精品解析：2022年湖南省益阳市中考数学模拟预测试卷

2022年湖南省益阳市中考数学模拟预测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 如果与1互为相反数，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 下列计算错误的是(　　) A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 5. 函数的图像（ ） A. 过原点的一条直线 B. 位于一、三象限的两支曲线 C. 位于二、四象限的两支曲线 D. 过点和点的一条直线 6. 如图所示是“赵爽弦图”，它是由四个相同的直角三角形和1个小正方形拼成的，下列说法正确的是（ ） A. 它既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 它是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 7. 如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 8. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ） A. 17cm B. 19cm C. 21cm D. 23cm 9. 某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（ ） A. 9.51分 B. 9.5分 C. 9.6分 D. 9.625分 10. 在中，，，正方形的边长为1，将正方形和如图放置，与在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形和重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 12. 方程的解为_____． 13. 若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 14. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向偶数区域的概率是___________． 15. 如图，已知点是函数图象上的一个动点.若，则的取值范围是__________. 16. 如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数是_____． 17. 要使□ABCD 是菱形， 你添加的条件是_______．（写出一种即可） 18. 已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距离为_____． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 先化简，再求值：,其中． 20. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中直线与轴相交于点，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点。 （1）求反比例函数的关系式； （2）将直线沿轴平移后与反比例函数图象在第三象限内交于点，且的面积为8，求平移后的直线的函数关系式。 22. 某校为了解学生球类运动爱好情况，把喜欢球类运动的学生按A（羽毛球）、B（足球）、C（乒乓球）、D（篮球）分类，随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了 名学生，其中D类学生占被调查学生的百分比是 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校有1800名球类爱好的学生，现要对A类，B类的学生进行技术提高训练，根据调查结果，计算需要进行技术提高的学生约有多少人？ 23. 在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE，通过测量，斜坡CE的坡角为30°，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°，斜坡CE的长度为60m，坡顶C与小山的距离BC＝100m，求小山AF的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：cos53°≈0.6，sin53°≈0.8，tan53°≈1.33，≈1.73） 24. 六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． （1）求爆米花和蛋挞的售价； （2）临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量a满足份，上午至少售出蛋挞几份？ 解：设上午售出蛋挞b份，由题意得：__________，可得b的取值范围是___________， 又：a、b是正整数，b的最小值为________． 从而可以得出上午至少售出蛋挞的份数； （3）下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB． （1）当OC//AB时，∠BOC的度数为________． （2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的最大值． （3）连接AD，当OC//AD，点C位于第二象限时， ①求出点C的坐标； ②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由． 26. 已知，点A是平面直角坐标系内的一点，将点A绕坐标原点O逆时针旋转90°得到点B，经过A、O、B三点的二次函数的图象记为G． （1）若点A的坐标为（1，2），求二次函数G的解析式； （2）若点A的坐标为（m，2m）（m≠0），图象G所对应的函数表达式为y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）．写出b的值，并用含m的代数式表示a．（直接写出即可） （3）在（2）的条件下，直线x=-2与图象G交于点P，直线x=1与图象G交于点Q．图象G在P、Q之间的部分（包含P、Q两点）记为G1． ①当图象G在-2≤x≤1上的函数值y随自变量x的增大而增大时，设图象G1的最高点的纵坐标为h1，最低点的纵坐标为h2，记h=h1-h2，求h的取值范围． ②连结PQ，当PQ与图象G1围成的封闭图形与x轴交于点D（点D不与坐标原点重合）．当OD≥时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖南省益阳市中考数学模拟预测试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 如果与1互为相反数，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，进行求解即可． 【详解】解：由与1互为相反数，得， ∴， 故． 故选C． 【点睛】此题考查了相反数的性质，熟知相反数的性质是解决此题的性质． 2. 下列计算错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单项式乘以单项式判断A，利用积的乘方判断B，利用合并同类项判断C，利用同底数幂的除法判断D． 【详解】解：，故A正确， ，故B正确， ，不是同类项，不能合并，故C错误， ，正确D， 故选C． 【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，掌握以上运算是解题的关键． 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、=3，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、是最简二次根式． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：解方程组得：， 即，， ∴． 5. 函数的图像（ ） A. 过原点的一条直线 B. 位于一、三象限的两支曲线 C. 位于二、四象限的两支曲线 D. 过点和点的一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 6. 如图所示是“赵爽弦图”，它是由四个相同的直角三角形和1个小正方形拼成的，下列说法正确的是（ ） A. 它既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 它是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 7. 如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 8. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ） A. 17cm B. 19cm C. 21cm D. 23cm 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本作图得到MN垂直平分AC，CE＝AE＝4cm，DA＝DC，然后利用等线段代换计算△ABC的周长． 【详解】解：由作图得MN垂直平分AC， ∴CE＝AE＝4cm，DA＝DC， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝13， ∴AB+BD+DC＝13， 即AB+BC＝13， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+4+4＝21（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 9. 某校为丰富学生课余生活，举行了艺术周活动，八年级一班的合唱成绩如表： 成绩/分 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9 评委/人 2 2 3 2 1 若去掉一个最高分和一个最低分后，则余下数据的平均分是（ ） A. 9.51分 B. 9.5分 C. 9.6分 D. 9.625分 【答案】B 【解析】 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，然后再求平均数即可． 【详解】解：由题意知，最高分和最低分为9.9，9.2， 则余下的数据的平均数为（分） 10. 在中，，，正方形的边长为1，将正方形和如图放置，与在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形和重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，按照，，，四个时间段，分别求出S与运动时间t的函数关系式，即可判断． 【详解】解：，， ， ①当时，如图1，设交于点H， 则， ，函数为开口向上的抛物线，当时，； ②当时，如图2， 设直线交于点，交于点H， 则，则， ， 函数为开口向下的抛物线，当时，； ③当时， ， ④当时， 同理可得：，为开口向下的抛物线； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准时间节点，列出不同时间段内S与运动时间t的函数关系式． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 【答案】##分米 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的体积为列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ， 答：正方体的棱长为． 12. 方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 13. 若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，根据同小取小得到． 【详解】解： 解①得， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 14. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向偶数区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出总份数，再求出偶数区域的份数，作比即可得出答案． 【详解】解：共6个区域，其中偶数区域有2个，所以概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是求概率，属于基础题型，需要熟练掌握相关基础知识． 15. 如图，已知点是函数图象上的一个动点.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得-1＜a＜1，再根据二次函数的解析式求出对称轴，再根据函数的图像与性质即可求解. 【详解】∵ ∴-1＜a＜1， ∵函数对称轴x= ∴当a=，y有最大值 当a=-1时， ∴则的取值范围是 故填：. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意函数图像进行求解. 16. 如图，直线、相交于点O，平分，若，求的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 要使□ABCD 是菱形， 你添加的条件是_______．（写出一种即可） 【答案】AD=AB (答案不唯一) 【解析】 【分析】添加的条件是AD=AB，根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可推出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：AD=AB． 【点睛】本题主要考查对菱形的判定的理解和掌握，能灵活运用菱形的判定进行推理是解此题的关键．此题是一个开放性题目，也可选用别的邻边相等来作为添加条件． 18. 已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距离为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出AA'的值，然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵在Rt△ABC中，∠C=90，cosA= ， ∴AC=AB•cosA=6，BC=3 ， 在Rt△ACH中，AC=6，cosA=， ∴AH=AC•cosA=4， 由旋转的性质得，AC=A'C，BC=B'C， ∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点， ∴AA'=2AH=8， 又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角， ∴∠ACA'=∠BCB'， ∴△ACA'∽△BCB'， ∴即 , 解得：BB'=4. 故答案为4. 【点睛】此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出△ACA'∽△BCB'． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 先化简，再求值：,其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号里面的式子通分，分母都变为(x－1)的形式，然后将“÷”变为“×”倒数，将式子化简后再代值求解． 【详解】原式= = = = 将x=代入得： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，在这种化简后求值的题目中，一般在化简过程中都有大量的约分过程，注意发现约分部分，简化计算． 20. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为等边三角形，即， ． 【解析】 【分析】由矩形的性质先证明为等边三角形，进而得到． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中直线与轴相交于点，与反比例函数在第三象限内的图象相交于点。 （1）求反比例函数的关系式； （2）将直线沿轴平移后与反比例函数图象在第三象限内交于点，且的面积为8，求平移后的直线的函数关系式。 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）设反比例解析式为y=，将B坐标代入直线y=x-2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）分两种情况：向上平移和向下平移；当向上平移时，过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y=x-2平移后解析式为y=x+b，C坐标为（a，），三角形ABC面积=梯形BEDC面积－三角形ABE面积－三角形ACD面积，由已知三角形ABC面积列出关系式，将C坐标代入一次函数解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式；同理，向下平移时，三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积－三角形ACD面积，方法同上即可求解. 【详解】（1）将B坐标代入直线y=x-2中得：m-2=-4， 解得：m=-2， 则B（-2，-4）， 设反比例解析式为y=， 将B（-2，-4）代入反比例解析式得：k=8， 则反比例解析式为y=； （2）设向上平移后直线解析式为y=x+b，C（a，）， 对于直线y=x-2，令x=0求出y=-2，得到OA=2， 过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，如图， 将C坐标代入一次函数解析式得：C（a，a+b）， ∴a（a+b）=8， ∵S△ABC=S梯形BCDE-S△ABE-S△ACD=8， ∴， ∵， ∴，即， ∵a（a+b）=8， ∴b=6， 则向上平移后直线解析式为y=x+6； 设向下平移后直线解析式为y=x+m，C（a，）， 对于直线y=x-2，令x=0求出y=-2，得到OA=2， 过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，如图， 将C坐标代入一次函数解析式得：C（a，a+m）， ∴a（a+m）=8， ∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE-S△ACD=8， ∴ ∵， ∴，即 ∵a（a+m）=8， ∴m=-10， 则向下平移后直线解析式为y=x-10． 综上所述，平移后直线解析式为y=x+6或y=x-10． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22. 某校为了解学生球类运动爱好情况，把喜欢球类运动的学生按A（羽毛球）、B（足球）、C（乒乓球）、D（篮球）分类，随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了 名学生，其中D类学生占被调查学生的百分比是 ； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校有1800名球类爱好的学生，现要对A类，B类的学生进行技术提高训练，根据调查结果，计算需要进行技术提高的学生约有多少人？ 【答案】（1）120， （2）图见解析 （3）约有450人 【解析】 【分析】（1）根据类学生的条形统计图和扇形统计图信息即可得这次调查的总人数，再利用类学生人数除以这次调查的总人数即可得出答案； （2）根据（1）的结果求出类的学生人数，据此补全条形统计图即可； （3）利用该校球类爱好的学生总人数乘以类，类的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：这次调查的学生总人数为（名）， 类学生占被调查学生的百分比是， 故答案为：120，． 【小问2详解】 解：类的学生人数为（人）， 则补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：需要进行技术提高的学生约有450人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 23. 在一次课外活动中，小明和小华测量小山AF的高度，如图，已知山底有一斜坡CE，通过测量，斜坡CE的坡角为30°，小明沿斜坡坡脚E处行走至斜坡的中点D处，在D处测得山顶A的仰角为53°，斜坡CE的长度为60m，坡顶C与小山的距离BC＝100m，求小山AF的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：cos53°≈0.6，sin53°≈0.8，tan53°≈1.33，≈1.73） 【答案】小山AF的高度约为182.5m． 【解析】 【分析】过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P，得到四边形BCHP、四边形PFGH为矩形，根据同位角相等得到∠AHP＝∠HDQ＝53°，然后根据∠AHP的正切值求得AP的长，过点D作DQ⊥GH于点Q，根据含30的三角形的三边关系求得CD和CG的长，根据tan∠HDQ求得QH的长，进而得到CH的长，最终根据AF＝AP+PF＝AP+CH+CG得到答案． 【详解】如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB于点P， 则四边形BCHP、四边形PFGH为矩形，PH∥DQ， ∴BC＝PH＝100，BP＝CH，PF＝GH，BF＝CG，∠AHP＝∠HDQ＝53°， ∵tan∠AHP＝＝tan53°≈1.33， ∴AP＝1.33PH＝133， 过点D作DQ⊥GH于点Q，则DQ∥EG， ∴∠CDQ＝∠CEG＝30°， ∵D是CE的中点，CE＝60， ∴CD＝CE＝30，CG＝CE＝30， ∴CQ＝CD＝15，DQ＝CQ＝15， ∵tan∠HDQ＝＝tan53°≈1.33， ∵QH≈1.33DQ＝1.33×15≈34.51， ∴CH＝QH﹣CQ＝34.51﹣15＝19.51， ∴AF＝AP+PF＝AP+GH＝AP+CH+CG＝133+19.51+30≈182.5（m）， 即小山AF的高度约为182.5m． 故答案为182.5m． 【点睛】本题考查了矩形的性质，应用锐角三角函数解直角三角形，熟记三类不同的三角函数的定义是解决本题的关键． 24. 六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． （1）求爆米花和蛋挞的售价； （2）临近中午时，他们的销售利润超过了800元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量a满足份，上午至少售出蛋挞几份？ 解：设上午售出蛋挞b份，由题意得：__________，可得b的取值范围是___________， 又：a、b是正整数，b的最小值为________． 从而可以得出上午至少售出蛋挞的份数； （3）下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共n份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2019元，求n的最大值． 【答案】（1）爆米花的售价为4元，则蛋挞的售价为5元； （2），，167； （3）739． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程实际应用，一元一次不等式实际应用等 （1）根据题意设爆米花的售价为x元，则蛋挞的售价为元，再列出关于的一元一次方程即可； （2）设上午售出蛋挞b份，根据题意得出，再根据的取值范围继而得到本题答案； （3）设爆米花为2y份，蛋挞5y份，则冰淇淋份，冰淇淋总成本是元，根据题意列出关于的一元一次不等式，即可确认的最大值． 【小问1详解】 解：设爆米花的售价为x元，则蛋挞的售价为元，由题意得 ， 解得， ∴， 答：爆米花的售价为4元，则蛋挞的售价为5元； 【小问2详解】 解：设上午售出蛋挞b份， 由题意得：， 又：， 可得b的取值范围是：， 又∵b是正整数， ∴b的最小值为167，即得出上午至少售出蛋挞的份数； 【小问3详解】 解：设爆米花为2y份，蛋挞5y份，则冰淇淋份，冰淇淋总成本是元， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∵是整数，为整数，且越大，越大， ∴当时，有最大值739． ∴n的最大值为739． 25. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(6，0)，点B(0，6)，动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB． （1）当OC//AB时，∠BOC的度数为________． （2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的最大值． （3）连接AD，当OC//AD，点C位于第二象限时， ①求出点C的坐标； ②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由． 【答案】（1）45°；（2）Smax =18+9 ；（3）① (-， )； ②见解析 【解析】 【分析】(1 )由点A和点B坐标可得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB ，即可求出答案． （2）根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，求出C点到AB的距离的最大值为CE的长,然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE ，然后计算△ABC的面积． ( 3 )①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，即可求出CF，求出C点坐标． ②在Rt△OCF中,OC=3，CF=可得∠COF= 30°，进而可以得到△BOC≌△AOD ,即可证明∠BCO=∠ADO=90°直线BC是O的切线． 【详解】解: （1）∵点A ( 6，0)，点B ( 0， 6 ) ∴OA=OB=6 ∵△OAB是等腰直角三角形 ∴∠OBA=45° ∵OC∥AB ∵点C，O，D按逆时针方向排列 ∴C点在第二象限 ∴∠BOC=∠OBA=45° （2）∵△OAB为等腰直角三角形 ∴AB=OA=6 ∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大 过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图 此时C点到AB的距离的最大值为CE的长 ∴OE=AB=3 ∴CE=OC+OE=3+3 ∴=CE∙AB=× (3+3)×6=9+18 ∴△ABC的面积最大值为9+18 （3）解:①如图,过C点作CF⊥x轴于F ∵OC∥AD ∴∠COF=∠DAO ∵∠ADO= ∠CFO=90° ∴Rt△OCF∽Rt△AOD ∴ 解得CF= 在Rt△OCF中，OF= ∴ C点坐标 (−， ) ②当C点坐标 (−， )时，直线BC是O的切线。理由如下: 在Rt△OCF中，OC=3，CF= ∴∠COF= 30° ∴∠OAD=30° ∴∠BOC=∠AOD=60° ∵OC= OD, BO= AO .∴△BOC≌△AOD , ∴∠BCO=∠ADO=90° ∴0C⊥BC ∴直线BC为O的切线 【点睛】本题主要考查了切线，勾股定理，全等三角形和相似三角形等知识点，解题关键是能看出来当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大和证全等证切线． 26. 已知，点A是平面直角坐标系内的一点，将点A绕坐标原点O逆时针旋转90°得到点B，经过A、O、B三点的二次函数的图象记为G． （1）若点A的坐标为（1，2），求二次函数G的解析式； （2）若点A的坐标为（m，2m）（m≠0），图象G所对应的函数表达式为y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）．写出b的值，并用含m的代数式表示a．（直接写出即可） （3）在（2）的条件下，直线x=-2与图象G交于点P，直线x=1与图象G交于点Q．图象G在P、Q之间的部分（包含P、Q两点）记为G1． ①当图象G在-2≤x≤1上的函数值y随自变量x的增大而增大时，设图象G1的最高点的纵坐标为h1，最低点的纵坐标为h2，记h=h1-h2，求h的取值范围． ②连结PQ，当PQ与图象G1围成的封闭图形与x轴交于点D（点D不与坐标原点重合）．当OD≥时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+x；（2）b的值为，a=；（3）①h的取值为≤h＜或＜h≤；②m的取值范围为-≤m＜0或0＜m＜或＜m≤． 【解析】 【分析】（1）根据A点的旋转确定B点的坐标，再用待定系数法求出G的函数表达式即可； （2）根据点A（m，2m）（m≠0），则B（-2m，m），用待定系数法求解即可； （3）①先求出抛物线的对称轴为x=m，根据函数的增减性求出h1和h2，根据h的表达式利用二次函数的对称轴求出h的取值范围即可； ②设直线PQ的解析式为y=kx+b，由①写出P点和Q点的坐标，确定PQ的解析式即可求出D点的坐标，再根据OD≥求解即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（1，2），将点A绕坐标原点O逆时针旋转90°得到点B， ∴B（-2，1）， 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为y=x2+x； （2）∵点A（m，2m）（m≠0），则B（-2m，m）， ∴，解得， ∴b的值为，a=； （3）①由（2）得，二次函数的解析式为y=x2+x， ∴抛物线的对称轴为直线x=m ， ∵图象G在-2≤x≤1上的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当x=-2时，图象G1在最低点，即h2=×（-2）2+×（-2）=， 当x=1时，图象G1在最高点，即h1=， ∴h=h1-h2=-（）=， ∵图象G在-2≤x≤1上的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当m＞0时，-m≤-2， 解得m≥， ∴0＜≤， ∴≤＜， 即≤h＜， 当m＜0时，-m≥1， 解得m≤-， ∴-≤＜0， ∴＜-≤， 即＜h≤， 综上，h的取值为≤h＜或＜h≤； ②设直线PQ的解析式为y=kx+b， 由①知，P（-2，），Q（1，）， ∴，解得， ∴直线PQ的解析式为y=x+， 令y=0，则x+=0， 解得x=， ∴D（，0） ∴OD=||， ∵OD≥， ∴||≥， 即≥或≤−， 解得-≤m＜或＜m≤， 又∵m≠0， ∴-≤m＜0或0＜m＜或＜m≤． 【点睛】本题主要考查了绕原点旋转90°点的坐标特征，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式，及一次函数、二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $