精品解析：2022年湖南省长沙中加学校中考数学保温A卷

长沙中加学校2021-2022-2保温考试数学A卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：， ， 即这四个实数中，最大的数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 2. 下列疫情防控标识图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 3. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵引体向上做7个的人数最多， ∴众数为：7个， ∵第8个人的引体向上个数是10个， ∴中位数为：10个， 故选：C． 4. 京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6 800 000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6 800 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数的形式． 【详解】解：6800000＝6.8×106， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法表示较大的数，关键是掌握把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n＝原来的整数位数−1． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】A、，此项正确； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 6. 如图，，分别与，交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， （对顶角相等）， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 7. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用圆周角定理即可得． 【详解】解：， 由圆周角定理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 8. 下列函数图象中，表示直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：一次函数的一次项系数为， 随的增大而增大，则可排除选项， 当时，，则可排除选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得投掷两次的所有可能的结果，再找出两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果，然后利用概率公式即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，投掷两次的所有可能的结果共有36种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的结果有4种， 则所求的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． 10. 甲、乙、丙3个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理，化学中的一个专业，且满足：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理．则（ ） A. 甲在C校学习，丙在B校学习 B. 甲在B校学习，丙在C校学习 C. 甲在B校学习，丙在A校学习 D. 甲在C校学习，丙在A校学习 【答案】C 【解析】 【分析】由①知甲可在B校或C校学习，假设甲在B校学习，根据后面的条件进行推理，若结论均符合条件，则正确；否则甲在C校学习，从而可得答案． 【详解】由①知甲可在B校或C校学习，假设甲在B校学习，则他学习数学；由⑤知乙学习化学，由④知，丙在A校学习物理；则可知乙在C校学习化学，且均符合每个条件．即甲在B校学习，丙在A校学习． 故选：C 【点睛】本题考查的是逻辑推理，根据问题的特点，找准突破口，步步推进． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键． 12. 计算：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】同分母的分式的加减运算：分母不变，把分子相加减，再约分即可. 【详解】解： 故答案为：3 【点睛】本题考查的是同分母分式的加减运算，掌握“同分母分式的加减运算的运算法则”是解本题 关键. 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解：四边形是菱形， ， 点是边的中点， 是的中位线， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 15. 若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的半径和圆心角代入扇形弧长公式计算即可，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：∵扇形半径，圆心角，扇形弧长公式为， ∴将数值代入公式得． 16. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1， ∴△AOC的面积为2， ∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限， ∴k＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，即在反比例函数图象上任取一点，过这一点向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】5． 【解析】 【分析】先化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法，再计算实数的混合运算即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了化简绝对值、特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的乘法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 18. 解不等式组，并求出整数解． 【答案】；2，3，4． 【解析】 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∴其整数解为2，3，4． 19. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： （1）请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　； （2）请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 【答案】（1）a2+b2＝c2； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）用符合语音叙述勾股定理即可； （2）根据四个全等直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积列出等量关系即可证明． 【小问1详解】 解：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2， 故答案为：a2+b2＝c2； 【小问2详解】 证明：∵大正方形的面积为c2，小正方形的面积为（b-a）2=b2-2ab+a2，4个直角三角形的面积为4×ab=2ab， ∴2ab+ b2-2ab+a2=c2，即a2+b2＝c2． 【点睛】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，利用“分割法”求解几何图形的面积是解答的关键． 20. 随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙洋湖某社区20～60岁居民最喜欢的手机沟通方式，针对给出的四种（A：微信、B：QQ、C：班级优化大师、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是 ； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种的概率，并列出所有可能的结果． 【答案】（1）500人 （2）解：补全条形统计图如下： （3）所有可能结果如下：共9种；概率为 【解析】 【分析】（1）利用种人数除以其所占百分比，即可解题； （2）算出种人数，补全条形统计图即可； （3）借助表格列出所有可能结果，进而求出他俩选择同一种的概率，即可解题。 【小问1详解】 解：（人）， 即参与问卷调查的总人数为500人， 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：根据题意列表如下： 小强 爸爸 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 所有可能结果如下：共9种， 小强和爸爸选择同一种的可能结果有共3种， ∴小强和他爸爸选择同一种的概率为． 21. 如图在中，，以为直径的分别交于点D、E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为直角，推出，，再结合等腰三角形性质推出，进而得到为的中位线，结合中位线性质即可证明； （2）根据垂径定理推出，再结合直径求出，设，则，利用勾股定理建立方程求出，最后证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，则， 设，则， ∵，即， 解得， ∵， ， ， ∴． 22. “疫情就是命令、防控就是责任”！抚州市南城县某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元． （1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？ （2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？ 【答案】（1）甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元 （2）共有4种方案 【解析】 【分析】（1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元，由“购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元”，可列出二元一次方程组，解方程组即可得答案； （2）设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶，根据资金不超过1900元，购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半可列出一元一次不等式组，求出的取值范围，结合为正整数即可得答案． 