第二十二讲：用公式法分解因式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十二讲：用公式法分解因式 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 符号表示: a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 知识点02：用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫作完全平方式. 2. 用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 知识点03：因式分解的一般方法 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下： 考点1：用平方差公式分解因式 【典型例题】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 【变式训练1】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，根据平方差公式，判断各选项是否符合两平方项相减的形式即可． 【详解】解：A中，，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故此选项错误； B中，，通过提取公因式分解，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； C中，，为两平方项相加，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； D中，，符合平方差公式，可分解为，故此选项正确． 故选：D． 【变式训练2】 下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．根据平方差公式，需满足多项式为两个平方项的差，据此逐一判断即可． 【详解】A、中两平方项均为正，无法用平方差公式分解，不符合题意； B、中可变形为，符合平方差公式，可分解为，符合题意； C、中两平方项均为负，提取负号后仍为两平方项之和，无法分解，不符合题意； D、为完全平方式，可分解为，不适用平方差公式，不符合题意． 故选：B． 考点2：用完全平方公式分解因式 【典型例题】 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足的形式，据此依次判断即可； 【详解】解：A.： 首项和末项符号相反，且不是平方数，无法构成完全平方公式； B.： 首项为，中间项对应，但末项非正数且非平方数，不符合公式； C.： 首项和末项符号相反，且非平方数，无法构成完全平方公式； D.： 首项，中间项可写为，末项是，符合完全平方公式，即； 综上，只有满足完全平方公式的条件； 故选：D 【变式训练1】 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式 根据完全平方公式，形如的多项式可分解为．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A：，符合完全平方公式分解因式； B：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； C：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； D：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； 故选：A． 【变式训练2】 下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用完全平方公式因式分解， 有三项，且符合公式即可． 本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：A.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． B.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． C.，是完全平方公式分解．故本选项正确． D.无法用公式因式分解．故本选项错误． 故选：ABC． 考点3：综合提取公因式和公式法分解因式 【典型例题】 把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先提公因式，再利用完全平方公式进一步分解即可． 【详解】解：， 故选：． 【变式训练1】 已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把所求式子先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式训练2】 下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解：提公因式法、公式法，根据提公因式法、公式法分解因式判断即可． 【详解】解：A．左边为乘积形式，右边展开为多项式，属于乘法运算而非因式分解，故此选项不符合题意；． B．左边变形为，提取公因式得，正确． C．，但可继续分解为，未彻底分解，故此选项不符合题意； D．右边为，虽等式成立，但未写成乘积形式（实际可分解为），故此选项不符合题意． 故选：B． 考点4：十字相乘法分解运算 【典型例题】 下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 【详解】解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】 下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，理解平方差公式和完全平方公式是解题的关键．分别根据提公因式法和公式法分解因式，逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确； B、，故B正确； C、，故C不正确； D、，故D不正确． 故选：B． 【变式训练1】 把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 考点5：分组分解法 【典型例题】 把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 【变式训练1】 因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 【变式训练2】 已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 一、单选题 1．下列因式分解中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的正确性判断，需逐一分析各选项是否分解彻底且符合公式． 【详解】解：选项A：左边可整理为，而是完全平方式，故原式分解为，正确，符合题意； 选项B：提取公因式，正确分解应为，但选项B中未包含常数项，错误，不符合题意； 选项C：公因式应为，正确分解为，而选项C仅提取，未提取最大公因数，分解不彻底，错误，不符合题意； 选项D： 展开后为，与左边不符，错误，不符合题意； 故选：A． 2．下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，平方差公式为，适用于两个平方项的差．需逐一分析选项是否满足该形式． 【详解】A．，不符合平方差公式，排除． B．，括号内为平方和，无法用平方差分解，排除． C． 仅含一项平方项和一次项，无法构成平方差，排除． D．，满足平方差公式． 故选D． 3．将多项式分解因式为：，则（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，将右边因式展开后与左边多项式对应系数比较，求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，则长方形的一组邻边长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式的应用，根据题意正确表示出图形的面积是解题的关键．由题意得，阴影部分剪拼成的长方形面积为，根据图形可知长方形的宽为，得出长方形的长，即可求解． 【详解】解：阴影部分剪拼成的长方形面积为， 由图可知，长方形的宽为， ∴长方形的长为， ∴长方形的一组邻边长分别是和． 故选：A． 5．多项式与的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式分解因式可得：，利用提公因式法分解因式可得：求两个多项式的公因式，需先分别进行因式分解，再找出共同的因式。 【详解】解：把两个多项式分别分解因式， 可得：，， 与分解后的形式分别为 和 ， 它们共同的因式为 ， 与的公因式为 ． 故选：A． 6．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理、因式分解的应用等知识点，熟练掌握因式分解以及三角形三边关系是解题的关键． 先因式分解，然后后利用三角形三边关系进行分析即可解答． 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式为，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； B、可写为，符合形式，分解为，故此选项符合题意； C、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； D、常数项为负数，无法构成完全平方公式，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．若的结果为整数，则整数的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律探索，用平方差公式分解因式，将分子进行因式分解，确定其质因数组成，再对各选项分解质因数，判断是否均为分子的因数． 【详解】解：∵ ， A．，所有质因数均在分子中存在，符合条件，故A不符合题意； B．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故B不符合题意； C．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故C不符合题意； D．，分子中无质因数7，因此无法整除，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故本题答案为：． 10．已知均为正整数，且满足：，则 ． 【答案】2031 【分析】本题考查利用因式分解解方程，将方程通过因式分解转化为乘积形式，找到正整数解的可能组合，进而求解． 将原方程转为为，然后结合条件得出和为正整数，进而根据质数的因数只有1和它本身，得出和的值，只能分别为1和2027，分类讨论求出的值，求出． 【详解】解： 2027是质数，均为正整数， 即， 当时，，此时， 故， 当时，，此时， 故， 综上，． 故答案为：2031． 11．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，分解因式得到，再由即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：1． 12．已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 【答案】等边三角形 【分析】本题主要查考因式分解的应用．先根据完全平方公式进行变形，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，把化为，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 14．已知，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 15．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由，代入已知式子的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 18．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的步骤一提、二套、三检查、分解要彻底成为解题的关键． （1）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）先运用平方差公式进行分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：方法一：原式 ； 方法二：原式 ． 19．利用因式分解说明能被33整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，先运用提公因式法进行因式分解，再根据约数的概念进行分析即可． 【详解】解： ． 因为， 所以能被33整除． 20．已知，求的值． 【答案】16 【分析】此题主要考查了利用因式分解进行计算，本题中提取公因式法分解因式是解题关键． 直接提取公因式，进而分解因式，然后整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 21．阅读并解答． 在分解因式时，李老师是这样做的： （第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)从第一步到第二步运用了________公式； (2)从第二步到第三步运用了________； (3)仿照上面的方法分解因式：． 【答案】(1)完全平方； (2)提公因式法； (3)见解析． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和提公因式法分解因式是解题的关键． （）根据完全平方公式因式分解即可； （）根据提取公因式法因式分解即可； （）仿照上面的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：从第一步到第二步运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方； （2）解：从第二步到第三步运用了提公因式法， 故答案为：提公因式法； （3）解： ． 22．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十二讲：用公式法分解因式 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 符号表示: a2－b2＝(a＋b)(a－b) 2. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面； 二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套：套用平方差公式进行分解； 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式. 知识点02：用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式：形如a2±2ab＋b2的式子叫作完全平方式. 2. 用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 3. 公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 知识点03：因式分解的一般方法 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法，其一般步骤如下： 考点1：用平方差公式分解因式 【典型例题】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 考点2：用完全平方公式分解因式 【典型例题】 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 考点3：综合提取公因式和公式法分解因式 【典型例题】 把多项式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 【变式训练2】 下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点4：十字相乘法分解运算 【典型例题】 下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 考点5：分组分解法 【典型例题】 把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 一、单选题 1．下列因式分解中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．将多项式分解因式为：，则（   ） A． B．8 C． D．6 4．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，则长方形的一组邻边长分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．多项式与的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 7．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 8．若的结果为整数，则整数的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 二、填空题 9．分解因式： ． 10．已知均为正整数，且满足：，则 ． 11．已知，，则的值为 ． 12．已知分别是的三边长，且满足，判断的形状是 13．已知，则的值为 ． 14．已知，，则的值为 ． 15．分解因式： ． 16．若，则的值是 ． 17．如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 三、解答题 18．因式分解： (1)； (2)． 19．利用因式分解说明能被33整除． 20．已知，求的值． 21．阅读并解答． 在分解因式时，李老师是这样做的： （第一步） （第二步） （第三步） ．（第四步） (1)从第一步到第二步运用了________公式； (2)从第二步到第三步运用了________； (3)仿照上面的方法分解因式：． 22．下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$