x-3=0. 这里 a=4, b=-12, c=-3. Δ = (-12)² - 4 × 4 × (-3) = 144 + 48 = 192. 因为 Δ=192 > 0，代入求根公式： ▶ 方法总结 当 Δ 不是完全平方数时，先化简根号内的数（√192=8√3），再约分化简结果. 例3 不解方程，判断方程 x²-x+k²+2=0 的根的情况（2025·广州） ▶ 审题与思路 只需计算判别式 Δ 的值，根据 Δ 的符号判断根的情况，不需要求出具体的根. 注意 k² ≥ 0. 解：这里 a=1, b=-1, c=k²+2. Δ = (-1)² - 4 × 1 × (k²+2) = 1 - 4k² - 8 = -4k² - 7. 因为 k² ≥ 0，所以 -4k² ≤ 0，从而 Δ = -4k² - 7 ≤ -7 < 0. 所以方程没有实数根. 例4 若关于 x 的一元二次方程 ax²+2x+1=0 有两个相等的实数根，求 a 的值（2025·北京） ▶ 审题与思路 方程有两个相等实根，则 Δ=0. 但还要注意 a≠0（二次项系数不为零）. 两个条件要同时满足. 解：因为方程 ax²+2x+1=0 是一元二次方程，所以 a≠0. 又因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0，即： Δ = 2² - 4 × a × 1 = 4 - 4a = 0. 解得 a=1. 综合 a≠0，故 a=1. ▶ 易错警示 本题易由 Δ=0 直接得 a=1 而漏写 a≠0 的检验；此处 a=1 已满足 a≠0，故最终 a=1. 若求得的结果使二次项系数为 0，则必须舍去. 环节三 巩固练习（约8分钟） 独立完成下列分层练习，教师巡视指导，选取代表性解答点评. 分层 题 目 A层 基础 A1. 用公式法解方程：x²+2x-1=0.（2025·临泉县期末） A2. 不解方程，判断 2x²+x-1=0 的根的情况.（2025·广东） B层 提升 B1. 若关于 x 的方程 x²+2x+a=0 无实根，求 a 的取值范围.（2025·新疆） B2. 已知 x=1 是方程 x²-4x+c=0 的一个根，求 c.（2025·青海） C层 拓展 C1. 若关于 x 的方程 3x²-6x+m=0 有两实根，求 m 的范围.（2025·甘肃） C2. 下列方程中无实根的是（ ）（2026·上海） A. x²-2x=0 B. x²-2=0 C. x²+2x=0 D. x²+2=0 ▶ C3（几何·数形结合） 如图，Rt△ABC 中 ∠C=90°，AC=x+1，BC=x-1，斜边 AB=√5. 根据勾股定理列方程，并用公式法求 x.（2026·模拟） 图4 Rt△ABC 边长关系（C3） 环节四 课堂小结（约3分钟） 师生共同梳理本课知识，借助思维导图回顾公式法的知识体系： 图3 公式法知识体系思维导图 核心要点： 求根公式： 其中 Δ=b²-4ac，且 Δ≥0； 公式法四步：化一般式、确定 a,b,c、求 Δ、代入公式； 判别式三种情况：Δ>0 两不等实根，Δ=0 两相等实根，Δ<0 无实根； 含参数问题：注意 a≠0 的隐含条件. 环节五 布置作业（约3分钟） （详见下文「分层作业」板块） 七、板书设计 板书采用「主板书 + 侧板书」布局，主板书呈现知识主干，侧板书呈现例题演算与易错提醒. 主板书（中央） 侧板书（右侧） 2.2.3 公式法 一、求根公式 （Δ = b²-4ac，Δ≥0） 二、解题步骤 1. 化一般式 2. 确定 a, b, c 3. 求 Δ=b²-4ac 4. Δ≥0 代入公式 三、判别式 Δ>0：两个不等实根 Δ=0：两个相等实根 Δ<0：无实数根 例题演算区 例1: 3x²+2x-2=0 a=3, b=2, c=-2 Δ=28>0 例4: ax²+2x+1=0 Δ=4-4a=0 得 a=1 （检验 a≠0） 注意： 含参问题勿忘 a≠0 设计说明：主板书突出公式法的三大核心（求根公式、解题步骤、判别式），侧板书用于课堂例题演算和易错提醒，两者配合使用，帮助学生形成完整的知识结构. 八、分层作业与附加拓展 分层 题 目 A层 基础 A1. 用公式法解方程：2x²-5x+1=0.（2025·九年级期末） A2. 不解方程，判断 x²+2x+1=0 的根的情况.（2025·安徽） A3. 下列方程有两个不相等实根的是（ ）（2025·安徽） A. x²+x+2=0 B. x²+2x+1=0 C. x²+x+1=0 D. x²-2x-1=0 B层 提升 B1. 若关于 x 的方程 (k-1)x²-2x+1=0 有两不等实根，求 k 的范围.（2025·德阳） B2. 若关于 x 的方程 x²-2x+m=0 有两实根，求 m 的范围.（2025·甘肃） C层 拓展 C1. 从 -1,1,2 中任取两数作 a,b，则 x²+ax+b=0 有实根的概率为______.（2025·成都） C2. 用公式法解 x²-(k+2)x+2k=0，并说明根的情况.（2025·潍坊） ▶ C3（几何·数形结合） 如图，矩形宣传画长为 (x+3) cm、宽为 x cm，面积为 28 cm². 列方程并用公式法求 x.（2026·模拟） 图5 矩形宣传画（C3） 附加拓展提高 以下题目供学有余力的同学选做，进一步体会公式法与判别式的灵活应用. 拓展1.（新定义·阅读理解） 定义：若一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 满足 a+b+c=0，则称其为「凤凰」方程. 已知某个「凤凰」方程有两个相等的实数根，求证：a=c.（2025考向） 拓展2.（分类讨论） 关于 x 的方程 (m+2)x²-2x+1=0 无实数根，求实数 m 的取值范围.（2025·东营） 拓展3.（恒成立证明） 求证：关于 x 的一元二次方程 2x²-(k+3)x+k+1=0 总有实数根.（2025·模考） 九、参考答案与详细解析 巩固练习 A1. 解方程 x²+2x-1=0： a=1, b=2, c=-1. Δ = 2² - 4 × 1 × (-1) = 4 + 4 = 8 > 0. A2. 判断 2x²+x-1=0 的根的情况： a=2, b=1, c=-1. Δ = 1² - 4 × 2 × (-1) = 1 + 8 = 9 > 0. 所以方程有两个不相等的实数根. B1. 求 x²+2x+a=0 中 a 的取值范围（无实根）： a=1, b=2, c=a. 方程无实数根，则 Δ < 0，即 4 - 4a < 0，解得 a > 1. 所以 a > 1. B2. 已知 x=1 是 x²-4x+c=0 的根，求 c： 将 x=1 代入方程，得 1² - 4 × 1 + c = 0，解得 c=3. C1. 求 3x²-6x+m=0 中 m 的取值范围（两实根）： a=3, b=-6, c=m. 有两个实数根，则 Δ ≥ 0，即 36 - 12m ≥ 0，解得 m ≤ 3. C2. 选 D. 逐项算 Δ： A. x²-2x=0：Δ=4-0=4>0，有实根； B. x²-2=0：Δ=0+8=8>0，有实根； C. x²+2x=0：Δ=4-0=4>0，有实根； D. x²+2=0：Δ=0-8=-8<0，没有实数根. 故选 D. C3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，由勾股定理： 这里 a=2, b=0, c=-3. Δ = 0 - 4 × 2 × (-3) = 24 > 0. 因为边长 x>0，舍去负值，故 x = √6/2. 分层作业 A1. 解方程 2x²-5x+1=0： a=2, b=-5, c=1. Δ = (-5)² - 4 × 2 × 1 = 25 - 8 = 17 > 0. A2. 判断 x²+2x+1=0 的根的情况： a=1, b=2, c=1. Δ = 2² - 4 × 1 × 1 = 4 - 4 = 0. 所以方程有两个相等的实数根（x₁=x₂=-1）. A3. 选 D. 逐项算 Δ： A. x²+x+2=0：Δ=1-8=-7<0，无实根； B. x²+2x+1=0：Δ=4-4=0，两相等实根； C. x²+x+1=0：Δ=1-4=-3<0，无实根； D. x²-2x-1=0：Δ=4+4=8>0，有两个不相等实根. 故选 D. B1. 求 (k-1)x²-2x+1=0 中 k 的取值范围（两不等实根）： 方程为二次方程，则 k-1≠0，即 k≠1. 有两不等实根，则 Δ > 0. Δ = (-2)² - 4(k-1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k > 0，解得 k < 2. B2. 求 x²-2x+m=0 中 m 的取值范围（两实根）： a=1, b=-2, c=m. 有两个实数根，则 Δ ≥ 0，即 4 - 4m ≥ 0，解得 m ≤ 1. C1. 概率问题（2025·成都）： 方程 x²+ax+b=0 有实根，即 Δ=a²-4b ≥ 0. 从 {-1,1,2} 中任取两个不同数作 (a,b)，共 6 种： (-1,1)：Δ=1-4=-3<0，无实根； (-1,2)：Δ=1-8=-7<0，无实根； (1,-1)：Δ=1+4=5≥0，有实根； (1,2)：Δ=1-8=-7<0，无实根； (2,-1)：Δ=4+4=8≥0，有实根； (2,1)：Δ=4-4=0≥0，有实根. 满足 Δ≥0 的有 3 种，故概率为： C2. 解 x²-(k+2)x+2k=0 并说明根的情况： a=1, b=-(k+2), c=2k. Δ = (k+2)² - 8k = k²+4k+4-8k = k²-4k+4 = (k-2)². 因为 (k-2)² ≥ 0 恒成立，所以方程总有实数根；当 k=2 时 Δ=0，有两个相等实根；当 k≠2 时 Δ>0，有两个不相等实根. C3. 由矩形面积公式： 这里 a=1, b=3, c=-28. Δ = 3² - 4 × 1 × (-28) = 9 + 112 = 121. 解得 x₁=4, x₂=-7. 因为边长 x>0，舍去 x₂=-7，故 x=4. 附加拓展提高 拓展1. 证明 a=c： 因为方程为「凤凰」方程，所以 a+b+c=0，即 b=-(a+c). 又方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0，即 b²-4ac=0. 将 b=-(a+c) 代入： 所以 (a-c)²=0，即 a=c. 得证. 拓展2. 求 (m+2)x²-2x+1=0 中 m 的取值范围（无实根）： ① 当 m+2=0 即 m=-2 时，方程化为 -2x+1=0，有实根 x=½，不满足「无实根」，舍去； ② 当 m+2≠0 时，为一元二次方程，需 Δ<0： Δ = (-2)² - 4(m+2) = 4 - 4m - 8 = -4m - 4 < 0，解得 m > -1. 综合：m > -1（此时 m≠-2 自动满足）. 拓展3. 证明 2x²-(k+3)x+k+1=0 总有实数根： a=2, b=-(k+3), c=k+1. Δ = (k+3)² - 8(k+1) = k²+6k+9-8k-8 = k²-2k+1 = (k-1)². 因为 (k-1)² ≥ 0 恒成立，所以方程总有实数根. 得证. — 本课教案完 — 2.2.3 公式法 | 苏科版（2024）九年级数学上册 | 第3课时 学科网（北京）股份有限公司 $