【小问1详解】 设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴甲品牌的消毒液的单价为50元，乙品牌的消毒液的单价为30元． 【小问2详解】 设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶， 由题意可得， 解得：， ∵为正整数， ∴可取17，18，19，20， ∴共有4种方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 23. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】（1）由旋转性质推出，结合角平分线定义得到，再根据相似三角形判定定理即可证明； （2）利用三角形内角和定理推出，进而证明，结合全等三角形性质即可证明； （3）利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合旋转性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 24. 对于一个函数，若存在时，函数值，则称函数为镜像函数，此时点叫该镜像函数的镜像点． （1）判断函数是否为镜像函数．如果是，请求出镜像点．如果不是，请说明理由； （2）请证明函数是镜像函数，且总有两个不同的镜像点； （3）若二次函数是镜像函数，其镜像点间的水平距离为4，且当时，函数的最小值为b，试确定b的值． 【答案】（1）是镜像函数；， （2）证明：由，则， 得， ∴， ∴， 将和分别代入方程，得和， ， ，不是方程的根， ∵， ∴该函数总有两个不同的镜像点； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据镜像函数定义，建立等式求解，即可解题； （2）根据镜像函数定义，得到，整理后结合一元二次方程根的判别式分析求解，即可解题； （3）根据镜像函数定义，得到，结合镜像点间的水平距离为4，以及一元二次方程根与系数的关系推出值，再根据当时，函数的最小值为b，分三种情况①当时，，②当时，③当时，即时，，讨论求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由，得：， ∴， 解得， 经检验，， ∴是该方程的解， ∴是镜像函数，且镜像点为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由， 得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ①当时，， ∴， ∴ ， ∴， ②当时，此时函数最小值为，即，与的要求矛盾，所以不成立， ③当时，即时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 25. 如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点．交AB于D．以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． （1）求证：． （2）若，． ①当，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． （3）若，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②当△PEF为等腰三角形，则满足条件的△PEF的腰长为7.5，4.2或3 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据余角的性质求出，根据圆周角的性质得出，则可证出结果； （2）①先解Rt△ABC，①根据，结合∠APD=90°，求出∠APD为30°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出PC长；②分三种情况讨论，即I．当时，利用ASA证明，得出，利用三角函数求腰长PE即可；II．当时，根据等腰三角形的性质，圆周角定理和垂径定理求出∠B=∠PAC，则可利用三角函数求出PC，从而求出PB，再利用三角函数求EP即可；III．当时， 根据直角三角形斜边中线的性质求出，设，得出，，根据AB=20建立方程求解，然后求出AC、AP长，则可得到腰长FP； （3）先证明，利用相似比得出，然后根据等腰直角三角形的性质得出PD=PB，AC=BC，则可推出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∴ ∵PD为直径， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 解：如图1，∵，， ∴，， ①∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ②I．如图2，时 ∵且 ∴（ASA） ∴ ∵， ∴； II．如图3，时 ∴ ∵PD为⊙O直径， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ III．如图，当时 ∴ 又∵ ∴ ∴ 设，，， ∴解得 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 综上所述，当△PEF为等腰三角形，则满足条件的△PEF的腰长为7.5，4.2或3 【小问3详解】 ∵PD为直径， ∴∠PFD=90°， ∵∠PAC+∠APC=∠APC+∠FCP=90°， ∴∠PAC=∠FCP， 又∠ACP=∠PFC=90°， ∵， ∴ ， ∴ ∵ ∵∠B=45°， ∴PD=PB，BC=AC， ∴， ∴解得或（舍去）， ∴， 即DP与AC的比值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形，综合运用所学的几何知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙中加学校2021-2022-2保温考试数学A卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个实数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 4 2. 下列疫情防控标识图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 京张高铁，京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客6 800 000人，大幅提升了京张两地通行能力，将6 800 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别与，交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数图象中，表示直线的是（ ） A. B. C. D. 9. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙3个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理，化学中的一个专业，且满足：①甲不在A校学习；②乙不在B校学习；③在B校学习的学数学；④在A校学习的不学化学；⑤乙不学物理．则（ ） A. 甲在C校学习，丙在B校学习 B. 甲在B校学习，丙在C校学习 C. 甲在B校学习，丙在A校学习 D. 甲在C校学习，丙在A校学习 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式的结果是________． 12. 计算：_______． 13. 若关于的方程的一个根为3，则的值为______． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为______． 15. 若一个扇形的半径是，此扇形的圆心角是，则它的弧长等于______． 16. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并求出整数解． 19. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： （1）请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　　； （2）请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 20. 随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙洋湖某社区20～60岁居民最喜欢的手机沟通方式，针对给出的四种（A：微信、B：QQ、C：班级优化大师、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是 ； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种的概率，并列出所有可能的结果． 21. 如图在中，，以为直径的分别交于点D、E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. “疫情就是命令、防控就是责任”！抚州市南城县某公司在疫情复工准备工作中，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元． （1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？ （2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？ 23. 如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 24. 对于一个函数，若存在时，函数值，则称函数为镜像函数，此时点叫该镜像函数的镜像点． （1）判断函数是否为镜像函数．如果是，请求出镜像点．如果不是，请说明理由； （2）请证明函数是镜像函数，且总有两个不同的镜像点； （3）若二次函数是镜像函数，其镜像点间的水平距离为4，且当时，函数的最小值为b，试确定b的值． 25. 如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点．交AB于D．以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． （1）求证：． （2）若，． ①当，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． （3）若，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $