精品解析：2022年湖南省衡阳市第八中学九年级中考模拟数学试题

2022年上期数学学科中考模拟试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 如图，在平面内将五角星绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A. B. C. D. 3. 2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为的形式，则的值是（ ） A. 0.192 B. 1.92 C. 19.2 D. 192 4. 某市一周空气质量报告某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则对于这列数据表述正确的是（ ） A. 众数是30 B. 中位数是31 C. 平均数是33 D. 极差是35 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是( ) A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. n边形的内角和是 D. 旋转不改变图形的形状和大小 7. 八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的整数解的和为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、、三点在上，是延长线上的一点，，那么的度数为（ ）． A. 80° B. 70° C. 50° D. 40° 11. 已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 12. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 因式分解：______． 14. 若式子的值为零，则＝___． 15. 已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是__________边形． 16. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m． 17. 已知，则代数式的值是___________． 18. 如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD． 21. 我市居民在国家的大力号召下，积极进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，某小区管理人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类－－接种了只需要注射一针的疫苗；B类－－接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类－－接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类－－还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图．请根据统计图回答下列问题： （1）此次抽样调查的人数是多少人？ （2）接种B类疫苗的人数的百分比、接种C类疫苗的人数是多少人？ （3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，利用画树状图或列表的方式求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 22. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度． （参考数据：，，．结果精确到0.1米） 23. 现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 24. 如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，连接．若，，求． 25. 如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点的横坐标为．连接，，，． （l）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积与的面积和为时，求m的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题： （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年上期数学学科中考模拟试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，在平面内将五角星绕其中心旋转后所得到的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质找出阴影部分三角形的位置即可得答案． 【详解】∵将五角星绕其中心旋转， ∴图中阴影部分的三角形应竖直向下， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，图形旋转前后，对应边相等，对应角相等，前后两个图形全等；熟练掌握旋转的性质是解题关键． 3. 2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为的形式，则的值是（ ） A. 0.192 B. 1.92 C. 19.2 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如为正整数． 【详解】解：用科学记数法将192000000表示为， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 某市一周空气质量报告某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31．则对于这列数据表述正确的是（ ） A. 众数是30 B. 中位数是31 C. 平均数是33 D. 极差是35 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据极差、众数、平均数和中位数的定义对每一项进行分析即可． 解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误； B、把这些数从小到大排列为：30，31，31，31，33，33，35，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确； C、这组数据的平均数是（30+31+31+31+33+33+35）÷7=32，故本选项错误； D、极差是：35﹣30=5，故本选项错误； 故选B． 5. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故答案为D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 6. 下列命题是假命题的是( ) A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. n边形的内角和是 D. 旋转不改变图形的形状和大小 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的判定方法、等边三角形的性质、多边形的内角和以及旋转的性质进行判断即可 【详解】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C、n边形的内角和是，正确，是真命题； D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 7. 八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， -=， 故选：C． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 8. 不等式组的整数解的和为（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再从中找出整数求和即可. 【详解】， 解①得 ， 解②得 x≤1, ∴, ∴整数解有：-1，0，1， ∴-1+0+1=0. 故选B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案． 【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是： 所以：当时， ， 故选D． 【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键． 10. 如图，、、三点在上，是延长线上的一点，，那么的度数为（ ）． A. 80° B. 70° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】作弧ABC所对的圆周角∠AEC，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数． 【详解】解：作弧ABC所对的圆周角∠AEC， ∵∠ABD=40°， ∴∠ABC=180°-40°=140°， ∵∠AEC+∠ABC=180°， ∴∠E=40°， ∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 11. 已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案. 【详解】如图，连接CD、CG， ∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F ∴EF垂直平分OC， 设EF交OC于点N， ∴∠ONE=∠ONF=90°， ∵OM平分， ∴∠NOD=∠NOG， 又∵ON=ON， ∴△OMD≌△ONG， ∴OD=OG， ∴△ODG是等腰三角形， 故选：C. 【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键. 12. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解． 【详解】解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a， ∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误； ③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确； ④∵抛物线经过点， ∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点， ∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n）， ∴一元二次方程的两根分别为，5， 故④正确， 综上，上述结论中正确结论有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解； 【详解】解：． 14. 若式子的值为零，则＝___． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解． 【详解】解：由式子的值为零可得： ， ∴且， ∴； 故答案为0． 【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 15. 已知某多边形的每个外角都等于，则这个多边形是__________边形． 【答案】十 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为，用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：， 即这个多边形是十边形． 16. 如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m． 【答案】100 【解析】 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解． 【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB=2DE=2×50=100米． 故答案为100． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键． 17. 已知，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察题中的两个代数式和，可以发现，，因此可整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．将进行正确的恒等变形是解题的关键． 18. 如图，直线的解析式为，点坐标为，过作轴交于，过作交轴于，过作轴交于，过作交轴于，，按此规律进行下去，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和直线解析式求出的坐标规律，即可解答； 【详解】解：直线解析式为， ∴， ∵，轴交于​，直线解析式为， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴坐标为； 同理可得：，， 观察可得，的坐标满足规律：， 当时，横坐标为， ∴的坐标为． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】分别根据有理数的乘方、绝对值的代数意义、特殊锐角三角函数值和零指数幂的运算法则化简各项后，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： = = =2． 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊锐角三角函数值是解答此题的关键． 20. 已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD． 【答案】 证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°， 又∵∠D＝110°， ∴∠ACB＝∠D， ∵AB∥DE， ∴∠CAB＝∠E， ∴在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD(AAS)． 【解析】 【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD． 【详解】略 【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可． 21. 我市居民在国家的大力号召下，积极进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，某小区管理人员对该小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类－－接种了只需要注射一针的疫苗；B类－－接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类－－接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类－－还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图．请根据统计图回答下列问题： （1）此次抽样调查的人数是多少人？ （2）接种B类疫苗的人数的百分比、接种C类疫苗的人数是多少人？ （3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，利用画树状图或列表的方式求恰好抽到一男和一女的概率是多少？ 【答案】（1）200人 （2）40%，30人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A类型人数除以所占比例得到总人数即可； （2）根据B类型人数和总人数得到百分比，根据C类型的百分比和总人数求得人数即可； （3）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率． 【小问1详解】 解：A类型人数为20人，占样本的10%， 所以此次抽样调查的人数是：（人）． 【小问2详解】 解：B类型人数为80人， 所以B类疫苗的人数的百分比是：， 由图可知C类型人数的百分比为15%， 所以接种C类疫苗的人数是：（人）． 【小问3详解】 解：列表如下：： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2男3 男2女1 男2女2 男3 男3男1 男3男2 男3女1 男3女2 女1 女1男1 女1男2 女1男3 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1 从表中可以看出，共有20种等情况数，选中一男和一女的情况数共12种， ∴P（恰好选中一男一女）=． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比． 22. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度． （参考数据：，，．结果精确到0.1米） 【答案】观光电梯的高度为141.1米 【解析】 【分析】过点B作BE⊥AC于点E，根据斜坡（米），坡度可求得BE和AE的长，根据△BEC是等腰直角三角形可求出CE，最后根据AC=AE+CE可求出结论． 【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，如图， 在Rt△ABE中，（米），坡度，即 设AE=x（米），则BE=2x（米） 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴（米），（米） ∵ ∴△BEC是等腰直角三角形 ∴（米） ∴AC=AE+CE=（米） 答：观光电梯的高度为141.1米 【点睛】此题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 23. 现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨； （2）A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元． 【解析】 【分析】(1)设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”列方程组解答即可； (2)题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：， 则每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨； 【小问2详解】 设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），根据题意得：m≥10； w＝3m+2.5（20﹣m）＝0.5m+50． ∵0.5＞0， ∴w随着m的减少而减少． ∴当m＝10时，w有最小值，w最小＝0.5×10+50＝55． ∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列出对应的方程组，最值问题来利用函数的递增情况解决． 24. 如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，连接．若，，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案； （2）由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OD，如图： ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴（负值舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算． 25. 如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点的横坐标为．连接，，，． （l）求抛物线的函数表达式； （2）当的面积与的面积和为时，求m的值； （3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）把，代入中进行求解即可； （2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案； （3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则 同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案． 【详解】解：（1）把，代入： ， 解得： ∴抛物线表达式为：； （2）如图，连接， ∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C ∴抛物线的对称轴为， ∴OC=4， ∵点D的横坐标为m， ∴， ∵，， ∴AO=1，BO=2， ∴ 又∵ ∴， 解得：，， 当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取， 综上，； （3）当时， D点为， ①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时， 由平行四边形可得， 关于抛物线的对称轴对称， 重合， 如图，当在轴的下方时，设点， ， ∴，（平行四边形对角线中点坐标相同）， ∴， 解得或 ∴或， ∴或； ②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则 ∴，关于抛物线的对称轴对称， ， 综上，点的坐标为： 或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 26. 已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题： （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围． 【答案】（1）t=10秒；（2）存在，t=，或秒；（3）；；；． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值； （2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示； （3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5-答图8所示，分别求出其面积的表达式． 【详解】解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，， ∴由勾股定理，得NM=10． 当点G在线段AE上时，如图， 此时，GG′=MN=10． ∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动， ∴t=10秒． （2）存在符合条件的点P． 在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20． 设∠AEB=θ，则sinθ=，cosθ=． ∵NE=t，∴QE=NE•cosθ=t，AQ=AE-QE=20-t． △APQ是等腰三角形，有三种可能的情形： ①AP=PQ．如答图2所示： 过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP•cosθ=t． ∵AQ=2AK，∴20-t=2×t， 解得：t=； ②AP=AQ．如答图3所示： 有t=20-t， 解得：t=； ③AQ=PQ．如答图4所示： 过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ•cosθ=（20-t）×=16-t． ∵AP=2AK，∴t=2（16-t）， 解得：t=． 综上所述，当t=，或秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形． 由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20． ①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J． 根据题意，知AP=EN=t， 由△QNE∽△GNM得，即 ∴，∴． 由△QHE∽△NGM得，即， ∴ ∴． ∴． 若AP=AQ，则，解得，不存在； 若AP=PQ，则， ∴△＜0，无解，不存在； 若AQ=PQ，则，无正数解，不存在． ②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J． 同上，AP=EN=t， 由△QNE∽△GNM得，即， ∴∴． 由△QHE∽△NGM得，即， ∴ ∴． ∴． 若AP=AQ，则，解得． 若AP=PQ，则， ∴△＜0，无解，不存在； 若AQ=PQ，则，无正数解，不存在． 综上所述，存在，使△APQ是等腰三角形． （3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积， 由（2）①，EN=t，，∴． 当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积． 由（2）①，EN=t，，∴． 过点I 作IJ⊥BC于点J， ∵EF=7，EN=t，∴． 由△FJI∽△FBA得，即． 由△INJ∽△MNG得，即． 二式相加，得．∴ ∴． 当10＜t≤时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积． 过点I 作IH⊥BC于点H， ∵EF=7，EN=t，∴． 由△FHG∽△FBA得，即． 由△INH∽△MNG得，即． 二式相加，得．∴． ∴． ④当＜t≤16时时，如答图8所示： FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t． 设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K． ∵tan∠IFK==，∴可设IK=4x，FK=3x，则KM=3x+17-t． ∵tan∠IMF==， 解得：x=（17-t）． ∴IK=4x=（17-t）． ∴S=FM•IK=（t-17）2． 综上所述，S与t之间的函数关系式为：；；；． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定和性质，三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题关键是清楚理解图形的运动过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $