17.1用提公因式法分解因式（3大知识点+5大题型+分层训练）2026-年人教版八年级数学上册讲义

17.1用提公因式法分解因式 学习目标导航 1、理解概念：了解因式分解的意义，并能清晰区分因式分解与整式乘法这两个互逆的过程。 2、掌握方法：理解公因式的概念，能准确找出多项式各项的公因式（包括系数和字母因式），并熟练运用提公因式法进行因式分解。 3、体会思想：经历从分解因数到分解因式的类比过程，感受因式分解在简化计算和解决问题中的作用。 洞悉◆教材知识 知识点01 因式分解的概念 1. 分解因式的概念： 把一个多项式写成几个 整式 的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。 左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。 知识点02 提公因式法分解因式 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1. 公因式的概念： 多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。 2. 公因式的求法： 公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。若多项式首项为负号，则公因式为 负 。 3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法： 多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 公因式 。 4. 提公因式分解因式： 一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 知识点03 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 核心题型◆归纳 题型01 判断因式分解的变形 题型02 根据因式分解的变形求值 题型03 求多项式的公因式 题型04 求多项式提取公因式后的因式 题型05 用提公因式法分解因式 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断因式分解的变形 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【答案】C 【解答】解：A．am+bm+c＝m（a+b）+c，等式右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B．（2x+1）2＝4x2+4x+1，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），是因式分解，故本选项符合题意； D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6，是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 【答案】C 【解答】解：A、不是因式分解，故本选项错误； B、不是因式分解，故本选项错误； C、是因式分解，故本选项正确； D、不是因式分解，故本选项错误； 故选：C． 题型02 根据因式分解的变形求值 【典例1】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【变式1】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　35　 ． 【答案】35． 【解答】解：（x+5）2＝x2+10x+25＝x2+mx+n， 则m＝10，n＝25， 那么m+n＝10+25＝35， 故答案为：35． 题型03 求多项式的公因式 【典例1】多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 【答案】B 【解答】解：m2+mn＝m（m+n），即公因式是m， 故选：B． 【变式1】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 【答案】C 【解答】解：把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是2xyz， 故选：C． 题型04 求多项式提取公因式后的因式 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【解答】解：2x2﹣4xy+2x＝2x（x﹣2y+1）． 故选：C． 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 【答案】D 【解答】解：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2） ＝（x﹣2）（x+2+1）， 故选：D． 题型05 用提公因式法分解因式 【典例1】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【答案】（1）5ab（ab2﹣4b+1）； （2）3（x﹣y）2（x+y）． 【解答】解：（1）5a2b3﹣20ab2+5ab＝5ab（ab2﹣4b+1）； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3 ＝6x（x﹣y）2﹣3（x﹣y）3 ＝3（x﹣y）2（2x﹣x+y） ＝3（x﹣y）2（x+y）． 【变式1】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． 【答案】（1）4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5（x﹣2y）3（x+4y）． 【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）； （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3 ＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3 ＝5（x﹣2y）3（x+4y）． ABC分层训练 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没有把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、因式分解的对象是多项式，而是单项式，故C错误； D、是因式分解，故D正确； 故选：D． 2．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 3．多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 4．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解至每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，被分解的不是多项式，不属于因式分解； B．，不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不属于因式分解； C．，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解； D．，属于因式分解； 故选：D 6．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 7．在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 【答案】 整式乘法 因式分解 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 8．多项式和的公因式是______． 【答案】 【知识点】公因式、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 9．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 【答案】① 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 10．因式分解：__________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法，解题的关键是将式子中互为相反数的因式与转化为相同因式，再提取公因式完成分解． 先将变形为使原式两项含相同公因式再提取公因式得到因式分解结果． 【详解】解： 故答案为： 11．因式分解：； 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式，即可求解． 【详解】解： ． 12．分解因式． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 13．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，掌握将一个多项式转化为几个整式的积的形式叫作因式分解成为解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，左边是单项式乘以多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，右边是单项式与数的差，不是整式的积，不符合因式分解，不符合题意． C．，左边为多项式，右边是两个二项式的积，且通过平方差公式验证成立，属于因式分解，符合题意． D．，右边含有分式，不符合整式乘积的要求，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 14．把分解因式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底． 15．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 16．把多项式分解因式等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查提取公因式，找出他们的公因式即可解题． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 17．把分解因式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，注意不要漏项． 根据提公因式法准确找出公因式即可求解； 【详解】解： 故选：D 18．若，则A为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，然后再利用完全平方公式展开后整理，可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 又∵， ∴． 故选D． 19．分解因式：___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．分解因式的结果为______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，能够熟练掌握提公因式法是解题的关键． 将原式变形为，然后提取公因式即可解答． 【详解】 ； 故答案为：． 21．已知，则的值是______． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 22．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 23．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提取公因式法直接分解因式即可； （2）利用提取公因式法直接分解因式即可； （3）利用提取公因式法直接分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 24．已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】先根据绝对值和二次方的非负性，求出x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，代数式求值，绝对值和二次方的非负性，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 25．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【知识点】构造二元一次方程组求解、计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.1用提公因式法分解因式 学习目标导航 1、理解概念：了解因式分解的意义，并能清晰区分因式分解与整式乘法这两个互逆的过程。 2、掌握方法：理解公因式的概念，能准确找出多项式各项的公因式（包括系数和字母因式），并熟练运用提公因式法进行因式分解。 3、体会思想：经历从分解因数到分解因式的类比过程，感受因式分解在简化计算和解决问题中的作用。 洞悉◆教材知识 知识点01 因式分解的概念 1. 分解因式的概念： 把一个多项式写成几个 整式 的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。 左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相等。 知识点02 提公因式法分解因式 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1. 公因式的概念： 多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式，各项都有一个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。 2. 公因式的求法： 公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。若多项式首项为负号，则公因式为 负 。 3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法： 多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 公因式 。 4. 提公因式分解因式： 一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式 与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 知识点03 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 核心题型◆归纳 题型01 判断因式分解的变形 题型02 根据因式分解的变形求值 题型03 求多项式的公因式 题型04 求多项式提取公因式后的因式 题型05 用提公因式法分解因式 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断因式分解的变形 【典例1】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．am+bm+c＝m（a+b）+c B．（2x+1）2＝4x2+4x+1 C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3） D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 【变式1】下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1） 题型02 根据因式分解的变形求值 【典例1】若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5 【变式1】若x2+mx+n＝（x+5）2，则m+n的值为 　 　 ． 题型03 求多项式的公因式 【典例1】多项式m2+mn的公因式是（　　） A．m2 B．m C．mn D．n 【变式1】把多项式4x2y2z﹣12xy2z﹣6xyz2分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．xyz B．2xy C．2xyz D．2x2y2z2 题型04 求多项式提取公因式后的因式 【典例1】多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为（　　） A．x﹣2y B．x﹣4y+1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【变式1】把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 题型05 用提公因式法分解因式 【典例1】因式分解： （1）5a2b3﹣20ab2+5ab； （2）6x（x﹣y）2+3（y﹣x）3． 【变式1】因式分解： （1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3． ABC分层训练 1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 4．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 7．在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 8．多项式和的公因式是______． 9．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 10．因式分解：__________． 11．因式分解：； 12．分解因式． 13．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 14．把分解因式（　　） A． B． C． D． 15．把多项式分解因式时，应提出的公因式是（    ） A． B． C． D． 16．把多项式分解因式等于（　　） A． B． C． D． 17．把分解因式（    ） A． B． C． D． 18．若，则A为（　　） A． B． C． D． 19．分解因式：___________． 20．分解因式的结果为______． 21．已知，则的值是______． 22．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为________． 23．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 24．已知，求代数式的值． 25．阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $